集合的运算、根据集合的包含关系求参数、集合新定义问题专项训练——2026届高三数学一轮复习

集合的运算、根据集合的包含关系求参数、集合新定义问题专项训练 集合的运算、根据集合的包含关系求参数、集合新定义问题专项训练 考点目录 集合的运算 根据集合的包含关系求参数 集合新定义问题 考点一 集合的运算 例1．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，集合，集合，故. 故选：A 例2．（2025·浙江温州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 例3．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以， 故选：D 例4．（2025·河南·三模·多选）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 例5．（24-25高三上·甘肃白银·期末·多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题易知，，所以，， 所以，，，故选项A错误，选项B，C，D正确. 故选：BCD. 例6．（2025·吉林长春·三模）设集合，，则 ． 【答案】 【详解】因为，且函数在上为增函数， 当时，，即， 因此. 故答案为：. 例7．（25-26高三上·重庆·期中）已知全集，集合，，则 . 【答案】 【详解】由题意得全集，集合，则， 又集合，故. 故答案为： 例8．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，集合，则 【答案】 【详解】因，所以或， 所以. 故答案为： 变式1．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知集合，，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以或， 又， 所以. 故选：D 例2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，则，可得：， 因此， 所以． 故选：D 例3．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以. 故选：A 例4．（25-26高三上·甘肃·月考·多选）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D．集合有64个真子集 【答案】AB 【详解】因为，，所以，故A正确； 又因为，所以，所以，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 集合中有6个元素，所以集合有个真子集，故D错误. 故选：AB. 例5．（25-26高三上·河北·期中·多选）已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】利用集合的运算法则得： ， . 对于 A： ，故正确； 对于 B： ，故错误； 对于 C： ，故正确； 对于 D： ，故错误. 故选：AC 例6．（25-26高三上·上海·月考）已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 例7．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知全集，集合，或，则集合 . 【答案】 【详解】由题意可得，而， 故， 故答案为： 例8．（25-26高三上·广东广州·月考）已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】由得到，∴， ∴ 故答案为：. 考点二 根据集合的包含关系求参数 例1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 例2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 若，则有或或， 当时，则； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 故实数的取值集合是. 故选：A 例3．（2025·河北邢台·三模·多选）已知集合，，则下列结论正确的有（    ） A．集合的所有真子集个数是3 B．若，，则 C．若，则的最小值为2 D．若，则的最大值为 【答案】AC 【详解】对于A，由题意或，所以集合的所有真子集个数是3，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B错误； 对于C，由题易知，故C正确； 对于D，，由可知，故D错误. 故选：AC 例4．（24-25高三上·辽宁·期末·多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 例5．（25-26高三上·天津河东·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】或， 又，， 所以. 故答案为：. 例6．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，因为，所以， 又， 则. 故答案为： 例7．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合或，． (1)求，； (2)若，且，求实数k的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）集合， 或或， ． （2），， 由（1）知，， 当集合时，需满足，无实数解； 当时， 需满足，解得， 实数k的取值范围是． 例8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知集合，. (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，； 由得：，； . （2）由（1）知：； 当时，，满足； 当时，，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 变式1．（25-26高三上·江苏南通·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，又，则， 故选：D. 变式2．（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由于，故， 由知或， 即或， 注意到，故由元素互异性知，故， 故选：C． 变式3．（25-26高一上·山东济宁·期中·多选）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【详解】当时，不成立，，满足． 当时，， 当时，；当时，； 综上得，的所有可能取值为． 故选：． 变式4．（25-26高三上·河南商丘·月考·多选）已知集合，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若集合N中仅含有2个整数元素，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】若，则，A正确； 若，则，B正确； 若集合N仅含有2个整数元素，即，，所以，C错误； 若，结合数轴可知，，D正确． 故选：ABD． 变式5．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知集合，其中为实常数. 若，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】因为，，所以， 故答案为： 变式6．（25-26高三上·四川广元·月考）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：， 所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 变式7．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由． 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 【详解】（1）若，则， 又，， 所以，解得， 故的范围为； （2）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故不可能使命题：“，都有”为真命题． 变式8．（25-26高三上·上海闵行·期中）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 当时， 由，即，解得， 所以， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 又恒成立，即， 所以（等号不同时取到），解得， 所以实数的取值范围为. 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高三上·重庆·期中）在一个圆周上依次写出（为奇数）个正实数，相邻两个数的乘积构成集合，且. (1)若，求集合； (2)当时， （i）求出满足条件的一个集合； （ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合都是无理数. 【答案】(1) (2)（i）； （ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由条件设且满足， 解得， 代入，经计算，均为这三个数的排列， 所以； （2））当时，记， （i）令，记， 由得 ， 要使得，则有，则，满足条件， 此时，；     （ⅱ）记！， 对于满足条件的，有， 注意到在中，素数7只出现3次，故， 否则，若，则有，则， 但中有偶数个7（可能有0个7），而中有奇数个7，矛盾， 又假设存在，使得， 则，矛盾， 所以均为无理数. 例2．（25-26高三上·北京朝阳·期中）设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. (1)若集合具有性质，写出集合； (2)若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； (3)若集合具有性质，求的最大值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)13 【详解】（1）由题意可得集合A中有3个不同的元素， 若，要使与满足条件②，则均不属于，所以， 同理可判断均不属于， 则符合题意，所以. （2）不存在，理由如下： 假设存在使得. 不妨设，设， ，，，. 由①②可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同. 由③可知，存在集合与的交集不为， 且由②可知，集合与的交集中有且仅有一个元素， 不妨设集合为，且，故. 由②可知，的元素个数均为， 且均不为或， 所以集合或，或，或. 由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与①矛盾. 所以不存在使得. （3）设集合具有性质. 在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合， 否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合， 则与②或③矛盾. 不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合， 除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为， 设集合包含元素. 当时，若，则，与②矛盾， 所以互不相同，且均不为. 因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以. 所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 所以. 当时，集合具有性质，其中： ，，，， ，，，， ，，，， . 