17.2 用公式法分解因式 课时2 用完全平方公式分解因式 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦用完全平方公式分解因式及x²+(p+q)x+pq型因式分解，通过回顾整式乘法逆运算，结合完全平方式特征分析和绿地面积情境导入，搭建从知识回顾到新课讲解的学习支架，衔接前后知识点脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过十字交叉图示的几何直观和公式逆用的推理意识培养数学思维，如例1分解-6ab-9a²-b²强调符号处理，当堂小练结合非负性应用。学生能深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

第十六章 整式的乘法 17.2 用公式法分解因式 课时2 用完全平方公式分解因式 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 用完全平方公式分解因式 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 1. 经历通过乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的相反变形得出利用完全平方公式分解因式的过程. 2. 熟练运用完全平方公式法分解因式的运算法则进行实际的计算. 学习目标 知识回顾 因式分解： 我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a±b)2=a2±2ab＋b2. 完全平方公式： 新课导入 多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式. 思考 1. 多项式是二次三项式； 2. 首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”. 完全平方式的条件： 新课导入 把整式乘法的完全平方公式 的等号两边互换，就得到 (a+b)2 =a2+2ab+b2， (a-b)2 =a2-2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2 . 新课讲解 知识点1 用完全平方公式分解因式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2 . 用完全平方公式分解因式 “两个数”指的是a，b，可以是单项式，也可以是多项式. 1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆用的形式. 2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“+”，也可以是“-”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解. 注意 新课讲解 例 1. 分解因式： (1) x2+4x+4； (2) 16x2-24x+9.　 x2+4x+4=x2+2·x·2+22 a2+2·a·b+b2 解：(1) x2+4x+4 =x2+2·x·2+22 =(x+2)2. (2)16x2-24x+9 =(4x)2-2·4x·3+32 =(4x-3)2. 新课讲解 例 1. (3)－6ab－9a2－b2； (4)(x2＋5x)2＋18(x2＋5x)＋81. 解：(3) －6ab－9a2－b2 ＝－(9a2＋6ab＋b2) ＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2] ＝－(3a＋b)2； 当首项系数为负数时，一般要提出负号，这时括号内多项式的各项都要变号 (4) (x2＋5x)2＋18(x2＋5x)＋81 ＝(x2＋5x)2＋2·(x2＋5x)·9＋92 ＝(x2＋6x＋9)2. 看作一个整体 新课讲解 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： ①多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同； ②中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以. 新课讲解 例 2. 已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是__________. 方法点拨：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值. 解：因为9a2＝(±3a)2，16＝(±4)2，9a2＋ka＋16是一个完全平方式， 所以ka＝±2×3a·4＝±24a. 所以k＝±24. 有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式 ±24 新课讲解 运用完全平方公式分解因式的步骤： 新课讲解 练一练 1. 分解因式： (1) 4x2＋y2－4xy； (2) 9－12a＋4a2； (3) (m＋n)2－6(m＋n)＋9. 解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2； 解：原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2； 解：原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2. 新课讲解 练一练 2. 下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是(　　) A. x2－2x＋4 B. x2－x＋1 C.16x2＋8x＋1 D. x2－6x＋9 A 3. 已知，为任意有理数，记，，则与 的大小关系为 ( ) 新课讲解 练一练 B A. B. C. D. 不能确定 新课讲解 把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 新课讲解 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块边长为x m的正方形绿地，向两邻边分别加宽p m和q m，扩大后的绿地面积是多少？ x x p q 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 绿地的面积还可以怎样表示？ 这样就把分解成两个因式乘积的形式. x2 px pq qx 新课讲解 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可以得出： 型式子的因式分解 利用上式，可以将某些二次项系数为1的二次三项式进行因式分解. 新课讲解 将式子x2+3x+2分解因式. 因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子. p=1，q=2. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 1 1 1 2 1×2+1×1 = 3 x2+3x+2=(x+1)(x+2). 十字相乘法 探究 一次项系数 新课讲解 探究 将式子x2+3x+2分解因式. x x 1 2 1x+2x =3x (x+1)(x+2). 十字相乘法分解因式的步骤： 1. 分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； 2. 分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 3. 交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 新课讲解 1. 运用进行因式分解需要满足的条件： ①分解因式的多项式是二次三项式； ②二次项系数是1，常数项可以分解成两个数的积，且一次项系数是这两个数的和； 2. 当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项的符号相同； 当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项的符号相同； 3. 有时候需要多次尝试才能分解. 重 点 新课讲解 例 3. 分解因式： (1) ； (2) . 分析：(1) 1 -1 1 -2 1×(-2)+1×(-1)=-3 (2) 1 -2 1 5 1×5+1×(-2)=3 解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5). 新课讲解 练一练 1. 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (1) y2-7y+12； (2) x2+7x-18. y y -3 -4 y(-3)+y (-4)=-7y 解：(1) y2-7y+12=(y-3)(y-4). x x -2 9 x9+ x(-2)=7x (2) x2+7x-18=(x-2)(x+9). 新课讲解 练一练 2. 分解因式：b4-b2-12=______________. (b+2)(b-2)(b2+3) 分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，可以看作a2-b-12. 1 -4 1 3 1×3+1×(-4)=-1 解：b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3). 课堂小结 用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2 . 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式; 其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同; 中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 一次项系数 1 p 1 q 当堂小练 1. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a2-4a+4； (2) 1+4a2； (3) 4b2+4b-1； (4) a2+ab+b2. 解：(1)是，a2-4a+4=(a-2)2. (2)不是，缺少一次项. (3)不是，4b2+4b-1=4b2+4b-12，平方项符号不一致. (4)不是，ab项没有系数2. 当堂小练 2. 若有理数，满足，则 的值为 ( ) A A. 2 B. C. 1 D. 当堂小练 3. (1) 若是完全平方式，则 ______； (2) 若是完全平方式，则 ________. 9 当堂小练 解：(1) 原式 . (2) 原式 . (3) 原式 . (4) 原式 . (5) 原式 . (6) 原式 . 4. 分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；(5) ； (6) . 当堂小练 5. 将分解因式得到，其中，是常数，则 ( ) A A. B. C.3 D.4 6. 无论，取何值，代数式 的值一定是 ( ) B A.非正数 B.负数 C.正数 D.非负数 当堂小练 7. 分解因式：x3+5x2+6x=___________. x(x+2)(x+3) 1 2 1 3 1×3+1×2=5 分析：x3+5x2+6x =x(x2+5x+6) =x(x+2)(x+3). 当堂小练 8. 已知，且，则 的值是________. 4或-1 1 -4y 1 y 1×y+1×(-4y)=-3y 分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1. 当堂小练 9. 已知，则 的值为____. 4 解： , . . ，， . ，， . 对接中考 1. 无论， 为何值， 的值都是 ( ) A A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 解： ， ，， ，即 无论， 为何值， 的值都是正数. 对接中考 解：， ，，， 即 ，故①错误； ，，， ，，故②正确； ，， ，， ，，即， ， ，，，，即 ， ，故③正确；故选B. 2. 已知实数，，，其中且满足 ，，下列结论：， ， ，其中正确的是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ B 拓展与延伸 【阅读材料】分解因式： . 解：将“”看成一个整体，令 ，则原式 . 再将“”还原，原式 . 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法. 【问题解决】(1) 分解因式： ； 解：设，则原式 ， 还原，得原式 . 拓展与延伸 证明：原式 . 设，则原式 ， 还原，得原式 . 为正整数， 为正整数. 代数式 的值一定是某个整数的平方. (2) 证明：若为正整数，则代数式 的值一定是某个整数的平方. $