精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

襄阳四中2023级高三上学期质量检测（四） 数学试题 一、单选题 1. 设，则（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求运算结果. 【详解】, 故选：A 2. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用命题为假命题，得到为真命题，即恒成立，即可求出实数的取值范围． 【详解】命题的否定. 因为是假命题，所以是真命题，即恒成立， 所以，解得. 故选：. 3. 平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可． 【详解】设 ①， ，②， 与向量(1，0)夹角为钝角，，③， 由①②③解得，， 故选：D． 4. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得椭圆焦点在轴上，且，列出相应式子从而求解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上，且， 得：，解得：，故D项正确 故选：D. 5. 设随机事件A，满足，，则（ ） A. 0.4 B. 0.35 C. 0.25 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】注意到，然后由题可得，最后由对立事件概率性质可得答案. 【详解】注意到，，则， 又， 则. 故选：D 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 7. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可求得，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果. 【详解】，，，，； ，几何体为三棱台， 设三棱柱的高为， ， ，. 故选：A. 8. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解. 【详解】对于，有，令切点为，则切线方程为， 即，即有， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 又当趋向于正无穷大时，趋向于负无穷， 故，即. 故选：A. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 的值域为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断A，按的取值讨论画出的大致图象，结合正弦函数的性质判断BCD. 【详解】因为， 所以是偶函数，A说法正确； 因为， 所以是的一个周期， 当时，， 当时，， 所以在的图象如图所示， 由图象可知的最小正周期是，B说法错误； 因为，， 所以的值域为，C说法正确； 当时，，不具有单调性，D说法错误； 故选：AC 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点，反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ） A. B. 延长交直线于点，则三点共线 C. D. 若平分，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设和抛物线的性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线和直线得到点，即可判断B选项，若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出. 【详解】由题意可得抛物线焦点，，如图， 将代入解得，所以，则直线的斜率， 则直线方程为，即， 联立得，所以，解得，A说法错误； 将代入解得或（舍去），则， 所以，C说法正确； 由已知可得轴，且，则直线的方程为， 又，所以直线的方程为， 令解得，即，所以在直线上， 所以三点共线，B说法正确； 设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为， 若平分，即，即， 所以，则，且，解得， 又，解得，D说法正确； 故选：BCD 11. 已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 一定能被3整除 【答案】ABC 【解析】 【分析】分和两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析，的零点分布，进而可得结果. 【详解】由题意可知为二次函数，且为的零点， 由得或， 当时，令，解得或；令，解得， 所以在内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 所以，即， 若，则，此时，与矛盾，故，A说法正确； 所以有2个根，有1个根，可知，B说法正确； 当时，令，解得，令，解得或， 所以在内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 所以，即， 若，则，此时，与矛盾，故， 当，即时，可知，，此时，， 当，即时，可知，，此时，， 当，即时，可知，，此时，， 综上C说法正确，D说法错误； 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况进而求解． 三、填空题 12. 等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和下标和的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，， 所以，即， 所以数列的公差， 所以， 故答案为： 13. 已知正的边长为，平面内的动点满足，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，建立直角坐标系．，．．点轨迹方程为： ，令，，，．又，可得 ，代入，即可得出． 【详解】如图所示，建立直角坐标系．，．． 满足， 点的轨迹方程为：， 令，，，． 又，则， ． 的最大值是． 故答案为 【点睛】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 14. 将0，1两个数随机填入的小方格中，每个小方格中恰填一个数，则使每行、每列所填数之和都为偶数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将0，1两个数随机填入的小方格中，每个格子有2种选择，共种填法， 前三行的前三个元素可自由选择，共种填法， 前三行中第四个元素和第四行中前三个元素由每行、每列所填数之和都为偶数唯一确定， 同理第四行中第四个元素也唯一确定， 所以满足条件的填法为种， 所以满足条件的概率， 故答案为： 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）设的中点为，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可； （2）利用和和向量数量积的运算律联立解出和，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为的内角的对边分别为， ， 所以由正弦定理边化角可得①， 又因为中，所以②， 将②式代入①式可得， 因为，， 所以，即， 因为，所以，. 【小问2详解】 因为为中点，， 所以③， ④， ③④联立解得，， 所以，的面积. 16. 