24.1放缩与相似性（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四 制）数学九年级第一学期

24.1放缩与相似性 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、相似多边形 1. 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 3. 性质： · 相似多边形的对应角相等； · 相似多边形的对应边成比例； · 相似多边形周长的比等于相似比； · 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 4. 判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似（即定义既是性质也是判定）。 二、位似图形 1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 2. 位似中心：位似图形每组对应点所在直线的交点，位似中心可以在图形的内部、外部、边上或顶点处。 3. 性质： · 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质； · 位似图形对应点的连线相交于位似中心； · 位似图形对应边互相平行（或在同一直线上）； · 位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比。 4. 画法： · 确定位似中心； · 分别连接位似中心和图形的各顶点； · 根据相似比，在位似中心的同侧或两侧截取对应点； · 顺次连接各对应点，得到位似图形。 5. 作用：利用位似可以将一个图形放大或缩小。 型 习 练 题 相似多边形 1．如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边的比相等是解题的关键． 根据相似多边形的性质得到，结合题意得到，即可求出结果． 【详解】解：矩形与矩形相似， ，即， ∵， ∴， ， ：， 故选：． 2．用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，不发生改变的是（    ） A．每条边的长度 B．周长 C．面积 D．每个内角的度数 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质． 根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的六边形与原六边形是相似的关系， ∴用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：D． 3．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 4．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴，， 故只有选项B是错误的； 故选B． 5．若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似六边形的面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为． 故选：B 位似图形的相关概念 6．下列说法不正确的是（   ） A．两个相似形的周长比等于它们的相似比 B．任意两个矩形都相似 C．所有的正方形都是形状相同的图形 D．成位似关系的两个图形是相似形 【答案】B 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、两个相似形的周长比等于它们的相似比，说法正确，不符合题意； B、矩形的相似需满足对应边成比例且对应角相等．虽然所有矩形角均为直角，但若长宽比不同（如与的矩形），对应边不成比例，故不相似．因此“任意两个矩形都相似”错误，故此选项符合题意； C、所有正方形边长相等且角均为直角，形状完全相同，仅大小不同，故均为相似图形．此说法正确，故此选项不符合题意； D、位似图形通过缩放和平移得到，必为相似形．此说法正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．其中正确表述的序号是（　　） A．② B．①② C．③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质和概念．根据位似图形的性质和定义（识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心）逐个判断即可得． 【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误； ②位似图形一定有位似中心，则原命题正确； ③位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，而非任意两点，则原命题错误； 综上，正确命题的序号是②， 故选：A． 8．如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，可得，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合，通过计算即可得到答案． 【详解】∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 10．如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键．根据位似图形的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故D不正确，符合题意． 故选D． 求两个位似图形的相似比 11．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长∶四边形周长， ∵四边形的周长是， ∴四边形的周长是， 故选：C． 12．如图，与是位似图形，位似中心是点O，且与的面积比为，已知的周长是4，则的周长是（    ） A．2 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得到周长比为，从而求得的周长． 【详解】解：∵与的面积比为， ∴与的相似比为， ∵的周长是4， ∴的周长是8， 故选：B． 13．如图，五边形和五边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的定义，相似三角形的判定及性质，相似多边形的性质；由位似图形的定义得五边形五边形，由相似多边形的性质得，可判定，再由相似多边形的性质即可求解． 【详解】解：五边形和五边形是以点O为位似中心的位似图形， 五边形五边形，， ， ， ， ； 故选：A． 14．图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念得到，结合图形解答即可． 【详解】解：以顶点为位似中心放大后得到， ， 方格纸的边长为，则，， 与的相似比是， 故选：C． 15．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且位似比为，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据位似比等于相似比，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 求位似图形的对应坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的位似比为．若点A的坐标是，则对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键． 根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵与的位似比为，点A的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：D． 17．以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为．若点C的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系与位似图形；根据以原点为位似中心，位似比为k时，位似图形对应点的坐标的比为k或．据此计算即可． 【详解】解：∵相似比为，位似中心为原点O，点C的坐标为， ∴点的坐标为即或即， ∴点的坐标为或， 故选：D． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点的对应点在第三象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求位似图形的对应点坐标，把点A的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，点的对应点在第三象限，， ∴，即， 故选：D． 19．在平面直角坐标系中，已知线段，点，，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 以原点为位似中心进行位似变换时，点的对应坐标可能为原坐标乘以相似比（同侧）或乘以相似比的相反数（异侧）． 【详解】解：∵位似中心为原点，相似比为， ∴点的对应点的坐标为即或即． 故选C． 20．在平面直角坐标系中，已知，，．以坐标原点O为位似中心把缩小，得到，则点C的对应点的坐标为（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查位似的性质．根据位似比的性质可知，用点C的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为， ∴点的对应点的坐标为或， 故选：B． 在坐标系中画位似图形 21．已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)是的，理由见解析 【分析】本题主要考查了成比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． （1）根据所给长度进行计算即可； （2）根据成比例线段的定义进行计算即可； （3）根据比例中项的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴线段a与线段b的比为． （2）解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∴，即线段d的长为24． （3）解：是的，理由如下： ∵， ∴， ∴b是a和c的比例中项． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在原点右侧将放大为原来的2倍，得到，请画出，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析，点的坐标为 (2)画图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了坐标系中的对称作图和位似作图，熟练掌握轴对称的性质和位似图形的性质是解题的关键； （1）先画出点A、B、C关于x轴对称的点，再顺次连接即可； （2）先画出点A、B、C以点为位似中心在原点右侧放大后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为； （2）解：如图所示，点的坐标为． 23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在第三象限中画出，使与位似，且相似比为； (2)直接写出点、和点的坐标： （ ， ），（ ， ），（ ， ）． 【答案】(1)图见详解 (2)；； 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键； （1）根据“与位似，且相似比为”可进行作图； （2）根据平面直角坐标系可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：由坐标系可知：，，； 故答案为；；． 24．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)以原点O为位似中心，将缩小，使变化后得到的新三角形与原三角形的位似比为，请在平面直角坐标系中画出新三角形； (2)在中有一个点，则变换后P的对应点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析 (2)或 【分析】本题考查位似图形，解题的关键是掌握位似图形的画法以及点坐标的对应关系． （1）连接，并取它们的中点，把三个中点连接就可以得到新三角形，再分别做这三个中点关于原点的对称点，还可以得到一个满足条件的三角形； （2）先把横纵坐标缩小为原来的一半即可，还有一个点是所得的点关于原点的对称点． 【详解】（1）解：如下图即为所求作； （2）解：变换后横纵坐标都变为原来的一半，即， 还有关于原点对称的一个点． 故答案是：或． 25．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以点为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的位似比为； (2)以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，若点在线段上，请直接写出点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标． (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)6 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似是解题的关键； （1）根据位似的性质可进行作图； （2）根据“与的位似比为”可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：∵与的位似比为，且， ∴； （3）解：． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1放缩与相似性 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、相似多边形 1. 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 3. 性质： · 相似多边形的对应角相等； · 相似多边形的对应边成比例； · 相似多边形周长的比等于相似比； · 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 4. 判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似（即定义既是性质也是判定）。 二、位似图形 1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 2. 位似中心：位似图形每组对应点所在直线的交点，位似中心可以在图形的内部、外部、边上或顶点处。 3. 性质： · 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质； · 位似图形对应点的连线相交于位似中心； · 位似图形对应边互相平行（或在同一直线上）； · 位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比。 4. 画法： · 确定位似中心； · 分别连接位似中心和图形的各顶点； · 根据相似比，在位似中心的同侧或两侧截取对应点； · 顺次连接各对应点，得到位似图形。 5. 作用：利用位似可以将一个图形放大或缩小。 型 习 练 题 相似多边形 1．如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．用放大镜看到的六边形与原六边形相比较，不发生改变的是（    ） A．每条边的长度 B．周长 C．面积 D．每个内角的度数 3．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 位似图形的相关概念 6．下列说法不正确的是（   ） A．两个相似形的周长比等于它们的相似比 B．任意两个矩形都相似 C．所有的正方形都是形状相同的图形 D．成位似关系的两个图形是相似形 7．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．其中正确表述的序号是（　　） A．② B．①② C．③ D．②③ 8．如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 10．如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 求两个位似图形的相似比 11．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（ ） A． B． C． D． 12．如图，与是位似图形，位似中心是点O，且与的面积比为，已知的周长是4，则的周长是（    ） A．2 B．8 C．16 D．20 13．如图，五边形和五边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（    ）． A． B． C． D． 14．图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 15．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且位似比为，那么的值为（   ） A． B． C． D． 求位似图形的对应坐标 16．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的位似比为．若点A的坐标是，则对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 17．以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为．若点C的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点的对应点在第三象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 19．在平面直角坐标系中，已知线段，点，，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 20．在平面直角坐标系中，已知，，．以坐标原点O为位似中心把缩小，得到，则点C的对应点的坐标为（    ）． A． B．或 C． D．或 在坐标系中画位似图形 21．已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在原点右侧将放大为原来的2倍，得到，请画出，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在第三象限中画出，使与位似，且相似比为； (2)直接写出点、和点的坐标： （ ， ），（ ， ），（ ， ）． 24．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)以原点O为位似中心，将缩小，使变化后得到的新三角形与原三角形的位似比为，请在平面直角坐标系中画出新三角形； (2)在中有一个点，则变换后P的对应点的坐标为______． 25．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以点为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的位似比为； (2)以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，若点在线段上，请直接写出点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标． (3)直接写出的面积为______． 学科网（北京）股份有限公司 $