第一章 空间向量与立体几何 阶段小测（一）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

阶段小测（一） 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．关于空间向量,，，下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.根据空间向量数量积的运算律可知,，，均成立，即,,正确；为与 共线的向量，为与 共线的向量，所以 与 不一定相等，故 错误. 2．已知，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选.向量，，由，得，所以. 3．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.. 4．已知空间向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由，，，可得，解得，所以，. 又因为,，所以,. 5．已知空间向量,,满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，所以，，所以，，所以，，所以. 6．[（2025·成都期中）]如图，是棱长为1的正方体内部（含表面）一动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.以 为坐标原点，，，所在的直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设，则,,，则.故，当 时取到最大值. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7．给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知{,,}是空间向量的一个基底，则{,,}也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【解析】选.当非零空间向量，，时，满足，，但 与 不平行，错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必定共面，正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量，由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，即向量，与任何一个向量均共面，则，共线，正确； 若，，共面，则，可知，，共面，与{,,}为空间向量的一个基底相矛盾，故{,,}可以构成空间向量的一个基底，正确. 8．如图，正方体的棱长为2，为正方形的中心，，分别为棱，的中点.下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】选.以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于，，，，,，正确; 对于，，错误; 对于，，正确； 对于，因为， 则， 所以，，， 所以，正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 9．已知,,三点共线，则_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】由题意可知，,， 由,,三点共线可知,所以 解得 即. 10．在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出向量的一个坐标_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】答案不唯一，坐标满足即可 【解析】设， 由 得 则向量 的一个坐标为. 11．在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当，最短时，_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可知， 平面， 直线，当，最短时， 平面，，所以 为 的中心，为 的中点，此时， 因为 平面， 平面， 所以， 所以. 又， 所以. 四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 12．（本小题满分13分）已知空间中三点，，. （1） 设，，求的坐标；（6分） （2） 求的面积.（7分） 【答案】 （1） 解：由已知得， 因为，设，, 所以 ， 解得， 所以 或. （2） 由题可得，， 所以，， 所以,， 又，， 所以， 所以的面积. 13．（本小题满分15分）如图，在四面体中，，且，，为的中点，点是线段上的动点（含端点）. （1） 以,,}为基底表示；（6分） （2） 求的最小值.（9分） 【答案】 （1） 解：由题意可得， 所以 . （2） 设， 因为 ， 所以 ， 故当 时，取得最小值，最小值为. 14．（本小题满分15分）在直三棱柱中，，，，分别为棱，，，的中点. （1） 证明：平面；（7分） （2） 若，且 ，则当 为何值时，有？（8分） 【答案】 （1） 证明：取 的中点为，连接，， 因为，，分别为，，的中点，结合题意得，且，故四边形 为平行四边形， 所以， 又 平面， 平面， 所以 平面. （2） 解：因为，取 的中点，连接，则有，连接，由题意得 底面，如图以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，， ， 则， 得，， 由题意得， 即当 时有. 学科网（北京）股份有限公司 $