4.1数列的概念课件（1）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的概念，系统涵盖定义、表示方法、分类、通项公式及与函数的关系。课堂导入通过王芳身高记录、两河流域月亮可见部分数据等实例，结合问题链引导学生观察数列有序性，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数思想的后续学习。 其亮点在于以多情境实例培养数学眼光，如从生活和历史数据中发现数量关系。通过对比辨析（数列与集合、{an}与an）发展数学思维中的逻辑推理，借助列表、图像、解析法及通项公式的多角度呈现（如分段函数、(-1)^n应用）强化数学语言表达。丰富例题与练习帮助学生构建知识体系，提升抽象能力和模型意识，也为教师提供实用的教学资源。

4.1 数列的概念（1） 章前导读 对数列的研究源于现实生产、生活的需要. 人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程. 例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年同一时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数 .通过对记录下来的这列数分析，可以研究树的生长规律. 按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列—等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、 前n项和公式，并应用它们解决一些问题. 我们将把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 章前导读 数列 特殊的数列 概念 表示方法 等差数列 等比数列 数学归纳法 基本原理 简单应用 通项公式 前n项和公式 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 新知探究 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如： 例1： 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位: cm)依次排成一列数: 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168 ① 问1： 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 它们之间不能交换位置. 所以，①是具有确定顺序的一列数. 记王芳第i岁时的身高为hi，那么h1=75，h2=87，…，h17=168. hi中的 i 反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置， 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 新知探究 例2： 在两河流域发掘的一块泥版上， 有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数: 5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240 ② 问2： 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示. 同样它们之间也不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数. 记第i天月亮可见部分的数为si，那么 s1=5，s2=10，…，s15=240. si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置， 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 5 新知探究 例3：将的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 问3： 你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？ 它们之间也不能交换位置，也是具有确定顺序的一列数. 记()的n次幂为an，那么 a1=，a2= ，a3= ，…，an=()n. ③ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 6 ① 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153， 158，160，162，163，165，168. ② 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192， 208，224，240. 一列数 顺序 新知探究 问4：上述例子的共同特征是什么？ ③ 一、数列的定义: 把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 概念形成 首项 第2项 第n项 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… (n∈N*). 简记作{an} . 注: 右下角标表示这一项在数列中的位置序号 思考1 {an} 与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an 表示数列{an}中的第n项. 思考2：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？ 不是 概念形成 思考3：数列与集合有什么区别？ 集合讲究：无序性、互异性、确定性， 数列讲究：有序性、可重复性、确定性. 概念形成 二、数列与函数的关系: 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 项 数列本质上是特殊的函数. ① 数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数,即 ② 定义域为正整数集或它的有限子集 数列是自变量为离散的数的函数. an＝f(n) 和函数一样，数列也可以用图像、表格、解析式表示 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 概念形成 列表法 图像法 解析法： 数列的图象是由一些孤立的点构成的. 1、以项数来分类： （1）有穷数列：项数有限的数列 （2）无穷数列：项数无限的数列 二、数列的分类: 概念形成 2、以各项的大小关系来分类： （1）递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； （2）递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； （3）常数列：各项都相等的数列； （4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列. 概念形成 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0) 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0) 二、数列的分类: 巩固新知 1．下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 C C 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 例如： 数列“1，4，9，16，…”的通项公式是______. 概念形成 数列的通项公式就是数列的函数解析式． 三、数列的通项公式: an=n2 例如： 数列“2，4，6，8，…”的通项公式是______. an=2n 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 概念形成 三、数列的通项公式: 注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项” 如：数列{n2}的第11项是_______ ②一些数列的通项公式不是唯一的； 如：数列-1，1，-1，1，… ③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 121 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． n 1 2 3 4 5 an 1 3 6 10 15 追问：你能判断（1）中数列的单调性吗？ 递增数列 例题分析 解： 书P4 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． 例题分析 书P4 n 1 2 3 4 5 an 1 0 -1 0 1 解： 例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： 例题分析 书P5 解：(1) 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负, 所以它的一个通项公式是 (2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0, 所以它的一个通项公式是 练习 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列; 书P5 练习 书P5 2. 根据数列{an }的通项公式填表: n 1 2 ‧‧‧ 5 ‧‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧ n an ‧‧‧ ‧‧‧ 153 ‧‧‧ 273 ‧‧‧ 3(3+4n) 21 33 69 12 22 3. 除数函数y=d(n) (n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , ‧‧‧, d(n), ‧‧‧的前10项. 练习 书P5 4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式: 课堂小结 1. 数列的定义：把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2. 数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… (n∈N*). 简记作{an} . 3. 数列的分类：①有穷数列，无穷数列； 3. 数列的分类：②递增数列，递减数列，常数列，摆动数列. 4. 数列的通项： an＝f(n) 补充练习 常见数列通项公式： （1）正整数列：1，2，3, 4 ,…… （2）奇数列：1，3，5，7，…… 或：3，5，7，…… （3）偶数列：2，4，6，…… （4）平方数列：1，4，9，16，…… （5）符号数列：-1，1，-1，1，…… 或：1，-1，1，-1，…… 补充练习 常见数列通项公式： 9，99，999，9999，… 3，33，333，3333，… 1，，，，… 1，2，4，8，… 下课! 2．下列数列中，即是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，… B．sin，sin，sin，sin，… C．-1，-，-，-，… D．1，2，3，4，…，30 $