24.1放缩与相似形（3大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

24.1 放缩与相似形 知识点一 相似形的定义 ★1、相似形的定义：我们把形状相同的两个图形称为相似图形，或者说是相似形. ★2、图形的放缩运动：图形的放大或缩小． 【注意】 (1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等 (3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系. 知识点二 相似形的性质 ★1、相似形的性质：对应角相等,对应边的长度成比例. ★2、相似比：相似多边形对应边的比. 【注意】相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 题型一 判断相似图形 解题技巧提炼 判定两个多边形相似的方法： (1)两个多边形的边数相同;(2)对应角分别相等;(3)对应边成比例. 1．下列命题中，正确的是（     ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 2．下列说法中，一定正确的是（    ） A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似 3．下列判断中，正确的是（     ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 4．下列两个图形一定相似的是（      ） A．两个矩形 B．两个梯形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 题型二 相似形在实际问题中的应用 解题技巧提炼： 相似形在实际问题中的应用，要注意联系相似图形的性质，像比例尺关系、放大镜问题、几何图形等问题，在解题过程中始终记住“对应角相等，对应边的比相等”. 5．在比例尺为1：50000的地图上量出A、B两地的距离是4cm，那么A、B两地的两地的实际距离是（    ） A．200000米 B．500千米 C．20千米 D．2千米 6．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（　 　） A．40cm B．400cm C．0.4cm D．4cm 7．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（   ） A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积 8．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为，其中一条边的长度为．经测量，这条边的实际长度为，则这块草坪的实际面积是（ ） A． B． C． D． 9．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（     ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 题型三 利用相似形的性质求图形的边长、角度 解题技巧提炼： 提炼一：根据相似多边形的性质求边长的一般步骤： 第1步:设出多边形的未知边的长; 第2步:根据相似多边形的对应边成比例列出方程; 第3步:解方程，求出多边形的未知边的长 提炼二：四边形求角问题，可以根据相似多边形的对应角相等以及四边形的内角和为 360°求解即可. 10．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（     ） A． B． C． D． 11．在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角度α的大小． 12．如图所示，两个四边形相似， 求未知数x，y和角度α的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1 放缩与相似形 知识点一 相似形的定义 ★1、相似形的定义：我们把形状相同的两个图形称为相似图形，或者说是相似形. ★2、图形的放缩运动：图形的放大或缩小． 【注意】 (1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等 (3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系. 知识点二 相似形的性质 ★1、相似形的性质：对应角相等,对应边的长度成比例. ★2、相似比：相似多边形对应边的比. 【注意】相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 题型一 判断相似图形 解题技巧提炼 判定两个多边形相似的方法： (1)两个多边形的边数相同;(2)对应角分别相等;(3)对应边成比例. 1．下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．下列说法中，一定正确的是（   ） A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A．所有的直角三角形的两个对应锐角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B．所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D．所有的正方形，对应角的度数一定相同，对应边的比值一定相等，故一定相似，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的判定，掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 3．下列判断中，正确的是（    ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 【答案】A 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，A正确； B．各有一个角是40°的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，B错误； C．任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，C错误； D．任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 4．下列两个图形一定相似的是（     ） A．两个矩形 B．两个梯形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意； 因为两个梯形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个梯形不一定相似，所以B不符合题意； 因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意； 因为两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等边三角形相似，所以D符合题意． 故选：D． 题型二 相似形在实际问题中的应用 解题技巧提炼： 相似形在实际问题中的应用，要注意联系相似图形的性质，像比例尺关系、放大镜问题、几何图形等问题，在解题过程中始终记住“对应角相等，对应边的比相等”. 5．在比例尺为1：50000的地图上量出A、B两地的距离是4cm，那么A、B两地的两地的实际距离是（   ） A．200000米 B．500千米 C．20千米 D．2千米 【答案】D 【分析】比例尺就是图上距离与实地距离之比，变形计算即可． 【详解】4×50000＝200000cm＝2000m，故选D． 【点睛】本题考查比例尺的相关计算，较为简单． 6．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（　　） A．40cm B．400cm C．0.4cm D．4cm 【答案】D 【分析】根据实际距离×比例尺＝图上距离，代入数据计算即可． 【详解】20千米＝2000000厘米，2000000×＝4（cm）．故选D． 【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 7．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（  ） A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积 【答案】B 【详解】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误； ∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误； ∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误． 故选B． 点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比． 8．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为，其中一条边的长度为．经测量，这条边的实际长度为，则这块草坪的实际面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实际图形与设计图是相似图形，相似比是5：1500=1：300，相似多边形面积的比等于相似比的平方，就可求出这块草坪的实际面积． 【详解】解：设草坪的实际面积是x平方米， 则有 解得x=. 故选C. 【点睛】考查相似多边形的性质，相似多边形面积的比等于相似比的平方. 9．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【答案】D 【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可． 【详解】解：∵6：2=3：1， ∴三个矩形的长宽比为3：1， 甲方案：如图1所示， 3a+3b=6， ∴a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 乙方案：如图2所示， a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 如图3所示， 矩形①的长为2，则宽为2÷3=； 则矩形②的长为6-=，宽为÷3=； ∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=； ∵16， ∴周长和的最大值为； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键． 题型三 利用相似形的性质求图形的边长、角度 解题技巧提炼： 提炼一：根据相似多边形的性质求边长的一般步骤： 第1步:设出多边形的未知边的长; 第2步:根据相似多边形的对应边成比例列出方程; 第3步:解方程，求出多边形的未知边的长 提炼二：四边形求角问题，可以根据相似多边形的对应角相等以及四边形的内角和为 360°求解即可. 10．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案 【详解】解：设它的最大边长为， ∵两个四边形相似， ∴， 解得， 即该四边形的最大边长为． 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键． 11．在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角度α的大小． 【答案】x=31.5；y=27；a=83°． 【分析】根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例． 【详解】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以==，解得x=31.5，y=27． a=360°﹣（77°+83°+117°）=83°． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 12．如图所示，两个四边形相似， 求未知数x，y和角度α的大小． 【答案】x＝12，y＝6，∠α＝125° 【分析】到已知的题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题. 【详解】∵两个四边形相似， ∴8:y=x:9=20:15,∠C=∠C′=50° 解得：y=6，x=12. ∵四边形内角和等于360°， ∴α=∠D=360°－∠A－∠B－∠C=125°. ∴x=12，y=6，α=125°. 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$