1.4 绝对值 课件2025-2026学年华东师大版 七年级数学上册

华东师大版（2024）数学7年级上册 第1章 有理数 1.4 绝对值 问题：正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是六个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）: -25，+10，-20，+30，+15，-40. 你认为哪个球的质量好一些？为什么？ 应该是与规定质量相差最少的球质量好一些． 两辆汽车从同一加油站出发，分别向东行驶3千米和向西行驶3千米。它们行驶的方向相反，路程相同，若以向东为正方向，可表示为+3千米和-3千米。在数学中，如何表示这种“距离”与“方向无关”的量？ 2. 旧知衔接 - 数轴上点与有理数的对应关系 - 相反数的几何意义：位于原点两侧，到原点距离相等 （配图：数轴上标注+3、-3对应的点，标注两点到原点的距离均为3） 幻灯片3：绝对值的定义 1. 几何定义（核心） 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”。 示例：|+3|表示+3对应的点到原点的距离，即|+3|=3；|-3|表示-3对应的点到原点的距离，即|-3|=3；|0|表示0对应的点（原点）到原点的距离，即|0|=0。 2. 代数定义（计算依据） 结合数的符号，绝对值的代数意义可表述为： - 当a是正数时，|a|=a；（如|5|=5，|2.8|=2.8） - 当a是0时，|a|=0；（即|0|=0） - 当a是负数时，|a|=-a。（如|-4|=-(-4)=4，|-1.5|=-(-1.5)=1.5） 关键词解析：“距离”是非负的，因此任何数的绝对值都不会是负数，即|a|≥0（绝对值的非负性）；当a为负数时，-a表示a的相反数，此时-a是正数，符合距离的非负性。 幻灯片4：绝对值的核心性质 1. 非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，即对于任意有理数a，都有|a|≥0。互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|。（如|6|=|-6|=6，|0|=|-0|=0） 2. 特殊值性质：若|a|=0，则a=0；若|a|=|b|，则a=b或a=-b（即a与b互为相反数）。 3. 与数的关系： 正数的绝对值是它本身，|a|=a（a>0）； 4. 负数的绝对值是它的相反数，|a|=-a（a<0）； 5. 0的绝对值是0，|a|=0（a=0）。 6. 运算性质：|a·b|=|a|·|b|；|a/b|=|a|/|b|（b≠0）。（如|(-2)×3|=|-2|×|3|=6，|(-6)/2|=|-6|/|2|=3） 幻灯片5：例题1（绝对值的计算） 例题：计算下列各数的绝对值，并说明依据 1. |+10|；2.|-7.5|；3.|0|；4.|-(+4)|；5.-|(-3)| 解题过程与答案 1. |+10|=10。依据：正数的绝对值是它本身，+10是正数，故其绝对值为10。 2. |-7.5|=7.5。依据：负数的绝对值是它的相反数，-7.5是负数，其相反数为7.5，故绝对值为7.5。 3. |0|=0。依据：0的绝对值是0。 4. |-(+4)|=|-4|=4。依据：先化简符号，-(+4)=-4，负数的绝对值是它的相反数，故|-4|=4。 5. -|(-3)|=-3。依据：先计算绝对值，|-3|=3，再保留前面的负号，故结果为-3。 注意区分“绝对值的相反数”与“相反数的绝对值”：|-a|是a的相反数的绝对值，结果一定非负；-|a|是a的绝对值的相反数，结果一定非正。 幻灯片6：例题2（绝对值性质的应用） 例题：利用绝对值的性质解决问题 1. 已知|x|=5，求x的值； 2. 已知|x-2|+|y+1|=0，求x和y的值； 3. 若|a|=|b|，且a=-3，求b的值。 解题思路与答案 1. 根据绝对值的性质，若|x|=5，则x与原点的距离为5，在数轴上到原点距离为5的点对应的数为5和-5，故x=5或x=-5。 2. 因为绝对值具有非负性，即|x-2|≥0，|y+1|≥0，两个非负数的和为0，只有当每个非负数都为0时成立。因此|x-2|=0，|y+1|=0。解得x=2，y=-1。 3. 已知|a|=|b|，a=-3，则|b|=|-3|=3。根据绝对值的性质，|b|=3时，b=3或b=-3。 幻灯片7：易错点辨析 常见错误 1. 混淆“绝对值”与“数本身”：认为“一个数的绝对值就是这个数”（纠正：负数的绝对值是它的相反数，如|-5|≠-5，而是5） 2. 忽略绝对值的非负性：错误认为“|a|=-a”中-a是负数（纠正：当a为负数时，-a是正数，如a=-2时，|a|=-a=2） 3. 对含字母的绝对值化简错误：如认为|x|=x对任意x都成立（纠正：当x<0时，|x|=-x，需分情况讨论） 情景导入 在一些量的计算中，有时并不注重其方向． 