2.3.3点到直线的距离公式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2.3.3点到直线的距离公式 第二章 直线和圆的方程 1 复习导入 平面上的两点，间的距离公式： 注：① 原点 O (0，0) 与任一点 P (x，y) 间的距离：； ② 当直线 P1P2 垂直于 x 轴时：|| = ||； ③ 当直线 P1P2 垂直于 y 轴时：|| = ||. 另，两点间的距离公式与两点的先后顺序无关 2 新知探究 渔民们要将船推到海里，请同学们帮助设计一下：在理论上，怎样设计能使这条路最短？ 建模： 关键在于找点到直线的距离 3 新知探究 问题1：什么是点到直线的距离？ 直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.如图，点 到直线 的距离是 . 问题2：据此，你能求原点到直线的距离？ 4 新知探究 问题3：能否推导出一般化的公式来求点到直线的距离呢？如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？ x y O Q P l 几何法 直线的方程 直线的斜率 直线的斜率 直线的方程 点的坐标 直线的方程 点的坐标 点的坐标 点、之间的距离（到的距离） 过程较繁复 5 新知探究 问题3：已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 设，.由，以及直线的斜率为， 可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即. 解方程组 ① 得直线与的交点坐标， 即垂足的坐标为. 于是 6 新知探究 等面积法 问题3：能否推导出一般化的公式来求点到直线的距离呢？如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？ x y O Q P l 求出点的坐标 求出点的坐标 求出 求出 利用勾股定理求出 等面积法求出 7 新知探究 问题3：已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 向量法 y M 求出直线与轴的交点的坐标 求出 求出直线的垂直向量 求出在上的投影 8 新知探究 因此，点到直线的距离 辨析1：判断正误. (1)点到与轴平行的直线的距离.（ ） (2)点到与轴平行的直线的距离.（ ） × √ 辨析2：原点到直线的距离为( ). .1 . . . 9 练习巩固 例5：求点到直线的距离. 解：点到直线的距离. 思考：直线有什么特性？由此你能给出简便解法吗？ 一般地，点到直线的距离为， 到直线的距离为 10 练习巩固 例6：已知的三个顶点分别是，，，求的面积. 解：如图，设边上的高为，则. . 边上的高就是点到直线的距离. 边所在直线的方程为，即. 点到直线的距离. 因此，. 11 练习巩固 练习1：(1)点到直线的距离为_____； (2)求过点，且与原点的距离等于的直线方程. 解：(1)由点到直线的距离公式知. (2)因为所求直线过点，且斜率存在，所以设直线方程为，即，又因为原点到直线的距离等于， 所以，解得或. 故直线方程为或. 12 练习巩固 变式1：求经过两直线与的交点，且和点的距离为的直线的方程. 解：由解得即直线过点. ①当与轴垂直时，方程为，点到的距离，满足题意. ②当与轴不垂直时，设斜率为，则方程为，即， 由点到的距离为，得，解得， 所以的方程为，即. 综上，所求直线方程为或. 13 小结 因此，点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.如图，点 到直线 的距离是 . x y O Q P 14 $$