所以的最大值为. 例3．（25-26高三上·山东·月考）已知有限实数集，定义集合. (1)若集合，求集合； (2)是否存在有限实数集，使得，说明理由； (3)若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析 (3) 【详解】（1）由题意可知， （2）不存在； 假设存在，设， 由题意，中的元素均为正数，故若，则， 因为集合中的最大数为，而集合中的最大数为，矛盾. （3）一方面，集合中元素是由集合中个元素两两作差得到的， 故； 另一方面，构造集合； 任取两组不全相同的自然数数对与； 若，不妨设，则. 因为， 又， 所以； 若，则，则； 故无论如何，集合中的元素，两两作差均不相同， 故中的元素个数为； 综上，集合中元素个数的最大值. 例4．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 【答案】(1) (2) (3)或者 【详解】（1）根据题意可得. （2）若均为正数，，集合中的元素具有互异性， 不妨设，则，故中至少有5个元素， 而中共有对不同的元素，因此最多有6个不同的乘积. 取,此时，此时的元素个数， 取，则，此时的元素个数， 故的元素个数的取值范围为， （3）若，可得， 其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者 ①当时， 则，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到， 进而，从而. 所以或者. 变式1．（25-26高一上·山东烟台·月考）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）由集合，得，，， 因此，又，，，所以. （2）由集合，， 得集合的元素在，，， 中产生， 且，， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即，， 则构成的元素为，，，，且与或或重复， 又，所以，即. （3）依题意，， 设满足题意，， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为，最大的元素为，， 因此，即，解得， ，. 则，，满足， 所以具有孪生性质. 所以集合中元素的个数的最大值是. 变式2．（25-26高一上·北京·月考）已知集合为非空数集，定义：（实数可以相同）. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，且，求证：； (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)1350 【详解】（1）因为，， 所以； （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为676，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350． 变式3．（2025·北京延庆·三模）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. (4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式. 【答案】(1)不具有，具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)75 (4)答案见解析 【详解】（1）∵无法表示，∴数集不具有性质. ∵，，，，∴数集具有性质． （2）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立， 又，， ∴，， ，， ∴， 即，，，， 累加得， 化简得． （3）最小值为． 首先注意到，根据性质，得到， 所以易知数集的元素都是整数， 构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为．下面证明是最小的和． 假设数集，满足最小， 第一步：首先说明集合中至少有个元素： 由（）可知，，，，又， ∴，，，，， ∴． 第二步：证明，， 若，设， ∵，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而； 若，根据性质，对，有，，使得，显然，∴， 此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾， ∴，且． 同理可证： ． 至此，我们得到，， 根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形： ①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则； ②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则； ③，，此时集合，； ④，，此时集合，． 综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是． （4） 变式4．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. （2）充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. （3）由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $集合的运算、根据集合的包含关系求参数、集合新定义问题专项训练 集合的运算、根据集合的包含关系求参数、集合新定义问题专项训练 考点目录 集合的运算 根据集合的包含关系求参数 集合新定义问题 考点一 集合的运算 例1．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 例2．（2025·浙江温州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·河南·三模·多选）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 例5．（24-25高三上·甘肃白银·期末·多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例6．（2025·吉林长春·三模）设集合，，则 ． 例7．（25-26高三上·重庆·期中）已知全集，集合，，则 . 例8．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，集合，则 变式1．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知集合，，则等于（    ）． A． B． C． D． 例2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·甘肃·月考·多选）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D．集合有64个真子集 例5．（25-26高三上·河北·期中·多选）已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例6．（25-26高三上·上海·月考）已知集合，，则 ． 例7．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知全集，集合，或，则集合 . 例8．（25-26高三上·广东广州·月考）已知集合，，则 ． 考点二 根据集合的包含关系求参数 例1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·河北邢台·三模·多选）已知集合，，则下列结论正确的有（    ） A．集合的所有真子集个数是3 B．若，，则 C．若，则的最小值为2 D．若，则的最大值为 例4．（24-25高三上·辽宁·期末·多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 例5．（25-26高三上·天津河东·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是 ． 例6．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 ． 例7．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知集合或，． (1)求，； (2)若，且，求实数k的取值范围． 例8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知集合，. (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高三上·江苏南通·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式3．（25-26高一上·山东济宁·期中·多选）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 变式4．（25-26高三上·河南商丘·月考·多选）已知集合，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若集合N中仅含有2个整数元素，则 D．若，则 变式5．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知集合，其中为实常数. 若，则实数的取值范围是 变式6．（25-26高三上·四川广元·月考）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 变式7．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由． 变式8．（25-26高三上·上海闵行·期中）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高三上·重庆·期中）在一个圆周上依次写出（为奇数）个正实数，相邻两个数的乘积构成集合，且. (1)若，求集合； (2)当时， （i）求出满足条件的一个集合； （ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合都是无理数. 例2．（25-26高三上·北京朝阳·期中）设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. (1)若集合具有性质，写出集合； (2)若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； (3)若集合具有性质，求的最大值. 例3．（25-26高三上·山东·月考）已知有限实数集，定义集合. (1)若集合，求集合； (2)是否存在有限实数集，使得，说明理由； (3)若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 例4．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 变式1．（25-26高一上·山东烟台·月考）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 变式2．（25-26高一上·北京·月考）已知集合为非空数集，定义：（实数可以相同）. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，且，求证：； (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值. 变式3．（2025·北京延庆·三模）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. (4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式. 变式4．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $