22.3 实际问题与二次函数 同步练习 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

22.3《实际问题与二次函数》同步测试 题型一：图形问题 1.饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上． (1)设的长为x米，则_____米；（用含x的代数式表示） (2)若围成的饲养场的面积为132平方米，求饲养场的宽的长； (3)围成的饲养场的面积能否达到最大值？如果能达到，求出的长，求出最大面积是多少；如果不能，请说明理由． 2.如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地（墙足够长），矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． (1)的长度为________，矩形场地的面积S为_______（用含x的代数式表示） (2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少？ 3.如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为x（单位：），另一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出_____（用含x的式子表示）； (2)直接写出______（用含x的式子表示），x的取值范围是_____； (3)当x的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积S最大？最大面积是多少？ 题型二：拱桥问题 1.如图所示是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系上的示意图，点和，点和分别关于轴对称．隧道拱形部分为一段抛物线，最高点离路面的距离为8m，点离路面的距离为6m，隧道宽为16m． (1)求隧道拱形部分的函数解析式； (2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面的距离7m，问；它能否安全通过这个隧道？请说明理由． 2.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5m，宽为1.5m，露出水面高度为1.88m的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 3.【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．上游水库开闸时，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由． 题型三：销售问题 1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． (1)用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． (2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ (3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 2.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：； (1)设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ (3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，直接写出销售单价的取值范围． 3.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． (1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ (2)为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？ (3)当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？ 题型四：投球问题 1.佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 2.一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 3.在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离近似满足二次函数关系，且这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是． (1)求与的函数关系式； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是， 他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不能，他应该后退多少米才能恰好接到？ (3)球场界线在甲的传球方向前方处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 4.2025年7月20日，六安市青少年体育联赛中学生篮球比赛圆满落下帷幕，六安市第九中学男、女篮球队一路奋勇拼搏，分别荣获冠、亚军的佳绩，跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点B的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是    (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 5.如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： (1)①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 题型五：喷水问题 1.公园草坪上安装了自动喷灌器，从喷水口喷出的水柱形如抛物线．图1是喷灌器喷水时的截面示意图．喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围墙和地面的交界点处，建立如图平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式． (2)求喷灌器与围墙的距离． (3)现准备在公园内沿围墙建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图2），其中高为，宽为，请问水柱是否能落在花坛上方边上，达到给花坛喷灌的效果，请说明理由． 2.2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 3.如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，与轴交于点，点距喷水口的水平距离为米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)下边缘抛物线与轴的交点的坐标为______； (3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 4.某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上．已知在与池中心点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米． (1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)身高为的小颖站在距离喷水管的地方，她会被水喷到吗？ 5.如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． (2)若抛物线恰好过小树的树顶N，点M在斜坡上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． (3)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点．请直接写出M横坐标m的取值范围． 题型六：增长率问题 1.某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 2.某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 3.芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 题型七：图形运动问题 1.如图，是的对角线，，，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点作，交射线于点，连接，以与为边作．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为． (1)_____（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 2.在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3.如图，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)是否存在时间t，使得直线平分∆ABC的面积，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (2)经过多少秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 参考答案 题型一：图形问题 1.（1）解：设的长为米，则（米）． 故答案为：； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养场的宽的长为米． （3）解：由题意知，解得， 由（2）知围成的饲养场的面积： ， 当时，取得最大值， 但x不能取到，则围成的饲养场的面积不能达到最大值． 2.（1）解：∵边长为， ∴， 依题意得，， ∴矩形场地的面积S为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，面积最大，最大面积是． 3.（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴； （3）解：， ∵，对称轴为直线，且， ∴当时，取得最大值，最大面积是． 题型二：拱桥问题 1.（1）由已知得． 故． 设抛物线对应的函数表达式为， 将B点坐标代入，得 ， 解得， 所以． （2）能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为． 如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作于点E． 当时，，即， 所以．　 因为，所以该货车能安全通过这个隧道． 2.解：图象如下： 由此可得是关于的二次函数． 故答案为：二次函数． （1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米． 3.（1）如图所示， 由题意得：顶点的坐标为，且抛物线经过点，   设该抛物线的函数解析式为，     ∵抛物线经过点 ∴ 解得：                       抛物线的解析式为； （2）根据题意得，安全高度为，      ∵牌匾长， 当时，，          ∵，                               牌匾悬挂能成功． 题型三：销售问题 1.（1）①每件商品的利润为元， 故答案为：； ②每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； （2）设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． （3）解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 2.（1）解：由题意，得：， 即； ∵， ∴， ∴自变量的取值范围； （2）解：对于函数 ∵， 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． （3）解：， 解方程 得：，． 当时，． ∵ 当时，． 3.（1）解：设A系列产品的价格为x元，则B系列产品的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：A系列产品的价格为10元，则B系列产品的价格为元． （2）解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理得， 解得， 根据尽可能让顾客得到实惠，，保留，舍去， 故B系列产品的实际售价应定为每件元． （3）解：设降价为x元，实际售价元，每天可售出件，销售额为y元，根据题意，得， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且时，y取得最大值，且最大值为1000元． 故实际售价为每件10元时，y取得最大值，且最大值为1000元． 题型四：投球问题 1.（1）解：如图所示，以为原点，为轴，建立如图所示直角坐标系， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 2.（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， 他应该带球向正后方移动米射门． 3.（1）解：∵这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是， ∴二次函数图象经过点，顶点坐标为， ∴，解得：， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴他在原地不能接到， 当时，， 解得：，， （米）， ∴他应该后退米才能恰好接到； （3）解：当时，， 解得：，（舍去）， ∵， ∴篮球会出界． 4.（1）解：根据题意可得：抛物线过点，顶点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式． （2）解：这次投篮训练能成功，理由如下： 令，则， ， 这次投篮训练能成功． 5.（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为， ∴抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 故与满足的函数解析式． （2）∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包， ∴此时，接球位置的坐标范围是， 当经过点，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴b的取值范围是． 故答案为：． 题型五：喷水问题 1.（1）设抛物线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴喷灌器与围墙的距离为； （3）解：水柱能落在花坛上方边上，达到给花坛喷灌的效果，理由如下： ∵， ∴，， 在中，当时，解得 （舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∴水柱能落在花坛上方边上，达到给花坛喷灌的效果． 2.解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得： 解得，， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 3.（1）解： ∴抛物线顶点为， 设其解析式为： 喷水口H的坐标为，代入上式得： ， 解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得(舍去)， ∴点的坐标为， ∴下边缘抛物线与x轴的交点B的坐标为． （3）解：能，理由如下： ∵米，米，米， ∴点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 4.（1）解：设拋物线解析式为， 由图像可得，，图像过， ， 解得：， ． （2）解：当时，， ∴她不会被水喷到． 5.（1）解：点，点在抛物线上， ， 解得： ， ∴拋物线方程为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵点，点在轴上， ， ， ∴设直线的解析式为，即，解得：， 故直线的解析式为， ∵点在直线上， 设， ∵轴， ∴点在中垂线上，故， 解得：， ， ∵点在抛物线上， ∴，整理得：， 解得：（舍）或，此时， ． （3）解：令， 则表示小树高， 设，则在上有两解，且为其中较小解， 即直线与抛物线在上有两交点， 当时，， 令，得或（舍去）， ， 又， 对称轴为， 为直线与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故， 综上，； 题型六：增长率问题 1.（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 2.（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 3.（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 题型七：图形运动问题 1.（1）解：由题意得： ， ∵， ∴； 故答案为∶； （2）解∶ 如图1，当点F落在边上， 由题意得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 即， ∴， 则当点F落在边上时，t的值秒； （3）解∶ ①当时，Q在上，如图1，过P作于M，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； ②当时，Q在上，如图3，过Q作于H， ∵， ∴）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ③当时，如图4，Q在上， 同②知：， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 综上，S与t之间的函数关系式为： ． 2.（1）解：由题意得，， ∵， ∴，； （2）解：∵， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴当时，S随t的增大而增大， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； （3）解：当点P在线段的垂直平分线上时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）． ∴当时，点P在线段的垂直平分线上． 3.（1）解：不存在时间t，使得直线平分∆ABC的面积，理由如下： 假设存在时间t，使得直线平分∆ABC的面积， 根据题意得：， ∴， ∵直线平分∆ABC的面积，即， ∴， ∴， 整理得：， 此时， ∴该方程无解， 即不存在时间t，使得直线平分∆ABC的面积； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小是， 即经过后，四边形的面积最小，最小是． 学科网（北京）股份有限公司 $