已知在四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，点M在线段AE上，且． （1）求证：平面CFM； （2）若平面ABCD，且，求点G到平面CFM的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）延长FM与DA的延长线交于点，连接CN交AB于点，连接FH，通过证明四边形BHFG为平行四边形得，故平面CFM． （2）解法1： G到平面CFM的距离即为到平面CHF的距离，使用等积法求到平面CHF的距离； 解法2：将G到平面CFM的距离转化为A到平面MNH的距离，使用等积法求A到平面MNH的距离． 【小问1详解】 证明：延长FM与DA的延长线交于点，连接CN交AB于点，连接FH， 因为平面平面ABCD，且为PA的中点， 所以，，，， 又，所以， 又，所以为AB的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形BHFG为平行四边形，所以， 又平面CFM，平面CFM，所以平面CFM． 【小问2详解】 解法1：由（1）知G到平面CFM的距离，即为到平面CHF的距离， 因为平面ABCD，且，F为PD的中点， 所以点F到平面BCH的距离为3， 所以， 连接FA，取AD的中点O，连接OF，OH， 所以，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，， 又，所以 在中，， 又，，所以平面PAD，因为平面PAD，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 设到平面FHC的距离为h，则，所以， 即点G到平面CFM的距离为． 解法2：由（1）知G到平面CFM的距离，即为B到平面CFM的距离， 又因为H为AB的中点，所以A到平面CFM的距离等于B到平面CFM的距离， 即A到平面MNH的距离等于G到平面CFM的距离． 连接MH，取MH的中点Q，连接NQ． 因为，， 所以，所以． 所以． 设A到平面MNH的距离为h，则， 即，所以， 即点G到平面CFM的距离为． 17. 设数列的前项和满足：． （1）求数列的通项； （2）设数列的前项和为，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系可得，解得，再根据等差数列的定义求解即可； （2）利用错位相减法求出，再结合一元二次函数的图象和性质求解即可. 【小问1详解】 由可得当时，， 所以，解得， 所以， 又，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 当时，满足， 故 【小问2详解】 由（1）可得， 所以①， ②， ①②得， 所以， 若，即， 整理得对恒成立， 当时，恒成立， 当时，对于一元二次方程在处取得最小值， 所以只需即可，解得， 综上实数的取值范围为. 18. 已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点． （1）若双曲线的渐近线为时，求离心率； （2）若，，为等腰三角形时，且点在轴上方，求点坐标； （3）若，连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和离心率公式，结合的关系求解即可； （2）由为等腰三角形可得或，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线为，所以，即， 又因为双曲线中，所以. 【小问2详解】 当，时，双曲线，且，， 设点，因为点在轴上方，则， 又为等腰三角形，所以或， 所以，解得或， ，解得（舍去）或， 综上点坐标为或或. 【小问3详解】 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 19. 设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减． （1）若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围； （2）已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则； （3）已知函数，若对于，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过二次求导再分离参数即可得到答案； （2）转化为证明，再设，代入即可； （3）设，分和讨论即可. 【小问1详解】 ， 因为函数是定义在上的凹函数， 所以在上单调递减， 设，则恒成立， 所以，，所以． 【小问2详解】 要证， 即证， 因为函数是凹函数， 所以，且， 有， 令，则， 所以， 因此上述不等式得证． 【小问3详解】 对于，都有， 因为，所以， 设，则． ①当时，因为，则，则 ，则单调递减，所以， 因此满足题意． ②当时，令，所以， 所以当时，单调递增， 所以，从而，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行合理地分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2023级高三上学期质量检测（四） 数学试题 一、单选题 1. 设，则（ ） A. i B. C. 1 D. 2. 已知命题，若命题是假命题，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 5. 设随机事件A，满足，，则（ ） A. 0.4 B. 0.35 C. 0.25 D. 0.1 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 45 C. 60 D. 90 7. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线相切，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 的值域为 D. 在上单调递增 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点，反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ） A. B. 延长交直线于点，则三点共线 C. D. 若平分，则 11. 已知函数存在两个极值点，且，．设零点个数为，方程的实根个数为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 一定能被3整除 三、填空题 12. 等差数列的前项和为，若，，则______． 13. 已知正的边长为，平面内的动点满足，则的最大值是______. 14. 将0，1两个数随机填入的小方格中，每个小方格中恰填一个数，则使每行、每列所填数之和都为偶数的概率为______． 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）设的中点为，若，求的面积． 16. 已知在四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，点M在线段AE上，且． （1）求证：平面CFM； （2）若平面ABCD，且，求点G到平面CFM的距离． 17. 设数列的前项和满足：． （1）求数列通项； （2）设数列的前项和为，若，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点． （1）若双曲线的渐近线为时，求离心率； （2）若，，为等腰三角形时，且点在轴上方，求点的坐标； （3）若，连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 19. 设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减． （1）若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围； （2）已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则； （3）已知函数，若对于，都有，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $