2.4.1 圆的标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的定义出发推导标准方程形式，明确圆心与半径的关系，进而学习点与圆的位置关系判定方法，最后掌握待定系数法和几何法求圆的标准方程，构建从定义到方程再到应用的完整知识支架。 以“小时不识月”文学素材导入，引导学生用数学眼光观察现实世界中的圆，通过问题链激发思考，培养从几何直观抽象定义的数学思维。例题融合代数与几何方法，助力学生用数学语言表达方程，课中即时练强化理解，课后分层检测满足不同需求，有效辅助教学与学生查漏补缺。

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 新课导入 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,在文学作品中有大量描写:小时不识月,呼作白玉盘.又疑瑶台镜,飞在青云端 ，如果把天空看作一个平面,月亮当作一个圆,那么我们如何确定该圆的方程呢? 学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程,能准确判断点与圆的位置关系. 新知学习 探究 一 圆的标准方程的概念 思考1．圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 思考2．已知圆心为，半径为，设圆上任一点，你能得到,的关系吗？ 提示： ，由两点间的距离公式，得，两边平方，得. ［知识梳理］ 在平面直角坐标系中，我们称为圆的①_ _ 方程，其中②_ _ _ _ _ _ _ _ 为圆心，为③_ _ .特别地，当时，方程为，表示以④_ _ _ _ _ _ _ _ 为圆心，半径为的圆；当时，方程为，称为⑤_ _ _ _ _ _ . 【答案】标准； ； 半径； 坐标原点； 单位圆 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定.（ ） （2） 方程一定表示圆.（ ） （3） 圆的圆心坐标是，直径长是4.（ ） （4） 圆心为且半径为3的圆的标准方程是.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） × （4） × 2．圆的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.圆 的半径为，所以圆 的面积 . 3．某圆的圆心为点，且过点，则圆的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，半径，所以圆的标准方程为. （1）利用可以直接写出圆心和半径，但要注意，如果是参数，则半径为，且. （2）几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 圆心在原点即，，半径为， 圆心在轴上即，半径为， 圆心在轴上即，半径为， 二 点与圆的位置关系 思考．平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置. ［知识梳理］ 圆，其圆心为，半径为，已知点, 设. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 ①_ _ _ _ ②_ _ _ _ 点在圆上 ③_ _ _ _ ④_ _ _ _ 点在圆内 ⑤_ _ _ _ ⑥_ _ _ _ 【答案】； ； ； ； ； ［例1］ （对接教材例1）已知两点和，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，,是在圆上、在圆内、还是在圆外. 【解】 由题可知圆心坐标为， 圆的半径， 所以圆的标准方程为. 分别计算点，，到圆心 的距离： , , , 所以点 在圆外，点 在圆上，点 在圆内. 判断点与圆的位置关系的方法 （1）几何法：只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可. （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. ［跟踪训练1］． （1） （多选）已知圆，则下列点在圆内的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知点在圆的外部，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） BC （2） 【解析】 （1） 选.对于，因为，所以点 在圆上，所以 不符合题意；对于，因为，所以点 在圆内，所以 符合题意；对于，因为，所以点 在圆内，所以 符合题意；对于，因为，所以点 在圆外，所以 不符合题意. （2） 由题意得， 即，可得 或. 所以实数 的取值范围为. 三 求圆的标准方程 ［例2］ （对接教材例3）求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的标准方程. 【解】 方法一（待定系数法） 设圆的标准方程为， 则有 解得 所以圆的标准方程是. 方法二（几何法） 由题意，是圆的弦，的中点坐标为,，且， 即 的垂直平分线为， 即，弦的垂直平分线过圆心， 由 得 即圆心坐标为，半径. 所以圆的标准方程是. 母题探究．求经过点和坐标原点且周长最小的圆的标准方程. 解：当线段 为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小， 即所求圆以线段 的中点,为圆心， 为半径， 故所求圆的标准方程为. （1）待定系数法求圆的标准方程的步骤 （2）在利用几何法求圆的标准方程时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等. ［跟踪训练2］． （1） [（2025·武汉期中）]已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. （2） [（2025·玉溪期中）]过,,三点的圆的标准方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.由题知,且 的中点坐标为，故线段 的中垂线方程为，故圆心在直线 上，与 联立，可得圆心为，所以半径为，故圆 的方程为. （2） 设圆的标准方程为， 由题意得 即 解得 所以圆的标准方程是. 课堂巩固 自测 1．（教材P85T1改编）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.圆心为，半径为2的圆的标准方程为. 2．（多选）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 点在圆内 C. 圆的半径为5 D. 点在圆内 【答案】ABC 【解析】选.圆 的圆心为，半径为5，，正确；由，得点 在圆内，正确；由，得点 在圆外，错误. 3．若点在圆的内部，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为点 在圆 的内部，所以，即，解得，则实数 的取值范围是. 4．（教材P85T3改编）已知三点，,,以为圆心作一个圆，使得，，三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程. 解：由题设知，，，，所以，要使，，三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以 为半径，故圆的方程为. 1.已学习：圆的标准方程及点与圆的位置关系. 2.须贯通：求圆的标准方程有待定系数法和几何性质法，利用方程思想和数形结合思想. 3.应注意：利用几何法求圆的标准方程时，要考虑全面，否则易出现漏解的情况. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知圆的标准方程为，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为圆的标准方程为，所以圆心坐标为. 2．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意，设圆心坐标为，半径，可设圆的标准方程为，由圆过点 可得，解得，则所求圆的标准方程为. 3．曲线与轴围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.曲线的方程可化为，即，所以这条曲线与 轴围成的区域是一个半径 的半圆，其面积为 . 4．已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】选.由,是方程 的两个不等实数根，得，,则，所以点 在圆 外. 5．已知点,,，则外接圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选. 如图所示，易得 外接圆的圆心为，所以,所以所求圆的标准方程为. 6．（多选）下列方程中表示圆心在直线上，半径为，且过原点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】选.因为圆心在 上， 所以设圆心为,因为圆的半径为， 所以圆的标准方程为, 因为该圆过原点，所以， 解得, 所以圆心为 或,当圆心为 时，圆的标准方程为，正确; 当圆心为 时，圆的标准方程为，正确. 7．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】圆 的圆心为，因为直线 是圆的一条对称轴，所以圆心 在直线 上，所以，解得，故圆心坐标为. 8．以,为一条直径的两个端点的圆的标准方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,，所以线段 的中点坐标为,，即， ， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为，所以所求圆的标准方程是. 9．已知两条直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】由 解得 则直线 与 的交点坐标为， 依题意，， 解得， 所以实数 的取值范围是,. 10．（13分）求满足下列条件的圆的标准方程： （1） 圆心是，且过点；（3分） （2） 圆心在轴上，半径为5，且过点；（5分） （3） 过两点和，圆心在轴上.（5分） 【答案】 （1） 解：由题意可知，, 所以圆的标准方程为. （2） 设圆心为， 则， 解得 或， 所以圆心为 或，又， 所以圆的标准方程为 或. （3） 设圆心为， 因为，所以， 即, 所以，， 所以圆的标准方程为. B 能力提升 11．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意可得，圆 的圆心坐标为，圆 和圆 的半径均为2，设圆心 关于直线 的对称点为， 则 解得 所以圆 的标准方程为. 12．（多选）设圆，则下列命题正确的是（ ） A. 所有圆的面积都是 B. 存在，使得圆过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上 【答案】AD 【解析】选.对于，由于每个圆的半径都是2，故面积都是 ，故 正确； 对于，由于,故圆 必定不过点，故 错误； 对于，对于 和，均有，故，即圆 经过点，故 错误； 对于，圆心 始终在直线 上，故 正确. 13．（13分）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴、轴分别交于点,，圆经过,,三点. （1） 求圆的标准方程；（6分） （2） 判断点,,是否在圆上.（7分） 【答案】 （1） 解：由题可得，,又，设所求圆的方程是， 由题意得 解得 故圆 的标准方程为. （2） 由（1）得圆 的标准方程为. 代入 得，故点 在圆 上； 代入 得，故点 在圆 外； 代入 得，故点 在圆 内. 14．（15分）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1） 求圆的标准方程；（7分） （2） 点在圆上运动，求的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：由圆经过，两点，得圆心在 的中垂线 上， 又圆心 在直线 上， 联立 得 即圆心为，又， 故圆 的标准方程为. （2） 设，易知， 则， 因为点 在圆 上运动， 则， 故 式可化简为，由 得 的取值范围为. C 素养拓展 15．已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得 ，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】选.显然，因为 ，所以， 所以要求 的最小值即求圆 上点 到原点 的最小距离，因为，所以，即 的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $