3.3.1 抛物线及其标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程 新课导入 美丽的喷泉、绽放的烟花等视觉盛宴来自条条抛物线，在初中我们已经学习过抛物线（二次函数的图象），我们能否像学习圆、椭圆、双曲线那样对抛物线进行更深入的研究呢？ 学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线方程. 新知学习 探究 一 抛物线的定义 思考1．已学习过的哪些知识与抛物线有关？ 提示：在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，二次函数的图象是抛物线. 思考2．在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 提示：它的对称轴垂直于 轴，开口向上或向下. ［知识梳理］ 1．定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线不经过点的距离_ _ 的点的轨迹叫做抛物线. 【答案】相等 2.焦点：点叫做抛物线的焦点. 3.准线：直线叫做抛物线的准线. ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 若点到点的距离和到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线.（ ） （2） 若点到点的距离和到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线.（ ） （3） 过焦点与准线垂直的直线一定与抛物线相交.（ ） （4） 抛物线实质是双曲线的一支.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） √ （4） × 2．若点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 【答案】D 【解析】选.依题意，动点 到点 的距离等于其到定直线 的距离，且点 不在直线 上，因此动点 的轨迹是抛物线. 3．已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】过点且垂直于直线的一条直线 【解析】因为，可知，所以动点 的轨迹是过点 且垂直于直线 的一条直线. 对抛物线定义的理解 （1）“一动三定”：一动点；一定点（即焦点）；一定直线（即准线，不经过点）；一定值1（即动点到定点的距离与到定直线的距离之比为1）. （2）在抛物线的定义中，要注意强调定点不在定直线上.当直线经过点时，点的轨迹是过定点且垂直于定直线的一条直线. 二 抛物线的标准方程 思考．在抛物线的定义中，焦点与准线都已确定，类比求椭圆、双曲线的标准方程的过程，如何建立坐标系得到的抛物线方程才更简单？ 提示：以过焦点且垂直于准线的直线为一条坐标轴，以该坐标轴与抛物线的交点作为坐标原点，建立平面直角坐标系，得到的抛物线方程更简单. ［知识梳理］ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _ _ _ ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑪_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑫_ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； ； ； ； ； ,； ； ； ,； 角度1 由标准方程求焦点与准线方程 ［例1］ （1） （多选）对抛物线，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下，准线方程为 B. 开口向下，焦点为, C. 开口向左，焦点为, D. 开口向左，准线方程为 （2） 抛物线的焦点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；准线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） AB （2） ,； 【解析】 （1） 由题设，抛物线方程可化为，所以开口向下，焦点为,，准线方程为.所以，正确，，错误. （2） 当 时，抛物线 的焦点坐标为,，准线方程为. （1）抛物线的焦点所在轴轴、轴由标准方程中的一次项来确定，开口方向（向左、向右、向上、向下）由一次项系数的符号来确定，可简记为“焦点位置要看一次项，符号决定开口方向”. （2）抛物线与的焦点坐标分别为,,,,形式上不随的正负而改变. 角度2 由待定系数法求抛物线方程 ［例2］ 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1） 焦点在轴上且其到准线的距离为6; （2） 过点. 【答案】（1） 【解】由题意知，抛物线开口向左或开口向右，所以抛物线的标准方程是 或. （2） 由于点 在第二象限，所以过点 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左，焦点在 轴上，设其标准方程为. 将点 代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在 轴上，设其标准方程为. 将点 代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为 或. 若已知抛物线的焦点坐标或准线方程，则可设出抛物线的标准方程，求出的值即可得解.若焦点位置无法确定，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般能求出两个标准方程. ［跟踪训练1］． （1） 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. , D. , （2） 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.因为抛物线方程 化为标准形式为，所以，则焦点坐标为. （2） 由已知可得双曲线的焦点坐标为，，设抛物线方程为， 则，所以， 所以抛物线 的方程为. 三 抛物线的定义及标准方程的简单应用 ［例3］ （1） 设抛物线的焦点为，若点在上，则（ ） A. B. C. D. （2） 若是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 方法一：因为点 在 上，所以，得，所以抛物线的准线方程为.由抛物线的定义知，等于点 到准线的距离，即. 方法二：因为点 在 上，所以， 得，所以,， 所以， 所以. （2） 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离.由图可知，当点，点 和抛物线的焦点，三点共线且点 在第一象限时，所求距离之和最小，所以最小距离. 母题探究．若将本例（2）中的点改为点，其他条件不变，求的最小值. 解：将 代入，得，所以点 在抛物线内部. 因为 为抛物线上的一个动点，点 到准线 设为 的距离为，则.由图可知，当 时，最小，最小值是.即 的最小值是. 抛物线定义的两种应用 （1）实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. （2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. ［跟踪训练2］． （1） 已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点.若，则点的横坐标为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 19 （2） 设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.由抛物线，可得，所以准线 的方程为， 如图所示，设点，其中，且，过点 作，垂足为，由抛物线的定义得，点 到抛物线的准线 的距离等于20，即，所以，解得，即点 的横坐标为18. （2） 抛物线 的焦点为，准线方程为，延长 交准线于点，连接，显然 垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知，，当且仅当点 是线段 与抛物线的交点时，取等号，易得，所以 的最小值是. 四 抛物线的实际应用 ［例4］ （对接教材例2）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图1所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图2所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_ _ . 【答案】0.9 【解析】如图所示， 在接收天线的轴截面所在平面建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在 轴上，设抛物线方程为，代入，所以，解得，所以抛物线方程为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为. 求解抛物线实际应用题的步骤 ［跟踪训练3 ］．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点离地面，点到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，把点 代入方程中，得，解得，所以抛物线方程为. 把 代入方程中，得， 即，所以， 所以管柱 的高度为. 课堂巩固 自测 1．（教材P133T2改编）抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由 得抛物线的标准方程为，所以其准线方程为. 2．（多选）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且,则抛物线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.由题意得 解得 或， 当 时，抛物线方程为； 当 时，抛物线方程为. 3．已知抛物线，若其上一点到与到焦点距离之和为最小，则点坐标为 _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为点 在抛物线内部，如图所示， 设抛物线的准线为，过抛物线上一点， 作 于点，过 作 于点. ， 故当且仅当 为线段 与抛物线的交点时， 的值最小. 此时点 坐标为， 代入，得. 故点 的坐标为. 4．（教材P133T1改编）根据下列条件，求抛物线的标准方程： （1） 准线方程为； （2） 焦点在直线上. 【答案】 （1） 解：因为抛物线的准线方程为， 则，可得，抛物线开口向上， 所以抛物线的标准方程是. （2） 当抛物线的焦点在 轴上时， 因为直线 与 轴的交点为， 所以抛物线的焦点为， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. 当抛物线的焦点在 轴上时， 因为直线 与 轴的交点为， 所以抛物线的焦点为， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为 或. 1.已学习：抛物线的定义及标准方程、抛物线定义的应用. 2.须贯通：应用抛物线的定义要抓住动点到定点与定直线（不过定点）的距离相等这一条件.利用待定系数法来求抛物线的标准方程，只需求出的值，求最值问题常利用数形结合思想. 3.应注意：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列拋物线中，焦点坐标为，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题可设抛物线的标准方程为，则，所以，所以抛物线的标准方程为. 2．[（2025·南通期中）]已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为 为抛物线 上一点，所以，解得，所以抛物线 的方程为，所以准线方程为. 3．若点到点的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意可知点 到点 的距离与到直线 的距离相等，故点 的轨迹是以 为焦点，为准线的抛物线，所以点 的轨迹方程为. 4．已知抛物线上一点到焦点的距离为6，则的中点到轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】选.由已知抛物线的焦点，准线，又点 到焦点 的距离为6，结合抛物线定义可知，点 到准线的距离，则，所以 中点的横坐标，即 的中点到 轴的距离为3. 5．[（2025·北京期末）]已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】选.抛物线 的焦点，准线，过点 作 于点，交 轴于点，则，， 记点 为点，于是，当且仅当 为线段 与抛物线的交点时取等号，所以点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最小值为2. 6．（多选）已知为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.抛物线 的焦点坐标为，准线方程为，设，因为，所以，解得，所以，解得，所以 或，则 或，所以直线 的方程为 或，即 或.故选. 7．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为 _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 得，所以抛物线的焦点到准线的距离. 8．[（2025·天津期中）]已知抛物线的焦点为,为坐标原点，点在抛物线上，且, ，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】 过点 作 垂直抛物线的准线，垂足为，过点 作 于点，由于, ，则 ，故,所以，故. 9．[（2025·福州期中）]如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，抛物线 的焦点为，准线方程为，设，因为，可得，则，即，则 的面积. 10．（13分）求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1） 顶点在原点，准线方程为；（4分） （2） 顶点在原点，且过点；（4分） （3） 焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.（5分） 【答案】 （1） 解：由题意可知抛物线的焦点在 轴负半轴上，且,， 故抛物线的标准方程为. （2） 由题意知抛物线的焦点可能在 轴正半轴或 轴负半轴上，则设抛物线的标准方程为 或，分别将 代入，则，，解得，，故抛物线的标准方程为 或. （3） 由抛物线的焦点在 轴上，且点 在抛物线上，得抛物线的焦点在 轴正半轴上，则设抛物线方程为，焦点为,，准线方程为， 又因为抛物线上一点 到焦点的距离为5， 根据抛物线的定义，得,，故抛物线的标准方程为. B 能力提升 11．已知直线，抛物线的准线是，点是上一点，若点到直线，的距离分别是，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.抛物线 的焦点是,，准线，设点 到直线 的距离为，则，所以，当且仅当 且 在 与 之间时等号成立，所以 的最小值是. 12．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为_ _ . 【答案】3.8 【解析】由题意，建系如图所示. 则，，，，由图可设，抛物线方程为，将 代入，可得，求得，故抛物线方程为，将 代入抛物线方程，可得，则. 13．[（2025·扬州期中）]（13分）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，，为拋物线上两点. （1） 求拋物线的标准方程及其准线方程；（6分） （2） 若，求线段的中点到轴的距离.（7分） 【答案】 （1） 解：由题知双曲线, 所以,，所以，即双曲线的上焦点为， 则抛物线的焦点为，可设抛物线 的标准方程为，则，， 所以抛物线 的标准方程为， 其准线方程为. （2） 设，，线段 的中点记为，由， 得， 即，所以， 即线段 的中点到 轴的距离为2. 14．（15分）已知圆，圆心到抛物线的准线的距离为，圆截直线所得弦长为. （1） 求圆的方程；（7分） （2） 若，分别为圆与抛物线上的点，求，两点间距离的最小值.（8分） 【答案】 （1） 解：抛物线 的准线为直线， 圆 的圆心， 因为，所以， 解得，又 到直线 的距离， 所以，则， 所以圆. （2） 设，则， 所以 ， 当 时，取最小值， 又圆 的半径为， 所以圆 与抛物线 无公共点，且 的最小值为. C 素养拓展 15．[（2025·衡水期末）]已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】选.因为抛物线 的焦点到准线的距离为2，所以.表示点 到 轴的距离与点 到直线 的距离 之和的 倍，设抛物线的焦点为，则点 到 轴的距离为，故，设点 到直线 的距离为，如图，由图知， 所以 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $