17.2 用公式法分解因式 课时1 用平方差公式分解因式 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 17.2 用公式法分解因式 课时1 用平方差公式分解因式 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 用平方差公式分解因式 5. 课堂小结 3. 新课导入 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 对接中考 8. 拓展与延伸 2. 知识回顾 1. 通过乘法公式的相反变形得出利用公式法分解因式的过程，理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别. 2. 熟练运用平方差公式法分解因式的运算法则进行实际的计算. 学习目标 知识回顾 因式分解： 我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 平方差公式： . 新课导入 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式的等号两边互换位置，就得到了 多项式a2-b2有什么特点？ 回想平方差公式的特点，你能将它分解因式吗？ 是两个数的平方的差 新课讲解 知识点 用平方差公式分解因式 用平方差公式分解因式 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： 多项式是一个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. “两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式. 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式的等号两边互换位置，就得到了 新课讲解 ) )( ( b a b a - + = b2 a2 - ) )( ( b a b a b2 a2 - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 . 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 新课讲解 1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式. 2. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： (1) 系数是某个数的平方，指数要成双，减号在中央. (2) 等号的左边是一个二项式，两项都是平方的形式且符号相反； (3) 等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差. 注意 新课讲解 例 1. 分解因式： (1)4x2 － 9； (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2. 在(1)中， 4x2 = (2x) 2 ， 9 = 3 2， 4x2 － 9 =(2x) 2 －3 2 ， 即可用平方 差公式分解因式. 解：4x2 － 9 = (2x)2 － 3 2 = (2x ＋ 3)(2x － 3)； 在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体， 设x ＋ p = m， x ＋ q = n ， 则原式化为m 2 － n 2， 即可用平方 差公式分解因式. 解：(x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2 = [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ] = (2x ＋ p ＋ q)(p － q). 分析： 新课讲解 例 解：(1) ； (2) 2. 分解因式 (1) ； (2) . 注意：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 分解完全了吗？ 分解完全了吗？ 新课讲解 练一练 1. 分解因式：(1)4x2－25y2； (2)－＋x4； (2)(a＋2)2－1； (4)16(a－b)2－25(a＋b)2. 解：(1) 4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)； (3) (a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)； (2) －＋x4 ＝x4－＝； 看成一个整体 (4) 16(a－b)2－25(a＋b)2 ＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)] ＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)＝(9a＋b)(－a－9b) ＝－(9a＋b)(a＋9b). 分别看成一个整体 新课讲解 练一练 2. 将“ ？”因式分解得到 ，则“？” 是 ( ) B A. B. C. D. 新课讲解 练一练 3. 课堂上老师在黑板上布置了以下题目： 用平方差公式分解因式： （1）； （2） ； （3）； （4） . 涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是 ( ) B A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 新课讲解 运用平方差公式分解因式的步骤 一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面； 二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套：套用平方差公式进行分解； 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式. 课堂小结 用平方差公式分解因式 a2-b2=(a+b)(a-b)， 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： ①多项式是二项式； ②每一项都能写成平方的形式，且符号相反. 当堂小练 1. 下列分解因式错误的是 ( ) D A. B. C. D. 当堂小练 2. 分解因式： 解：(1) 原式 . (2) 原式 . (3) 原式 . (1) ;； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . (4) 原式 . (5) 原式 . (6) 原式 . 当堂小练 3. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了二项式 中“ ”的 部分，若该二项式能分解因式，则“ ”不可能是 ( ) C A. B.4 C. D.9 4. 若，，是三角形的三边长，则式子 的值 ( ) 当堂小练 B A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定 5. 某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的一部分弄污了，那么式子中 所对应的代数式是 ( ) 当堂小练 A A. B. C. D. 当堂小练 6. 若，则 的值为 ( ) C A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 解： ， . 当堂小练 7. 对于任意整数， 都 ( ) C A. 能被2整除，不能被4整除 B. 能被4整除，不能被8整除 C. 能被8整除 D. 能被5整除 解： 为任意整数， 既能被2整除又能被4整除. 又 ，是连续整数， ， 必有一个是偶数， 能被8整除，即 能被8整除. 当堂小练 8. 若，，则 的值为 ( ) B A.200 B. C.100 D. 对接中考 1. 先化简，再求值：，其中， . 解：原式 . 当，时，原式 . 对接中考 2. 计算： … _____. 解：原式… . 拓展与延伸 (1) 若选择B，C卡片，请进行因式分解； 解： (1) . (2) . 不论为何整数,的值总可以被整数整除， 即是整数 的整数倍， 满足条件的最小正整数 的值是3. 1. 如图，卡片A，B，C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张相加后再进行因式分解运算. (2) 嘉嘉发现：“若选择A，B卡片，不论 为何整数，其结果总可以被正整数 整除”，请确定满足条件的最小正整数 的值. 拓展与延伸 2. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.例如： ，，， ，则8，16，24这三个数都是“奇特数”. (1) 设两个连续奇数是和 （其中 取正整数），由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？请说明理由. 解：由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数. 理由如下： ， 由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数. 拓展与延伸 解：由题意，得 . (2) 如图是由正方形组成的图形，正方形的边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形 ，若其边长为39，求阴影部分的面积. $