第三章 阶段提升（五）椭圆及其性质（范围：3.1）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本讲义聚焦椭圆及其性质核心知识点，系统梳理椭圆标准方程（定形、定式、定量策略）、几何性质（离心率、焦点与顶点关系）、最值问题（定义转化、数形结合、函数法）及求值问题（特殊入手与推理计算），构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过分类题型（选择、填空、解答）与方法总结（如点差法求斜率、切线法解最值），培养学生用数学眼光观察几何关系、用数学思维推理逻辑（如韦达定理应用），课中便于教师分层教学，课后助力学生通过跟踪训练与规范解析查漏补缺，提升综合解题能力。

阶段提升（五） 椭圆及其性质（范围：3.1） 题型一 椭圆的标准方程 1．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.椭圆 可化为标准方程，可知椭圆 的焦点在 轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆的标准方程为，则. 又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为. 2．[（2025·北京期末）]已知椭圆的焦点为,.过点的直线与椭圆交于，两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为椭圆 的焦点为，，所以，椭圆的焦点在 轴上，又过点 的直线与 交于，两点，的周长为8，则根据椭圆定义可得，解得，因此，所以椭圆 的标准方程为. 3．已知过椭圆右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】在 中令 得，所以椭圆右焦点为，即，设,，，，,因为，在椭圆上，所以 两式相减得， 因为, 所以，即，从而，所以， 又，因此， 所以椭圆 的标准方程为. 求椭圆标准方程的策略 （1）定形：先确定椭圆的焦点在轴上，还是在轴上； （2）定式：根据“形”设方程的形式，若椭圆的焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可设方程为； （3）定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 题型二 椭圆的几何性质 1．[（2025·东营期中）]已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】选.由题意可知，解得，即， 所以椭圆 的长轴长为. 2．[（2025·洛阳期中）]椭圆与且的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【解析】选.对于椭圆，，,所以，所以该椭圆的长轴长为6，短轴长为4，焦距为，离心率为. 对于 且，则,，该方程表示的是焦点在 轴上的椭圆，则,，所以，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 所以两个椭圆的焦距相等，都为. 3．已知椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上异于，的任意一点，则直线，的斜率之积为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可得，则,，设，则，整理得，可得直线，的斜率分别为,，所以. 4．已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆 有两个不同的公共点，则椭圆 的离心率的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】将直线 整理可得，易知该直线恒过定点,，若直线 恒与椭圆 有两个不同的公共点，可知点,在椭圆内部，易知椭圆上的点当其横坐标为 时，纵坐标为，即可得，整理可得，即，解得，又，故. 与椭圆几何性质有关的两种题型 （1）已知椭圆的方程研究其性质：范围、对称性、顶点及离心率，尤其离心率问题是椭圆考查的重点. （2）已知椭圆的性质求其标准方程，基本方法是待定系数法或分类讨论法. 题型三 与椭圆有关的最值 ［例1］ （1） 已知为坐标原点，在椭圆上，则的最大值为_ _ _ _ . （2） 已知是椭圆上一动点，则点到直线的距离的最小值为 _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） 2 （2） 【解析】 （1） 设点，,则有，即. 所以，当 时，取最大值2. （2） 方法一：要使 点到直线 的距离最小，只要找到与椭圆相切且与 平行的最近的一条直线，设与 平行且与椭圆相切的直线为， 联立 消去 整理得，由，解得 或，对于直线，与直线 的距离为， 对于直线，与直线 的距离为，所以 点到直线 的距离的最小值为. 方法二：因为点 在椭圆 上， 故可设 点坐标是， 所以点 到直线 的距离， 所以， 当且仅当， 即 时，取得最小值. 解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理. （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征,进而求解. （3）利用函数最值的研究方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时应注意椭圆中,的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解. ［跟踪训练1］．已知点是椭圆上任意一点，定点，为右焦点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】选.依题意，设 为椭圆 的左焦点， 因为椭圆， 则,，，,, 所以. 题型四 椭圆中的求值问题 ［例2］ 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为16. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 记直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】 （1） 【解】由 的周长为16及椭圆的定义，可知，即，又离心率为， 所以，所以. 所以椭圆 的标准方程为. （2） 依题意，直线 与 轴不重合，设 的方程为. 联立 得， 因为 在椭圆内，所以，设,，由根与系数的关系得,，， 即. 又，,则,所以 的值为. 圆锥曲线中求值问题的常用方法及基本思路 （1）常用方法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. （2）基本思路：用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关，消元是关键. ［跟踪训练2］．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆 有且仅有一个公共点，直线，的垂足分别为点，. （1） 求证：； （2） 求证：为定值，并求出该定值. 【答案】 （1） 证明：联立 消 得， 由直线与椭圆有一个公共点可知， 化简得. （2） 解：由题意得,，因为，,所以， 故， 其中，， 所以， 所以 为定值，该定值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $