精品解析：辽宁省盘锦市大洼区联考2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

九年级期中考试 数学 注意事项： 1.全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义是关键．根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴是其顶点横坐标，由顶点式可直接得出对称轴为，据此求解即可． 【详解】解：抛物线方程为， 对称轴为直线， 故选：A． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算判别式并分析其符号，判断根的情况． 【详解】解：判别式， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 将二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象平移规则． 根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的解析式为． 故选：C． 5. 如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．由，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数． 【详解】解：∵点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上，， ∴， 故选：D． 6. 近年来，随着人工智能和5G技术的快速发展，某半导体公司的AI芯片产量呈现爆发式增长．该公司的AI芯片产量在今年3月为10000片，由于市场需求旺盛，5月产量大幅提升至16900片．设该公司4，5两个月芯片产量的月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据月平均增长率的定义，从3月到5月经过两个月增长，每次增长率为，因此4月产量为，5月产量为，据此列方程． 【详解】解：∵ 月平均增长率为， ∴ 4月产量为， ∴ 5月产量为． 又∵ 5月产量为16900， ∴． 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，掌握圆内接四边形的性质是解决本题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， 故选：C． 8. 二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（ ） … … … … … … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 方程的负数解的取值范围是， 故选：B． 9. 若关于的一元二次方程的两个根分别为，且，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数综合． 通过分析二次函数的图像性质，该函数为开口向上的抛物线，与x轴交于和，且由于方程等于正数2，其根和应分别位于的左侧和的右侧． 【详解】解：∵函数是开口向上的抛物线，与x轴交于点和，且， ∴当或时，；当时，． ∵方程即， ∴方程的两个根和满足和． 又∵且， ∴． 故选：D． 10. 如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵是上的一动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为， 故选：A 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 12. 若函数是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，函数表达式需满足x的指数为2且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， 则指数部分，且系数， 解得：， 故答案为：． 13. 已知函数，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，抛物线的增减性是由对称轴和开口方向确定的，确定开口方向和对称轴是关键． 根据顶点式可求对称轴，再结合开口方向判断增减性． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案：减小． 14. 如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，由圆周角定理得是圆形镜面的直径，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， ∵，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段，又将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段如此下去，得到线段，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，勾股定理，二次根式的乘法运算，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 根据题意得出，，，如此下去，得到线段，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵， ∴点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ∴， ∴（舍负）， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，关于原点对称的点坐标的关系．注意：关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数． （1）根据一元二次方程的因式分解法即可求出答案． （2）根据两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数列出方程即可求出答案． 【详解】解：（1）， 分解因式，得， ∴或， ． （2）∵点与点关于原点对称， ， 解得． 17. 如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． （1）通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． （2）将绕原点旋转，得到，请画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握画旋转图形的方法及步骤． （1）连接对应点，则对应点连线的交点即为旋转中心； （2）将点分别绕原点旋转，得到点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：旋转中心即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 18. 如图，是的直径，，是圆上的两个点，连接，，，，．若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 先根据，得出，由圆周角定理得，即可求证． 【详解】证明：， ． ， ． ． 19. 如图，抛物线经过点． （1）求的值以及此抛物线的顶点坐标． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质． （1）将点代入中求出的值，即可计算出顶点坐标； （2）利用二次函数顶点式可得当时取得最小值，再求出和时对应的函数值即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 解得， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，有最小值， ∵当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 20. 项目学习 项目背景：小王的爷爷家有一个养鸡场，爷爷打算将养鸡场进行扩建，他将设计任务交给了小王．为此，小王以“设计养鸡场扩建方案．”为主题开展了项目式学习． 项目主题：设计养鸡场扩建方案． 驱动问题：养鸡场扩建． 活动内容：利用一元二次方程、二次函数等有关知识进行计算． 有关信息：①原养鸡场的长为，宽为； ②扩建后养鸡场的长最大为，宽最大为． 解决问题： （1）若将养鸡场的长、宽均扩大，得到一个面积为的新养鸡场，则的值为多少？ （2）若养鸡场的长扩建的长度是宽扩建的长度的2倍，则养鸡场的面积能否达到．若能，求出扩建的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为 （2）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意正确建立方程． （1）根据长方形面积公式得到方程，再解方程，并验证是否符合题意即可； （2）设扩建的长度为，则扩建的长度为，根据长方形面积公式得到方程，解方程，并验证是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴的值为； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 设扩建的长度为，则扩建的长度为， 由题意得，， 整理得， 解得，（舍）， 此时扩建后的长，不符合题意， 故不能． 21. 如图，为的直径，且于点，连接． （1）求证：． （2）若，求弦长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理及勾股定理． （1）先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）先根据垂径定理得到，再计算出，，则利用勾股定理可计算出，从而得到的长． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ． ， ， ，． 在中，， ． 22. 如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度为2m．经测量，当水柱的水平喷射距离为4m时，高度为14.8m；当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m． （1）求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． （2）计算水柱喷射的最大高度． （3）现要在水池边缘安装一圈宽度为1m环形观景台（内径20m，外径21m），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 【答案】（1） （2）水柱喷射的最大高度为22m （3）喷口高度的可调节范围为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数与不等式的结合，根据题意进行平面直角坐标系的建模是解题关键． （1）根据题意可得抛物线的三个点为，，，采用待定系数法即可求出解析式． （2）将抛物线解析式化为顶点式求出最值即可． （3）设喷口高度为h，重新建立抛物线解析式，利用抛物线分别经过，，建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． 将，代入，得， 解得， ∴水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：． ，∴当时，取最大值22， ∴水柱喷射的最大高度为22m． 答：水柱喷射的最大高度为22m． 【小问3详解】 解：设平移后的抛物线的函数解析式为． 将代入，得，解得， 将代入，得，解得， ，即． 答：喷口高度的可调节范围为． 23. 综合与实践 如图1，小明在学习了三角形相关知识后，对直角三角形进行了探究．在直角三角形中，，过点作射线，垂足为． （1）【动手操作】 如图2，若点在线段（不包括两点）上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点．根据题意，在图2中画出图形，图中的度数为______． （2）【问题探究】 在（1）的条件下，过点作交于点，根据所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由． （3）【变形拓展】 如图3，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为．若点在射线上移动，画出射线，同时将射线绕点逆时针旋转，与交于点，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）见解析，150 （2）见解析，，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，得出，即可解答； （2）根据题意画出图形，根据勾股定理得出，根据平行线的性质，得出，则．即可得出结论； （3）根据题意，分两种情况进行讨论：①当点在线段上时，过点作交于点，通过证明，得出，即可得出结论；②当点在线段的延长线上时，过点作交于点．证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：画图如图1所示． ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：150． 【小问2详解】 解：画图如图2所示． ． 理由：， ． 在中，由勾股定理，得． ， ． 同理，可得． ，， ． 【小问3详解】 解：或． 如图3，当点在线段上时，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ． ， ． ， ． 如图4，当点在线段的延长线上时，过点作交于点． ，， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ． ， ， ， ． ， ． 综上所述，当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，． 【点睛】本题属于几何变换综合应用，考查了等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是作辅助线构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中考试 数学 注意事项： 1.全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 4. 将二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 近年来，随着人工智能和5G技术的快速发展，某半导体公司的AI芯片产量呈现爆发式增长．该公司的AI芯片产量在今年3月为10000片，由于市场需求旺盛，5月产量大幅提升至16900片．设该公司4，5两个月芯片产量的月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 8. 二次函数（，，，为常数）自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（ ） … … … … … … A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程的两个根分别为，且，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为__________ 12. 若函数是关于的二次函数，则的值为______． 13. 已知函数，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 14. 如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段，又将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段如此下去，得到线段，则点的坐标为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 17. 如图，在网格（每个小正方形边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． （1）通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． （2）将绕原点旋转，得到，请画出． 18. 如图，是的直径，，是圆上的两个点，连接，，，，．若，求证：． 19. 如图，抛物线经过点． （1）求的值以及此抛物线的顶点坐标． （2）当时，求的取值范围． 20. 项目学习 项目背景：小王的爷爷家有一个养鸡场，爷爷打算将养鸡场进行扩建，他将设计任务交给了小王．为此，小王以“设计养鸡场扩建方案．”为主题开展了项目式学习． 项目主题：设计养鸡场扩建方案． 驱动问题：养鸡场扩建． 活动内容：利用一元二次方程、二次函数等有关知识进行计算． 有关信息：①原养鸡场的长为，宽为； ②扩建后养鸡场长最大为，宽最大为． 解决问题： （1）若将养鸡场的长、宽均扩大，得到一个面积为的新养鸡场，则的值为多少？ （2）若养鸡场的长扩建的长度是宽扩建的长度的2倍，则养鸡场的面积能否达到．若能，求出扩建的长度；若不能，请说明理由． 21. 如图，为的直径，且于点，连接． （1）求证：． （2）若，求弦的长． 22. 如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度为2m．经测量，当水柱的水平喷射距离为4m时，高度为14.8m；当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m． （1）求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． （2）计算水柱喷射的最大高度． （3）现要在水池边缘安装一圈宽度为1m环形观景台（内径20m，外径21m），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 23. 综合与实践 如图1，小明在学习了三角形相关知识后，对直角三角形进行了探究．在直角三角形中，，过点作射线，垂足为． （1）【动手操作】 如图2，若点在线段（不包括两点）上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点．根据题意，在图2中画出图形，图中的度数为______． （2）【问题探究】 在（1）的条件下，过点作交于点，根据所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由． （3）【变形拓展】 如图3，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为．若点在射线上移动，画出射线，同时将射线绕点逆时针旋转，与交于点，请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $