2025-2026学年人教版八年级数学上学期第三次月考模拟卷(第13章三角形～第17章因式分解)

八年级数学上学期第三次月考模拟卷 【人教版2025】 试卷共120分 考试时间120分钟 测试范围:第13章三角形～第17章因式分解 姓名:＿＿＿＿班级:＿＿＿＿学号:＿＿＿＿ 考卷信息: 本卷试题共24题,单选题10题,填空题6题,解答题8题,满分120分,限时120分钟,试卷题型针对性强、知识覆盖率全面、选题难度适配精准，能科学量化学生对相关知识点的掌握程度。 一、单选题(每题3分,共30分) 1．下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4如图，在中，以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，连接交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．9 5．如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①∴； ②∴； ③∴； ④∵在和中，； ⑤∵，． 证明步骤正确的顺序是（   ） A．⑤②④①③ B．③①④⑤② C．④①⑤②③ D．①③④⑤② 6．已知，，则的值为（   ） A．20 B． C．14 D． 7．下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（   ） A．32 B．36 C．28 D．30 9．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 10．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 二、填空题(每题3分,共18分) 11．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 12．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 13．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙的夹角，梯子的长为，则梯子底端与墙角的距离的长为  ． 14．四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为 ． 15.如图，在中，、分别平分、，、分别平分、，若，则 ． 16．如图，在等腰中，点D是底边边的中点，M，N分别是和上的动点，若，的面积是60，则的最小值 ． 三、解答题(每题9分,共计72分) 17．阅读下列材料并完成任务： “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）． 任务： 请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）； 18．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，与关于某直线成轴对称． (1)在网格内完善平面直角坐标系，并画出 ； (2)与 关于 ______ 成轴对称，点 B坐标是 ______，点坐标是 ______ 19．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 20．如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积S的值． 21．将图中等腰三角形（）的边（）沿虚线折叠一下，使边刚好和边重合．在图中找到折叠后与点重合的点，连接可得到三角形，求三角形的面积与三角形的面积之比． (1)在图中画出点，并连出三角形； (2)三角形的面积与三角形的面积之比是多少？ 22．（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 23．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 24．如图，在中，为外一点，连接，平分于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第三次月考模拟卷 【人教版2025】 试卷共120分 考试时间120分钟 测试范围:第13章三角形～第17章因式分解 姓名:＿＿＿＿班级:＿＿＿＿学号:＿＿＿＿ 考卷信息: 本卷试题共24题,单选题10题,填空题6题,解答题8题,满分120分,限时120分钟,试卷题型针对性强、知识覆盖率全面、选题难度适配精准，能科学量化学生对相关知识点的掌握程度。 一、单选题(每题3分,共30分) 1．下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，沿虚线所在的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：，正确，故该选项符合题意； B：，错误，故该选项不符合题意； C：同底数幂相加无法直接合并指数，，错误，故该选项不符合题意； D：，错误，故该选项不符合题意． 故选：A． 4如图，在中，以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，连接交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴； 故选A． 5．如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①∴； ②∴； ③∴； ④∵在和中，； ⑤∵，． 证明步骤正确的顺序是（   ） A．⑤②④①③ B．③①④⑤② C．④①⑤②③ D．①③④⑤② 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握直角全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据垂直定义得出，再根据判定三角形全等即可． 【详解】解：⑤∵，， ②∴． ④∵在和中，， ①∴． ③∴． 故正确的顺序是⑤②④①③． 故选：A． 6．已知，，则的值为（   ） A．20 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，将所求表达式利用平方差公式因式分解后，利用已知条件直接代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 7．下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式运算和图形面积的割补法，掌握阴影面积＝整体面积-空白面积是解题关键． 将整体面积和空白面积分别表示出来然后相减即可求解． 【详解】解：整体面积=，空白部分面积=， 阴影部分面积=， A．，错误； B．，正确； C．，错误； D．，错误． 故选：B． 8．如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（   ） A．32 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，， ， ∵， ∴， 故选A． 9．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 10．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 二、填空题(每题3分,共18分) 11．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 12．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 13．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙的夹角，梯子的长为，则梯子底端与墙角的距离的长为  ． 【答案】3 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，米， ∵在中，， ∴（米）， 故答案为：3． 14．四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平行四边形和正方形面积公式表示出阴影部分的面积． 根据平行四边形面积公式求出第一个图形的面积，根据正方形面积公式求出第二个图形阴影的面积．即可求出答案． 【详解】解：由第二个图形看出，第一个图形的高为，面积是， 第二个图形阴影的面积是， ∵两个图形的阴影部分的面积相等， ∴． 故答案为：． 15.如图，在中，、分别平分、，、分别平分、，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：， ， 、分别平分、， ，， 又、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：． 16．如图，在等腰中，点D是底边边的中点，M，N分别是和上的动点，若，的面积是60，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值，根据等面积法求出即可． 【详解】解： 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值．   ，点是底边边的中点， ， ∵的面积是60， ∴， ∴， ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，是边上的中点， ， ， ， 解得：， 的最小值， 故答案为：． 三、解答题(每题9分,共计72分) 17．阅读下列材料并完成任务： “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）． 任务： 请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）； 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了最短路线问题，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．根据在河边上的同侧有两个点A、B，在直线上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与河边线的交点就是所要找的点． 【详解】解：如答图1即为所作图形． 18．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，与关于某直线成轴对称． (1)在网格内完善平面直角坐标系，并画出 ； (2)与 关于 ______ 成轴对称，点 B坐标是 ______，点坐标是 ______ 【答案】(1)见详解 (2)x，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称变换等知识， （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系，然后根据点、的坐标确定与的对称轴，进而确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）结合图像，即可获得答案． 【详解】（1）解：在网格内完善平面直角坐标系，并画出 ，如下图所示， （2）与 关于x成轴对称，点 B坐标是，点坐标是． 故答案为：x，，． 19．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，后求值：，其中，，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，然后代入求解即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，最后进行多项式除以单项式计算，然后再代入求解． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解： ， 当，时， 原式 ． 20．如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积S的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式可求出的值，再根据三角形面积公式列式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 21．将图中等腰三角形（）的边（）沿虚线折叠一下，使边刚好和边重合．在图中找到折叠后与点重合的点，连接可得到三角形，求三角形的面积与三角形的面积之比． (1)在图中画出点，并连出三角形； (2)三角形的面积与三角形的面积之比是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了图形折叠问题的应用以及三角形面积计算的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形且图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称，即在上取一点，使，则该点即为所求，据此作图并连接组成三角形； （）根据图形折叠的性质可知，且三角形面积和三角形面积相等，结合题意，，，则，根据等高三角形的面积比等于对应底边之比即可求出三角形和三角形的面积比，进而根据三角形面积和三角形面积相等即可求出三个三角形、三角形和三角形的面积连比，进而即可求出三角形的面积与三角形的面积比． 【详解】（1）解：如图，在上取一点，使，则该点即为所求，三角形即为所求； （2）解：根据图形折叠的性质可知，， ∵， ∴， 根据等高模型可得，， 根据图形折叠的性质可知，， ∴， ∴． 22．（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）先分组分解因式，再把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴ ． 23．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 【答案】(1) (2)相等，理由见详解 (3) 【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形面积相等，中点的性质是解题的关键． （1）根据等底等高的三角形面积相等，直接可求即可得到答案； （2）设，根据题意可得，即可得到，三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与等底等高， ， 故答案为：； （2）解：三条中线分成的六个三角形面积相等， 理由如下： 设， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）解：由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，则每个小三角形的面积是大三角形面积的， ， ， ∴，即的值为． 24．如图，在中，为外一点，连接，平分于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作，交延长线于点，结合平分，得，又因为，证明，即可作答． （2）由（1）可得，则．再证明，得．即，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：过点作，交延长线于点， 平分， ． ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）可得， ． 在与中， ， ， ． ， ． 即， ∵， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $