25.1锐角的三角比的意义（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

25.1锐角的三角比的意义 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、正弦（sin） 在直角三角形中，对于一个锐角α，它的正弦值等于这个角的对边长度与斜边长度的比值。即：sinα = 。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，斜边为c，则sinA = 。 二、余弦（cos） 在直角三角形中，对于一个锐角α，它的余弦值等于这个角的邻边长度与斜边长度的比值。即：cosα = 。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的邻边为b，斜边为c，则cosA = 。 三、正切（tan） 在直角三角形中，对于一个锐角α，它的正切值等于这个角的对边长度与邻边长度的比值。即：tanα = 。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，邻边为b，则tanA = 。 四、锐角三角比的注意事项 1. 锐角三角比是在直角三角形中定义的，其值只与锐角的大小有关，与三角形的边长无关。 2. 对于锐角α，正弦、余弦、正切的值都是正数。 3. 在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°，则有sinA = cosB，cosA = sinB（互余角的三角比关系）。 型 习 练 题 正弦的概念辨析 1．已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．即． 根据α是锐角，判断出的取值范围，进而完成解答． 根据α是锐角，判断出sinα的取值范围，即可判断出sinα的值不可能为选项中的哪个数． 【详解】解：∵ α为锐角， ∴， ∴． ∴选项A、B、C符合题意，选项D的值为，即的值不可能为2． 故选D． 2．在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 3．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 4．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 5．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 余弦的概念辨析 6．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 7．已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后根据绝对值性质即可得到答案． 【详解】解：在直角三角形中，表示的邻边与斜边的比值，是小于1的， ， ， 故选：B． 8．如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 9．在中，、、对边分别为、、，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义得出，，即可得出答案. 【详解】解：由题知，， ∴， ∴， 故选C. 【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三家函数的定义是解决本题的关键. 10．在中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切、余切的定义是解题的关键． 根据直角三角形三角函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，，的对边为a，邻边为b，斜边为c， ∴，，，，即D选项符合题意． 故选：D． 正切的概念辨析 11．在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 12．如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 13．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 14．在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：如图，   ， 在中，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键． 二、解答题 15．如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 学科网（北京）股份有限公司 $25.1锐角的三角比的意义 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 正弦(sin) 余弦(cos) 新课探索 正切(tan) 锐角三角比的注意事项 讲义内容 正弦的概念辨析 余弦的概念辨析 题型练习 正切的概念辨析 新 课 探 索 一、正弦(sin) 在直角三角形中，对于一个锐角α，它的正弦值等于这个角的对边长度与斜边长度的比值。 对边 即：sina=斜 。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a,斜边为c,则sinA= 是。 二、余弦(cos) 在直角三角形中，对于一个锐角α，它的余弦值等于这个角的邻边长度与斜边长度的比值。 邻边 即：cosa=斜边 。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的邻边为b,斜边为c,则cosA= 。 三、正切(tan) 在直角三角形中，对于一个锐角α，它的正切值等于这个角的对边长度与邻边长度的比值。 对边 即：ana=就。例如，在Rt△ABC中，∠C=90,∠A的对边为a,邻边为b,则anA= 号。 四、锐角三角比的注意事项 1.锐角三角比是在直角三角形中定义的，其值只与锐角的大小有关，与三角形的边长 无关。 2.对于锐角α，正弦、余弦、正切的值都是正数。 3.在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，则有sinA=cosB,cosA=sinB(互余角的三角比关 系)。 题 型 练 习 正弦的概念辨析 l.已知a为锐角，则sina的值不可能为() A.月 B.② C. 3 D.2 2 2.在锐角ABC中，如果各边长都缩小为原来的，，那么∠A的正弦值() A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.大小不变 D.不能确定 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若ABC的三边都缩小5倍，则siA的值() A.放大5倍 B.缩小5倍 C.不变 D.无法确定 4.如图，在ABC中，∠C=90°，则sinA等于() B A.4C B C.Bc AB D. AB AB BC 5.如图，在Rt ABC中，LABC=90°，BD⊥AC于点D.下列不能表示cosA的是() B AB A. B. D C. D. AC AB BC BC 余弦的概念辨析 6.如图，已知在Rt△ABC中，LB=90°，则cosA=() A B A.AB B. BC BC AB C. AC D.C 7.已知∠A为锐角，则V(1-cosA)2=(). A.cos A-1 B.1-cos4 C.1+cosA D.sin A 8.如图，在R△ABC中，∠C=90,若cosB=BC, ，则是() A.AC B.BC C.AB D.∠A 9.在R1BC中，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、C,∠C=90,若sin∠A=名 3，则 cos∠B() A.⑤ 3 R D./5 2 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，Q、b、C分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列关系正确 的是() A.tan A=a B.cotA= C.sinA= b c b D.cosA= 正切的概念辨析 11.在Rt△ABC中，∠A=90°，如果∠B=a,AC=m,那么AB等于() A.simd B.m C.m·tana D.m.cota cosa 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Q,b,C分别是∠A,∠B,∠C的对边，则下列 式子正确的是() ⊙ b A.cos A=a B.cosA= C.tan A=4 c c D.tand-g 13.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值( A.不变 B.扩大5倍 c缩小号 D.不能确定 14.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=a,那么AB等于() A.a.tan A B.a.cot A C.a D.a sin A cosA 二、解答题 1 15.如图，如果&ABC中∠C是锐角，BC=a,4C=b.证明：S.ac=2 absin C,