2.2.2 直线的两点式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

2.2.2 直线的两点式方程 新课导入 斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为轴，桥塔所在直线为轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线，如何建立这条直线的方程？这两个点有什么特别之处吗？ 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 新知学习 探究 一 直线的两点式方程 上节课我们已经学习了直线的点斜式方程，请思考下列两个问题： 思考1．如图，给定直线上两点，且，如何用点斜式写出的方程？ 提示： 或. 思考2．给定直线上两点，，，任选直线上一点，其中不与，重合，那么与有什么关系？ 提示： ，即. ［知识梳理］ 名称 两点式 已知条件 ,,其中, 图示 方程 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 适用范围 斜率存在且不为0的直线 【答案】 ［例1］ （对接教材例4）已知平行四边形的三个顶点分别为，，.求： （1） 直线的方程； （2） 直线的方程. 【答案】（1） 【解】过点，的直线的两点式方程为，整理得. （2） 因为，，由中点坐标公式可得线段 的中点 的坐标为，由平行四边形的性质可知，点 也是线段 的中点，所以直线 的方程即为直线 的方程，过点，的直线的两点式方程为，整理得. 利用两点式求直线方程的策略 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程. ［跟踪训练1］． （1） [（2025·邢台期中）]已知直线的两点式方程为，则（ ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式为 C. 直线的倾斜角为锐角 D. 直线的点斜式为 （2） 已知点，.若的中点坐标为，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.由题意，直线 不经过点，故，错误；将两点式化为斜截式：，故 错误；直线 的斜率为，所以直线 的倾斜角为锐角，故 正确. （2） 由题可得 解得 即，. 由两点式方程可得，即. 二 直线的截距式方程 思考．若给定直线上两点，，你能否得出直线的方程呢？ 提示：由两点式方程可得，即. ［知识梳理］ 名称 截距式 已知条件 直线与轴的交点为，与轴的交点为，且, 图示 方程 适用范围 斜率存在且不为零，不过原点的直线 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 能用截距式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（ ） （2） 能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.（ ） （3） 已知直线在轴、轴上的截距，只能用截距式求直线方程.（ ） （4） 任何直线都可以用表示.（ ） 【答案】（1） √ （2） √ （3） × （4） × 2．[（2025·郑州期中）]过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】选.当直线 过原点时，其方程是，符合题意;当直线 不过原点时，设直线 的方程为，将 代入，可得，解得，所以直线 的方程是. 3．过点，作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】选.由题设直线 的方程为，将点,代入，可得，即，由于，所以方程 有两个不相等的实根，且 时不满足，故满足题意的直线 的条数为2. 4．已知直线在轴与轴上的截距分别为4，9，若点在直线上，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题得直线的截距式方程为.因为点 在直线 上，所以，解得. 求直线的截距式方程的注意点 （1）如果已知直线在两坐标轴上的截距，且两截距均不为0，可以直接代入截距式求直线的方程. （2）将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在轴和轴上的截距，这一点常用于作图. （3）解决问题的过程中要对直线在两坐标轴上的截距进行分类讨论. 三 截距式方程的应用 ［例2］ 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程. （1） 的周长为12； （2） 的面积为6. 【答案】 （1） 【解】设直线方程为， 由题意可知，.① 又因为直线过点，，所以，② 由①②可得， 解得 或 所以所求直线的方程为 或， 即 或. （2） 设直线方程为， 由题意可知 解得 或 所以所求直线的方程为 或，即 或. 母题探究．本例条件不变，当的面积最小时，求直线的方程. 解：由本例（1）知，. 所以. 即，当且仅当， 即，时取等号，面积的最小值为，此时直线方程为,即. 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线的截距式方程，若设直线在轴、轴上的截距分别为，，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，周长为. ［跟踪训练2］．已知直线的斜率为2. （1） 求； （2） 若直线，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 【答案】 （1） 解：易知直线 过点,， 则直线 的斜率为，解得. （2） 由题可知直线 的斜率为2，故设直线 的方程为. 易知直线 与 轴、轴的交点坐标分别为,，，则直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得.所以直线 的方程为 或. 课堂巩固 自测 1．（教材P64 T2改编）在轴与轴上截距均为2的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意可得直线方程为，化简可得，所以，即倾斜角为 . 2．（多选）下列说法中错误的是（ ） A. 直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B. 与是直线的截距式方程 C. 直线方程的斜截式都可以化为截距式 D. 