25.2求锐角的三角比的值（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

25.2求锐角的三角比的值 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 特殊锐角的三角比的值 1. 30°角的三角比： · sin30° = · cos30° = · tan30° = 2. 45°角的三角比： · sin45° = · cos45° = · tan45° = 1 3. 60°角的三角比： · sin60° = · cos60° = · tan60° = 已知锐角求三角比的值的方法 1. 直接运用特殊角的三角比：若所求锐角是30°、45°、60°等特殊角，可直接根据上述特殊角的三角比数值写出结果。 2. 利用直角三角形边长计算：若已知直角三角形中该锐角的对边、邻边、斜边中的任意两条边长，可根据三角比的定义（即相应边的比值）计算出三角比的值。 三角比的取值范围 对于锐角A（0°<∠A<90°）： 1. sinA的取值范围：0 < sinA < 1（因为对边小于斜边，且均为正数） 2. cosA的取值范围：0 < cosA < 1（因为邻边小于斜边，且均为正数） 3. tanA的取值范围：tanA > 0（因为对边与邻边均为正数，且当∠A从0°增大到90°时，tanA从0逐渐增大到无穷大） 锐角三角比的增减性（锐角范围内） 1. 正弦函数（sinA）：当锐角A的度数增大时，sinA的值随之增大。 2. 余弦函数（cosA）：当锐角A的度数增大时，cosA的值随之减小。 3. 正切函数（tanA）：当锐角A的度数增大时，tanA的值随之增大。 型 习 练 题 正弦值的相关值求解 1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如果是锐角，且，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 4．在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 5．在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 余弦值的相关值求解 6．若的余角是，则的值是（　　） A． B． C． D． 7．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 9．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 10．如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 正切值的相关值求解 11．在中，，，，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 12．如果把锐角的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 13．在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 15．在中，，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 特殊三角形的相关值求解 16．的值为（   ） A． B． C． D． 17．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 18．下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 19．已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．若，则的度数在那个范围（   ） A． B． C． D． 利用同角三角函数求值 21．在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 22．在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 23．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 24．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 25．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 三角函数综合 26．若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 27．如图，在中，，，，求BC的长和tanB的值． 28．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 29．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2求锐角的三角比的值 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 特殊锐角的三角比的值 1. 30°角的三角比： · sin30° = · cos30° = · tan30° = 2. 45°角的三角比： · sin45° = · cos45° = · tan45° = 1 3. 60°角的三角比： · sin60° = · cos60° = · tan60° = 已知锐角求三角比的值的方法 1. 直接运用特殊角的三角比：若所求锐角是30°、45°、60°等特殊角，可直接根据上述特殊角的三角比数值写出结果。 2. 利用直角三角形边长计算：若已知直角三角形中该锐角的对边、邻边、斜边中的任意两条边长，可根据三角比的定义（即相应边的比值）计算出三角比的值。 三角比的取值范围 对于锐角A（0°<∠A<90°）： 1. sinA的取值范围：0 < sinA < 1（因为对边小于斜边，且均为正数） 2. cosA的取值范围：0 < cosA < 1（因为邻边小于斜边，且均为正数） 3. tanA的取值范围：tanA > 0（因为对边与邻边均为正数，且当∠A从0°增大到90°时，tanA从0逐渐增大到无穷大） 锐角三角比的增减性（锐角范围内） 1. 正弦函数（sinA）：当锐角A的度数增大时，sinA的值随之增大。 2. 余弦函数（cosA）：当锐角A的度数增大时，cosA的值随之减小。 3. 正切函数（tanA）：当锐角A的度数增大时，tanA的值随之增大。 型 习 练 题 正弦值的相关值求解 1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出的值，再根据锐角三角函数的定义得出，代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 故选：B． 2．如果是锐角，且，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形；如图，中，，，设，则，根据勾股定理可得，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图，在，，，则 ∵ 设，则 ∴ ∴ 故选：C． 3．在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 4．在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的意义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 余弦值的相关值求解 6．若的余角是，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，求特殊角三角函数值．根据度数之和为90度的两个角互余，据此可得的度数，再根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 7．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先运用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，故此选项错误；     B．，故此选项错误；     C．，故此选项正确； D．，故此选项错误．     故选：C． 8．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查余弦定义，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：D． 10．如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 正切值的相关值求解 11．在中，，，，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据正切的定义求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 12．如果把锐角的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，在锐角中，是边上的高，根据正切的定义可得，设锐角的各边长都扩大到原来的4倍后得到的三角形为（其中A、B、C分别与对应），为的边上的高，证明，，可得，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在锐角中，是边上的高， ∴； 设锐角的各边长都扩大到原来的4倍后得到的三角形为（其中A、B、C分别与对应），为的边上的高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴锐角A的正切值没有改变， 故选：C． 13．在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，利用锐角三角函数的定义，根据正切函数求对边即可. 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 14．在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 15．在中，，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， 故选：B． 特殊三角形的相关值求解 16．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，直接代入特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 17．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意； B、，原式正确，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项不符合题意； D、，则，原式不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 18．下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、同角三角函数的关系．对于A、B选项代入相应的特殊三角函数值即可判定，对于C、D选项根据同角三角函数之间的关系即可判定． 【详解】解：A、，，则，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 19．已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可． 本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 【详解】解：，，， ， 故选：B． 20．若，则的度数在那个范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在，随着的增大而增大，，， ， ， 故选：B． 利用同角三角函数求值 21．在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数、勾股定理，根据勾股定理和三角函数定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 22．在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ∴， ∴． 故选：A． 23．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 24．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键． 25．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，计算即可得出结果． 【详解】解：是锐角，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即． 三角函数综合 26．若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【详解】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 27．如图，在中，，，，求BC的长和tanB的值． 【答案】， 【分析】根据直角三角形中，，，得出长，再结合勾股定理求出，进而利用正切函数值定义求出． 【详解】解：在中，，，， ，即； 根据勾股定理可得, ． 【点睛】本题主要考查三角函数值求线段长及求三角函数值，掌握三角函数值的定义，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 28．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 29．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度； （2）由，代值计算即可． 【详解】（1）在中，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值． 【答案】（1）12.5；（2） 【分析】（1）根据锐角三角函数，可得，再由直角三角形的性质，即可求解； （2）根据直角三角形的面积，可得，再由锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，点E是BC的中点， ； （2）， ， ∴ ， ∵，， AB=20， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，直角三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $