21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步训练2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．若，是方程的两个根，则（） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是 ． 9．已知一元二次方程的两根为，则 ． 10．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 11．若实数a、b分别满足，，且，则的值为 ． 12．关于的方程的解分别为，则的值为 ． 三、解答题 13．若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) (3) (4) 14．已知关于的方程， (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为1，求其另一根． 15．已知关于的方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两根为，且，求的值． 16．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； (2)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1． 【详解】解：A．，，； B．，，； C．，，； D．，，； 只有D选项的两根之和为1． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可． 【详解】∵方程 中，，， ∴ 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意，得到：，，代入求值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵ m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数关系解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 把代入可得：，即， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及判别式的应用；①和②通过代入验证；③利用两根和与积的关系推导；④通过判别式判断根的情况即可． 【详解】解：①∵， ∴当时，， ∴方程必有一根为；故①正确； ②当时，方程变为， 即， ∴或， ∴方程至少有一个根为；故②正确； ③若方程两根为和， 则两根之和为，即， 两根之积为，即， ∴；故③正确； ④若，则， 判别式， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，但说法是“有两个相等的实数根”，故④错误； 综上，正确的有①②③，共3个； 故选C． 8． 【分析】设方程的另一个根a，根据根与系数之间的关系得，求出a即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 【详解】解：设方程的另一个根为 ， ∵一元二次方程有一个根是1， ∴，即， 即另一个根是． 故答案为： 9．14 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系，得 ，， 则 ， 故答案为：14． 10．16 【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 11．4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据题意可以把、看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到． 【详解】解：∵、分别满足， ∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查了因式分解以及根与系数的关系，利用根与系数的关系求出 和 ，然后将所求表达式化简为 ，并代入 得出结果． 【详解】方程化为一般形式为， 由于、是方程的解，根据根与系数的关系，有，， 所求表达式 展开并化简： ， 两式相减得： ， 分组并提取公因式： ， 代入， 得， 因此：． 故答案为：． 13．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出； （3）先计算，再代入，求解； （4）先由完全平方公式得到，再计算，然后再代入求值． 【详解】（1）解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ，，。 ∴根据根与系数的关系得，， （2）解：根据根与系数的关系得，； （3）解：； （4）解：， ∴． 14．(1)见解析 (2)另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用判别式判断根的情况． （1）计算方程的判别式并证明其恒大于0； （2）代入已知根求出 k 的值，再利用一元二次方程根与系数的关系求出另一根． 【详解】（1）证明：∵ 方程为， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入方程得：， 即，解得， 设另一根为，由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ， 答：另一根为． 15．(1) (2) 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴． 16．(1) (2) (3)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的变换（换根法）、一元二次方程根与系数的关系的应用、解一元二次方程，熟练掌握换根法的思想（通过根的关系代入原方程化简）是解题的关键． （1）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的相反数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （2）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的倒数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （3）先由原方程的根求出、、的关系，再代入新方程，求解新方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即． 把代入已知方程，得， 化简得； （2）解：设所求方程的根为，则（），即． 把代入已知方程，得， 化简得； （3）解：原方程的根为、，根据根与系数的关系得 ， ∴，． 将，代入新方程，得 ， 化简得， ， ∴新方程的根为，． 学科网（北京）股份有限公司 $