3.1.1 椭圆及其标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本讲义聚焦椭圆的定义、标准方程、焦点三角形及轨迹方程，从生活实例导入，通过动手实验抽象定义，推导标准方程后，分层探究参数、距离、焦点三角形及轨迹方程的应用，辅以即时练、例题和跟踪训练构建学习支架。 资料以哈雷彗星等生活实例培养数学眼光，通过绳拉椭圆实验与问题链发展抽象能力和几何直观，母题探究与A/B/C级分层检测强化逻辑推理与创新意识，多种轨迹求法结合实例提升模型意识，课中助力教学，课后帮助学生查漏补缺。

第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 新课导入 生活中有许多椭圆形的例子：哈雷彗星的运行轨迹、风靡全球的橄榄球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……椭圆有着怎样的几何性质，它是否像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求椭圆的标准方程. 3.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题. 4.能熟练地求与椭圆有关的轨迹方程. 第1课时 椭圆及其标准方程（一） 新知学习 探究 一 椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点，（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出如图所示的轨迹. 思考1．在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 思考2．在这一过程中，绳子的长度与两定点，间的距离有何关系？ 【答案】思考1 提示：笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 思考2 提示：绳子的长度大于两定点，间的距离. ［知识梳理］ 1．定义：我们把平面内与两个定点,的距离的和等于①_ _ （大于）的点的轨迹叫做椭圆. 【答案】常数 2．符号表示：②_ _ _ _ _ _ （常数）③_ _ . 【答案】； 3．焦点：两个定点④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 4．焦距：两焦点间的距离⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆.（ ） （2） 已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆.（ ） （3） 已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） × 2．如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3， ；，，，，是图中两组同心圆的部分公共点.若点在以，为焦点的椭圆上，则（ ） A. 点和都在椭圆上 B. 点和都在椭圆上 C. 点和都在椭圆上 D. 点和都在椭圆上 【答案】C 【解析】选.由同心圆及点 在以，为焦点的椭圆 上得， 因为，，，.故点 和 都在椭圆 上. 3．方程表示的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 【答案】C 【解析】选.因为，所以方程可表示平面内点 到点 与点 的距离之和为2的图形，此时，所以方程 表示的轨迹是线段. 关于椭圆定义的理解 （1）在椭圆定义中，，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当时，点的轨迹是线段；当时，动点轨迹不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含条件. （2）在椭圆定义中，设为平面内任意一点，,为椭圆的焦点，则满足的动点一定在椭圆上；反过来，椭圆上的任意一点都满足. 二 椭圆的标准方程 思考1．在研究圆的方程时，不同的坐标系得到的圆的方程相同吗？ 提示： 坐标系不同，得到的圆的方程不相同. 思考2．类比圆的方程，结合椭圆的形成过程，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单些？ 提示： 结合图形的对称性，以 所在的直线以及线段 的垂直平分线作为坐标轴建立坐标系，所得的方程更简单. ［知识梳理］ 类别 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 图形 焦点坐标 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,,的关系 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ，； ,； ［例1］ （对接教材例1）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） 两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点，； （2） ，且椭圆上任意一点到两焦点的距离的和为26. 【答案】 （1） 【解】由题意知，椭圆的焦点在 轴上，且. 方法一：由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于， 所以 , 所以，所以，故椭圆的标准方程为. 方法二：可设椭圆方程为， 将，代入此方程为， 解得（负值已舍去）， 故椭圆的标准方程为. （2） 由题意知，， 即，又，所以， 所以， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 或. 求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定,的值，结合焦点位置写出椭圆方程. （2）待定系数法：①作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在轴上还是在轴上，还是两个坐标轴上都有可能. ②设方程：依据上述判断设出椭圆的方程. ③寻关系：依据已知条件，建立关于,,的方程组. ④解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求. 注意 在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出,的值即可. ［跟踪训练1］．求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1） 经过点，,； （2） 过点且与椭圆有相同焦点. 【答案】 （1） 解：设椭圆的方程为. 将，，代入方程， 得 解得 故所求椭圆的标准方程为. （2） 依题意，知椭圆的焦点坐标为. 设所求方程为， 将点 代入得， 整理得， 即， 解得 舍去， 则所求椭圆的标准方程为. 三 椭圆方程与定义的直接应用 角度1 参数问题 ［例2］ [（2025·南京期中）]若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 解得，即. 母题探究1．若将本例中“焦点在轴上的椭圆”变为“焦点在轴上的椭圆”，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 解得，即. 母题探究2．若将本例中“焦点在轴上的椭圆”变为“椭圆”，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为方程 表示椭圆， 所以 解得 且,即. 根据椭圆方程求参数的值或取值范围 （1）若给出方程,则表示椭圆的条件是表示焦点在轴上的椭圆的条件是，表示焦点在轴上的椭圆的条件是. （2）若给出椭圆方程,则应首先将其转化为椭圆的标准方程的形式,再研究其焦点的位置等情况. 角度2 距离问题 ［例3］ （1） 已知椭圆上一点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 12 （2） 设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值为_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 9 【解析】 （1） 由，则，所以，根据椭圆的定义，点 到右焦点的距离为. （2） 椭圆， 所以， 故，当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为9. 椭圆定义的双向运用 判断（正用） 符合定义中到两定点的距离之和为常数（大于两定点间的距离）这一条件的点的轨迹为椭圆 求值（逆用） 椭圆上的点一定满足定义中的条件，即到两定点的距离之和为 ［跟踪训练2］． （1） [（2025·日照期末）]已知曲线，则“”是“曲线是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 （2） 设,是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且点到两个焦点的距离之差为1，则是_ _ 三角形（填三角形形状）. 【答案】（1） C （2） 直角 【解析】 （1） 选.若曲线 表示椭圆，则 解得，故“”是“曲线 是椭圆”的必要不充分条件. （2） 因为椭圆的方程为，所以，，.由椭圆的定义，知，因为点 到两个焦点的距离之差为1，不妨设，则，解得，，因为，所以，所以 是直角三角形. 课堂巩固 自测 1．（教材P109T1改编）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由椭圆方程可知，所以 到该椭圆的两个焦点的距离之和为. 2．（多选）平面上，动点满足以下条件，其中的轨迹为椭圆的是（ ） A. 到两定点，的距离之和为4 B. 到两定点，的距离之和为6 C. 到两定点，的距离之和为6 D. 到两定点，的距离之和为8 【答案】BD 【解析】选.因为两定点，的距离为4，且，所以选项 不符合椭圆定义，选项 符合椭圆定义；因为两定点，的距离为6，且，所以选项 不符合椭圆定义，选项 符合椭圆定义. 3．设方程表示椭圆，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,, 【解析】由方程 表示椭圆， 则 解得 且，则实数 的取值范围是,,. 4．（教材P109T2改编）求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1） 两个焦点分别是，，椭圆上的点与两焦点的距离之和等于8； （2） 两个焦点分别是，，并且椭圆经过点. 【答案】 （1） 解：由已知得，则. 又因为，所以， 易知椭圆的焦点在 轴上， 所以所求椭圆的标准方程为. （2） 因为椭圆的焦点在 轴上，设它的标准方程为. 由已知得，又因为，所以. 因为点 在椭圆上，代入得，即.从而有，解得 或（舍去）. 因此， 从而所求椭圆的标准方程为. 1.已学习：椭圆的定义及其应用、椭圆的标准方程的求解及判别. 2.须贯通：求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法. 用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想. 3.应注意：（1）忽视椭圆定义中,,的关系；（2）混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 不存在 【答案】D 【解析】选.由题设知，则动点 的轨迹不存在. 2．[（2025·莆田期中）]椭圆的焦距是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】选.由 可得， 故椭圆 的焦距是. 3．若椭圆的两个焦点分别为，，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】选.由题意，设 为左焦点， 则， 所以点 的横坐标为，代入椭圆方程， 得，解得. 即，由椭圆定义知. 4．[（2025·佳木斯期末）]若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为方程 表示椭圆， 所以 解得 且，所以. 5．已知点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且为坐标原点，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】选.设椭圆的另一个焦点为，如图所示，连接，因为 为 的中点，为 的中点，且，可得. 由椭圆方程可知，，根据椭圆定义有，所以. 6．（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，的一组可能取值是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】BD 【解析】选.由题意得,,方程 可化为，若方程表示焦点在 轴上的椭圆，则，所以.观察四个选项可知选项，符合题意. 7．若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】因为椭圆的焦点 在 轴上，所以，，所以，解得. 8．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，显然，则方程可化为， 所以，解得， 所以实数 的取值范围是. 9．[（2025·景德镇期末）]已知焦点为,的椭圆上有一点，若线段的中点落在轴上，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】由椭圆，知,，由于线段 的中点落在 轴上，而 是线段 的中点， 所以，所以，代入椭圆方程得，解得，则. 10．（13分）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （1） 焦点在轴上，焦距为，且经过点；（6分） （2） 焦距为4，且经过点.（7分） 【答案】 （1） 解：设椭圆的标准方程为， 依题意得 解得 所以该椭圆的标准方程为. （2） 当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. 当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，，则，故椭圆的标准方程为. B 能力提升 11．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ） A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 直线 【答案】BC 【解析】选.由，，可得，因为，可得，当且仅当，即 时等号成立，当 时，可得，此时点 的轨迹是线段；当 时，可得，此时点 的轨迹是椭圆. 12．已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】因为椭圆， 所以，，则， 设椭圆的右焦点为，连接，记线段 的中点为，连接， 因为，所以， 因为,分别为,的中点，所以，又， 所以. 13．（13分）已知曲线方程，. （1） 若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（5分） （2） 若方程表示焦距为2的椭圆，求的值.（8分） 【答案】 （1） 解：若方程表示焦点在 轴上的椭圆，则，解得， 即 的取值范围为. （2） 若方程表示焦距为2的椭圆， 则，所以, 若方程表示焦点在 轴上的椭圆， 则，, 且由（1）知，又，得，且，符合题意； 若方程表示焦点在 轴上的椭圆， 则，解得， 所以，, 又， 得，且，符合题意. 综上，或. 14．（15分）已知点是椭圆上的一点，，分别为其左、右焦点，焦距为6，且过点. （1） 求椭圆的标准方程；（7分） （2） 若过点的动直线与椭圆交于，两点，求的周长.（8分） 【答案】 （1） 解：因为椭圆的焦距为6， 所以，得，即，① 又因为该椭圆过点， 所以，② 由①②解得 所以该椭圆的标准方程为. （2） 由（1）可知，如图， 的周长为. C 素养拓展 15．已知椭圆的左焦点为,是上一点，是圆上一点，则的最大值为. 【答案】11 【解析】设椭圆 的右焦点为，由椭圆 可知，,,， 在椭圆 中， 又因为圆 的圆心为点，即圆心与 重合，所以当,,三点共线且 在线段 上时（如图），最大，此时. 第2课时 椭圆及其标准方程（二） 新知学习 探究 一 椭圆中的焦点三角形问题 ［例1］ 已知为椭圆上一点,,是椭圆的焦点, ,求的面积. 【解】 由已知得,所以.在 中,由余弦定理得 , 即.① 由椭圆的定义得, 两边平方得.② 由①②得， 所以. 母题探究1．若将本例中“ ”去掉，求的面积的最大值. 解：因为，所以当 取最大值时，的面积最大，易知.所以 的面积的最大值为. 母题探究2．若将本例中“ ”变为“ ”，问位于椭圆的什么位置时， 最大？ 解：在 中，由余弦定理的推论知 ， 当且仅当 时，等号成立，由于 在 上单调递减，所以当点 位于椭圆与 轴的交点时 取最大值. 椭圆中的焦点三角形的应用技巧 椭圆上一点与椭圆的两个焦点，构成的，称为焦点三角形.在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等）来求解. 常用结论 （1）焦点三角形的周长 （2）在中，由余弦定理可得. （3）焦点三角形的面积. ［跟踪训练1］． （1） 已知椭圆，点，在椭圆上且在轴异侧,，分别为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. （2） 已知点是椭圆上一点，点,分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选.由题及椭圆的定义得，，故四边形 的周长为. （2） 由题可知,，记，， ,因为，所以，则，在 中，由余弦定理的推论得，又，解得，, 所以,, 所以. 二 与椭圆有关的轨迹方程 角度1 直接法 ［例2］ （对接教材例3）在平面直角坐标系中，已知点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，求点的轨迹方程. 【解】 设，因为，，所以，， 由，得， 即. 所以动点 的轨迹方程为. 角度2 相关点法（代入法） ［例3］ （对接教材例2）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段,为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设点，根据中点的坐标公式可得，代入椭圆方程 得，其中. 角度3 定义法 ［例4］ 已知动圆经过定点，且与圆内切.求动圆圆心的轨迹的方程. 【解】 设动圆 的半径为，由题意得圆 的圆心为，半径. 因为动圆 与圆 内切且 在圆 内， 所以，， 则. 所以动点 的轨迹 是以，为焦点的椭圆，且.所以，，, 因此轨迹 的方程为. 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法直接求解. （2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程. （3）相关点法（代入法）根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程. ［跟踪训练2］． （1） 已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. （2） 已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.因为 的周长为20，顶点，，所以，，因为，所以点 到两个定点的距离之和等于定值且大于两定点间的距离，又，，三点构成,所以点 的轨迹是椭圆的一部分，且焦点在 轴上，因为，，所以，所以顶点 的轨迹方程是. （2） 因为，所以，，三点共线，且，由题意设， 则,，因为点 在 上， 所以，整理得，则点 的轨迹方程为. 课堂巩固 自测 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点（与点，不共线），则的周长为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】C 【解析】选.因为椭圆方程为，所以,,，所以,，所以. 2．（多选）已知点在椭圆上，且到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.依题意，设椭圆的两个焦点分别为,，不妨令，，且 为直角三角形，所以，所以，所以,又,所以，所以,又椭圆的焦点位置不确定，故所求的椭圆的标准方程为 或. 3．（教材P115T5改编）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由椭圆，得，，,设,,， 设，因为 的面积为1，则，解得，不妨设 在第一象限，当 时，，解得，. 4．（教材P115T8改编）如图，长为（是正常数）的线段的两个端点，分别在互相垂直的两条直线上滑动，点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 解： 设两直线的交点为,以 为 轴，为 轴建立平面直角坐标系，设，由于点 是线段 上靠近 的三等分点，设，，则， 即， 故,，由， 故，即，整理得到，所以点 的轨迹方程为，该方程表示焦点在 轴上的椭圆. 1.已学习：椭圆中焦点三角形的问题、与椭圆有关的轨迹问题. 2.须贯通：处理椭圆中焦点三角形的问题，常把，看成一个整体，运用公式及余弦定理求解. 3.应注意：求动点轨迹化简方程时，注意方程的同解性. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知为椭圆上一点，,分别是椭圆的左、右焦点.若点的横坐标为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】选.因为，所以，又因为点 的横坐标为，代入 的方程得，所以点 的纵坐标为，所以. 2．若点为坐标原点，点为曲线上任意一点，，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设点，,因为，所以,，即,，又点 为曲线 上任意一点，所以，即，即点 的轨迹方程为. 3．已知椭圆，为椭圆上一点，若 ，为的内切圆的半径，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由椭圆定义及圆切线性质知. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交该椭圆于，两点，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】选.因为椭圆，所以，因为，在椭圆上，所以，，所以 的周长为，因为，所以. 5．设圆的圆心为,是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选. 设.因为点 在线段 的垂直平分线上，所以，又点 在圆 的半径 上，所以,所以.故点 的轨迹是以，为焦点，的椭圆，，所以点 的轨迹方程为. 6．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积可能为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】AD 【解析】选.椭圆 中，，所以焦点,，当 或 时，此时 面积相等， 不妨取，如图， 将 代入椭圆方程，则， 所以，所以； 当 时，如图， 设,，由条件可知 解得，所以. 综上，的面积为1或. 7．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为6，则_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】由题可知 解得. 8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点.若，则点的横坐标为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得， 设,,， 则,, 则, 即，则 解得. 9．已知椭圆，，为椭圆的左、右焦点.若点是椭圆上的一个动点，点的坐标为，则的范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由椭圆的标准方程可知,，,，又点 在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以，所以.易知，当且仅当,,三点共线时等号成立.又，所以，即 的范围为. 10．（13分）已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切. （1） 求圆和圆的圆心和半径;（5分） （2） 求动圆的圆心的轨迹方程.（8分） 【答案】 （1） 解：圆 的圆心为，半径为1； 圆 的圆心为，半径为3. （2） 设动圆 的半径为，因为动圆 与圆 外切且与圆 内切， 所以，所以，而，由椭圆的定义可知，圆心 在以，为焦点的椭圆上，设椭圆的方程为，， 则，，所以， 又易知圆 与圆 内切，所以点 不能在切点处，即椭圆应去掉点， 所以圆心 的轨迹方程为. B 能力提升 11．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 【答案】BCD 【解析】选.由题意可知，，，所以， 对于，，错误； 对于，，正确； 对于，设 的顶点，则，,正确； 对于，由 知，以线段 为直径的圆与椭圆 有4个交点，当点 为此交点之一时，，正确. 12．已知直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长的最大值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 由题意可得，记椭圆右焦点为，如图所示， 则 的周长为. 当且仅当直线 经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号. 13．（15分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，为上一点. （1） 若，点的坐标为，求椭圆的标准方程；（6分） （2） 当时，的面积为4，求的值.（9分） 【答案】 （1） 解：已知，所以.点 在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，解得，所以. 所以椭圆 的标准方程为. （2） 方法一：因为， 所以 的面积，则. 根据椭圆定义知. 由勾股定理可得. 又，即. 又，两式联立解得. 方法二：令 ，由题意得,解得（负值已舍去）. 14．（15分）已知点，，动点满足，将动点的轨迹记为. （1） 求轨迹的方程；（7分） （2） 若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：因为，所以轨迹 是以,为焦点的椭圆. 设 的方程为，则，得，又，所以，所以轨迹 的方程为. （2） 的周长，的面积，所以 内切圆的半径,，故 内切圆的半径的取值范围为，. C 素养拓展 15．已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题知，,，记点 关于折痕 的对称点为，折痕 与 相交于点，则点 在圆周上，折痕 为线段 的垂直平分线，如图所示，则有，可知，所以点 的轨迹是以,为左、右焦点的椭圆，其中，，所以,,，所以点 的轨迹方程，即折痕围成的轮廓的圆锥曲线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $