4.2.1等差数列的概念课件（1）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、等差中项、通项公式及与一次函数的关系，通过天坛石板数、服装尺码等现实情境导入，结合数列基础知识复习，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是用现实情境培养数学眼光，通过辨析题和多解法例题发展数学思维，以符号语言精准表达定义与公式。学生能从具体到抽象理解概念，教师可借助分层训练提升教学效率。

4.2.1 等差数列的 概念（1） 复习回顾 1. 数列的定义：把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2. 数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… (n∈N*). 简记作{an} . 3. 数列的分类：①有穷数列，无穷数列； 3. 数列的分类：②递增数列，递减数列，常数列，摆动数列. 4. 数列的通项：an 与n之间的关系式. 复习回顾 5. 数列的递推公式：数列的相邻两项或多项之间的关系式. 6. 数列的前n项和：Sn =a1+a2+...+an 数列的前n项和公式：Sn 与n之间的关系式. 7. Sn 与an的关系： 知道了首项和递推公式，就能依次求出数列的每一项了. 情景导入 在了解数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列. 例1： 北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为: 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 请看下几个问题中的数列： 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 情景导入 例2： S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的服装上衣对应的 尺码分别是: 38，40，42，44，46，48． ② 例3： 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃） 依次为: 25，24，23，22，21． ③ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 5 新知探究 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 对于数列①，我们发现： 18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9， 换一种写法，就是： 18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9. 如果用{an}表示数列① ，则有： a2－a1＝9， a3－a2＝9，…， a9－a8＝9. 思考：观察上述数列中的项，每一项与它前一项之间有什么关系？ 第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 6 新知探究 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 38，40，42，44，46，48． ② 25，24，23，22，21． ③ 数列②~③，也有这样的取值规律： 思考：观察上述数列中的项，每一项与它前一项之间有什么关系？ 第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 7 概念形成 1. 等差数列的定义： 一般地，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 2. 等差数列定义的符号语言： 这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示. an-an-1=d， ( n≥2, n∈N* )，其中d为常数. （或 an+1-an = d , n∈N* ） 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 38，40，42，44，46，48． ② 25，24，23，22，21． ③ d=9 d=2 d=﹣1 注意： (1) 定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项. (2) 每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(与n无关). (3) 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. (d=后一项-前一项) (4) 公差可以是正数，负数，也可以为0. (d∈R) 概念形成 当d>0时,等差数列是一个单调递增数列; 当d<0时,等差数列是一个单调递减数列. 当d=0时,等差数列是一个常数列; 概念形成 (5) 等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即 （）是等差数列. （且）是等差数列. 注意： 巩固训练 等差数列辨析 判断对错 1. 若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. ( ) 差都是同一个常数. 2. 数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列. ( ) {an}不一定是等差数列，忽略了第1项. 3. 若an－an+1=3 （n∈N*），则{an}是公差为3的等差数列.（ ） 4. 若a2－a1=a3－a2， 则数列{an}是等差数列.（ ） 5. 数列3，3，3，3是等差数列. ( ) 6. 数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列.（ ） × × × × √ √ 练习 书P15 等差数列辨析 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 概念形成 3. 等差中项： 由三个数a，A，b组成等差数列可以看成是最简单的等差数列， 这时A叫做a和b的等差中项. 这三个数满足关系式：2A=a+b，即 由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b. 练习 书P15 等差中项及应用 2. 求下列各组数的等差中项: 补充练1：如果三个数2a，3，a－6成等差，则a为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 D 补充练1：若a，b是方程x2-2x-3=0的两根，则a，b的等差中项为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 B 思考：若一个等差数列{an},它的首项为a1, 公差是d，那么这个数列的通项公式是什么？ 新知探究 a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d … an=an-1+d=a1+(n-1)d (n ≥ 2) 又∵当n=1时，上式也成立 ∴ an=a1+(n-1)d 方法1：由等差数列的定义可得 an+1-an=d 等差数列的 递推公式 等差数列的通项公式 新知探究 ∴ a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d (n ≥ 2) 上述各式两边同时相加，得 an-a1=(n-1)d 累加法 ∴ an=a1+(n-1)d 思考：若一个等差数列{an},它的首项为a1, 公差是d，那么这个数列的通项公式是什么？ 方法2：由等差数列的定义可得 an+1-an=d 等差数列的 递推公式 又∵当n=1时，上式也成立 ∴ an=a1+(n-1)d 等差数列的通项公式 概念形成 4. 等差数列通项公式： 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为： an＝a1＋(n－1)d (n∈N* ). 推导公式：任意两项an和am之间的关系: an＝am＋(n－m)d a1、d、n、an中 知三求一 概念形成 5. 等差数列与一次函数的关系： 因为 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， 所以 当d＝0时，an＝a1是常函数； 当d≠0时，an是一次函数 f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)当x＝n ， (n∈N*)时的函数值，即an＝f (n). 一次项系数即为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值. 概念形成 5. 等差数列与一次函数的关系： 任给 f(x)＝kx＋b（k，b为常数），得到的数列 an＝kn＋b，n∈N* a1＝f(1)＝k＋b，a2＝f(2)＝2k＋b，...，an＝f(n)＝kn＋b，... 所以，数列{an}是以(k＋b)为首项，k为公差的等差数列. 概念形成 等差数列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，n∈N* 的图像 n o an 1 2 a1 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 1 2 a6 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a5 a4 a3 a2 a1 f(x)＝dx＋(a1－d) d＞0时，数列{an}为递增数列; d＜0时，数列{an}为递减数列. d=0时, 数列{an}为常数列 例1 (1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d. 解： ∵an＝5－2n ∴当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n. ∴d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2. 把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3. 所以，数列{an}的首项为3，公差为－2. 例题分析 书P14 等差数列的基本量运算 例1 (1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d. 例题分析 书P14 等差数列的基本量运算 解法2：a1＝5－2×1＝3， a2＝5－2×2＝1. 于是d＝a2－a1＝1－3＝－2. 所以，数列{an}的首项为3，公差为－2. 例1 (1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d. 例题分析 书P14 等差数列的基本量运算 解法3：a1＝5－2×1＝3， 因为an＝－2n+5，所以公差d＝－2. 所以，数列{an}的首项为3，公差为－2. 例1 (2)求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断 －289是否是数列中的项，若是，是第几项？ 例题分析 书P14 等差数列的基本量运算 解：由已知条件，得d＝5－8＝－3. 把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得 an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11， 所以a20＝－3×20＋11＝－49. 令－3n＋11＝－289，得n＝100， 所以－289是该数列中的第100项. 例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？ 例题分析 书P14 等差数列的基本量运算 解：由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4， 得数列{an}的通项公式为 an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4n－1. 设 －4n－1＝－401，解得 n＝100. ∴－401是这个数列第100项. 3. 已知{an}是等差数列，请完成下表： a1 a3 a5 a7 d 　　　 　　 　　 练习 书P15 等差数列的基本量运算 练习 书P15 等差数列的基本量运算 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. 练习 书P15 等差数列的基本量运算 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 课堂小结 1. 等差数列定义：an-an-1=d （n≥2，n∈N*）或 an+1-an=d (n∈N*) 2. 等差中项：a,A,b成等差数列 2A=a+b 3. 通项公式：an =a1+(n-1)d 推导公式：an=am+(n－m)d 4. 等差数列与一次函数：an= kn+b，其中k=d 下课! $