计算汽车行驶所耗的汽油量时，需要关注的是汽车行驶的路程，而无须关注其行驶的方向． 在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度，而与它位于原点哪一边无关． 0 1 2 3 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 4 A 探究新知 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 大象距原点多远？ 两只小狗分别 距原点多远? 探究新知 探究新知 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 例如：大象在数轴上+5点，距离原点5个单位长度， 即+5的绝对值是5，记作 │+5│＝5 那么，两只小狗呢？ │+3│=3， │-3│=3 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 0到原点的距离是0，所以0的绝对值是0，记做|0|=0. 探究新知 （1）|+2|＝_____，| |＝_____，|+8.2|＝_____; （2）|0|＝_____； （3）|﹣3|＝_____，|﹣0.2|＝_____， |﹣8.2|＝_____. 怎样求一个数的绝对值？ 2 8.2 0 3 0.2 8.2 从这些结果中你能发现什么规律？ 互为相反数的两个数的绝对值相等. 探究新知 （1）|+2|＝_____，| |＝_____，|+8.2|＝_____; （2）|0|＝_____； （3）|﹣3|＝_____，|﹣0.2|＝_____， |﹣8.2|＝_____. 2 8.2 0 3 0.2 8.2 一个数的绝对值与这个数有什么关系？ a>0 a=0 a<0 你发现了什么？ 探究新知 一个正数的绝对值是它本身； 0 的绝对值是 0； 一个负数的绝对值是它的相反数． |a|= a（a>0）, 0（a=0）, ﹣a（a<0）． 记作： 由绝对值的意义，我们可以知道： 由此可以看出，任何一个有理数的绝对值总是正数或0（通常也称非负数）．即对任意有理数a，总有 |a|>0 |a|=0 |a|>0 探究新知 思考：绝对值等于它本身的数有哪些？ 正数和 0 探究新知 求下列各数的绝对值： ﹣4.75，10.5． |﹣4.75|＝4.75， |10.5|＝10.5． 例1 解 探究新知 化简: 例2 解 探究新知 巩固练习 1．求下列各数的绝对值： ﹣5，4.5，﹣0.5，﹢1，0． 解：|﹣5|＝5， |4.5|＝4.5， |﹣0.5|＝0.5， |﹢1|＝1， |0|＝0． 【教材P18 练习 第1题】 课堂练习 2．填空： （1）-3 的正负号是 ，绝对值是 ； （2）10.5 的正负号是 ，绝对值是 ； （3）绝对值是 7 的正数是 ； （4）绝对值是 5.1 的负数是 . ﹣ 3 ﹢ 10.5 7 ﹣5.1 【教材P18 练习 第2题】 课堂练习 解：（1）2个，分别是12和﹣12； （2）1个，是0； （3）没有，任何一个有理数的绝对值总是非负数． 3．回答下列问题： （1）绝对值是 12 的数有几个？是什么？ （2）绝对值是 0 的数有几个？是什么？ （3）有没有绝对值是 -3 的数？为什么？ 【教材P18 练习 第3题】 课堂练习 知识点1 绝对值的意义 1.（1）数轴上表示2.4的点到原点的距离是____，所以 ____； 2.4 2.4 （2）数轴上表示的点到原点的距离是___，所以 ___； （3）数轴上表示0的点到原点的距离是___，所以 ___. 3 3 0 0 返回 考试考法 15 2. 的几何意义是数轴上表示________的点到______的距离. 原点 返回 考试考法 16 3.［2025郑州月考］已知点，，， 在数轴上的位置如图，则其中 表示的数的绝对值最大的点是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 17 知识点2 绝对值的求法 4.［2024哈尔滨中考］ 的绝对值是( ) A A. B.10 C. D. 返回 考试考法 18 5.如图，点 所表示的数的绝对值为( ) A A.1 B. C. D.0 返回 考试考法 19 6.如果，那么 的值是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 20 7.（4分）［教材例1变式］求出下列各数的绝对值：， ， ， ，0. 解：， ， ，， . 返回 考试考法 21 任何一个有理数的绝对值总是正数或0（通常也称非负数）．即对任意有理数a，总有 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 一个正数的绝对值是它本身； 0 的绝对值是 0. 一个负数的绝对值是它的相反数． |a|= a（a>0）, 0（a=0）, ﹣a（a<0）． 记作： 课堂小结 谢谢观看！ $