在轴、轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【解析】选.对于，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，错误； 对于，，都不是直线的截距式方程，错误； 对于，直线方程的斜截式为 的情况下，不能化为截距式方程，错误； 对于，在 轴、轴上的截距分别是2，3的直线方程为，正确. 3．经过两点,的直线交轴于点，则点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】由直线的两点式方程，得 所在直线的方程为， 即. 令，得， 故点 的坐标为,. 4．已知直线经过点和点. （1） 求直线的两点式方程，并化为截距式方程； （2） 求直线与两坐标轴围成的图形面积. 【答案】（1） 解：由已知得直线 的两点式方程为，整理得.所以直线 的截距式方程为. （2） 由（1）知直线 在 轴、轴上的截距分别为4和8，所以直线 与两坐标轴围成的图形的面积为. 1.已学习：直线的两点式方程及直线的截距式方程. 2.须贯通：（1）当已知两点坐标，应考虑用两点式求直线方程； （2）利用截距式求方程，多应用的数学思想方法是分类讨论和数形结合. 3.应注意：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 课后达标 检测 A 基础达标 1．过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为直线过点，，所以直线方程为. 2．直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】选.根据题意直线，令，得，所以直线 在 轴上的截距为1. 3．两方程与对应的直线可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.直线 的斜率，直线 的斜率，所以直线 与直线 斜率的符号相同，故只有 选项符合题意. 4．一条光线从射出与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.关于 轴的对称点，光线从 射出与 轴相交于点，则反射光线经过点，,由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 5．已知直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且,满足，则直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】选.由题意设直线 的方程为，则，① 又，所以，② 由①②解得 或 又由 知，,, 则，，则直线 的斜率为. 6．（多选）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.当直线 过原点时，它在两坐标轴上的截距都为0，互为相反数，直线 的方程为，即；当直线 不过原点时，设其方程为，则，解得，直线 的方程为，即.所以直线 的方程为 或. 7．直线与两坐标轴围成的图形面积为 _ _ _ _ . 【答案】5 【解析】直线 在 轴上的截距为2，在 轴上的截距为，所以所求面积为. 8．若直线与轴、轴的交点分别为，，且线段的中点为，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】依题知，直线 与 轴、轴的截距都存在且都不为0，设直线 的方程为，又线段 的中点为，则，,即,，则直线 的方程为，即. 9．已知点，，直线上一动点，则的最大值是_ _ _ _ . 【答案】5 【解析】直线 的方程为，显然 取得最大值时，,，又因为，即，解得，当且仅当，时取等号，此时 的最大值为5. 10．（13分）已知在中，点，的坐标分别为,，的中点在轴上，的中点在轴上.求： （1） 点的坐标；（6分） （2） 直线的方程.（7分） 【答案】 （1） 解：设点，因为 的中点 在 轴上，的中点 在 轴上， 由中点坐标公式得 解得 所以点 的坐标为. （2） 由（1）知，点，的坐标分别为,，,，由直线的截距式方程得直线 的方程为，即. B 能力提升 11．已知直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】选. 设直线 的斜率为， 如图，过定点 的直线经过点 时，直线 在 轴上的截距为3，此时； 过定点 的直线经过点 时，直线 在 轴的截距为，此时， 故满足条件的直线 的斜率的取值范围是,. 12．（多选）已知直线过点，，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的两点式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的截距式方程为 【答案】ABD 【解析】选.因为直线 过点，，所以直线 的斜率为，倾斜角为 ，故 正确，不正确； 直线 的两点式方程为，整理易得截距式方程为，所以，正确. 13．某汽车客运公司托运行李的费用（单位：元）与行李质量（单位：）之间的关系如图所示，根据图象可知，乘客最多可免费携带行李的质量为. 【答案】20 【解析】由题图可得，直线过点，，由直线的两点式方程可得，化简可得，令，解得，即乘客最多可免费携带行李的质量为. 14．（15分）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12.求： （1） 直线的方程；（7分） （2） 直线与两坐标轴所围成三角形的面积.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意得，直线 在两坐标轴上的截距都存在且不为0， 故可设直线方程为，且，① 又因为直线 过点， 所以，② 由①②解得 或 所以直线 的方程为 或， 即 或. （2） 由（1）可知，当直线 的方程为 时， ； 当直线 的方程为 时， . 所以直线 与两坐标轴所围成三角形的面积为 或32. C 素养拓展 15．[（2025·深圳期末）]（15分）已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点，为坐标原点 . （1） 若为的中点，求直线的方程；（6分） （2） 求的最小值.（9分） 【答案】 （1） 解：由题意可设 的方程为， 由 为 的中点可知，， 故直线 的方程为， 即. （2） 设直线 的方程为，将 代入得， 故， 当且仅当，即,时等号成立， 故 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $