24.4相似三角形的判定（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.4相似三角形的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 相似三角形的判定定理 （一）判定定理1（AA或角角定理） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 简单说：两角对应相等，两三角形相似。 （二）判定定理2（SAS或边角边定理） 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 简单说：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （三）判定定理3（SSS或边边边定理） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 简单说：三边对应成比例，两三角形相似。 直角三角形相似的特殊判定 （一）定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 简单说：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 （二）其他 直角三角形相似也可以运用一般三角形的相似判定定理（如AA，SAS，SSS）来判定。例如：有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似（AA）；两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（SAS）。 型 习 练 题 利用两角对应相等判定相似 1．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 2．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可． 【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意； B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意； C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意； D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意． 故选：B． 3．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 4．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 5．如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，即，由三角形外角的性质可推出，于是可证得，且依据已知条件，无法证明、、与相似，综上，即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， 即：， 又， ， ， 且依据已知条件，无法证明、、与相似， 故选：． 利用三边对应成比例判定相似 6．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 7．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 8．图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 9．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 10．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 11．如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴共有3组， 故选：A． 12．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 13．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 14．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 15．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 利用平行判定相似 16．如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 17．如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质，根据两直线平行， 同位角相等，可证、，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， ， ． 18．下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 【详解】证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 19．我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 20．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 相似三角形的判断综合 21．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】∽∽∽；证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【详解】解：图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 22．尺规作图：如图，在正方形中，点为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得．保留作图痕迹，并说明两三角形相似的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、尺规作一个角等于已知角．先根据正方形的性质得到，再利用尺规作一个角等于已知角的步骤作，即可解答． 【详解】解：如图，点P即为所求作． 在正方形中，， 又∵， ∴． 23．如图，已知点D，E，F分别是三边的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理；由三角形中位线定理得，，，求出对应边的比值，即可得证． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是三边的中点， ∴是的中位线， ，，， ， ． 24．已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，先证明，然后再证明即可． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，    ∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 25．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4相似三角形的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 相似三角形的判定定理 （一）判定定理1（AA或角角定理） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 简单说：两角对应相等，两三角形相似。 （二）判定定理2（SAS或边角边定理） 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 简单说：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （三）判定定理3（SSS或边边边定理） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 简单说：三边对应成比例，两三角形相似。 直角三角形相似的特殊判定 （一）定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 简单说：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 （二）其他 直角三角形相似也可以运用一般三角形的相似判定定理（如AA，SAS，SSS）来判定。例如：有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似（AA）；两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（SAS）。 型 习 练 题 利用两角对应相等判定相似 1．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 3．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 利用三边对应成比例判定相似 6．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 7．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 8．图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 9．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 10．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 11．如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 12．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 13．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 14．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 利用平行判定相似 16．如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 17．如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 18．下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 19．我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 20．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 相似三角形的判断综合 21．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 22．尺规作图：如图，在正方形中，点为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得．保留作图痕迹，并说明两三角形相似的理由． 23．如图，已知点D，E，F分别是三边的中点，求证：． 24．已知：在和中， ．求证：． 25．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $