2.2.1 直线的点斜式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 新课导入 射击运动员在进行射击训练时，要掌握两个动作要领:一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线,并且运动员达到了上述的两个动作要求,试从数学角度分析子弹是否会命中目标. 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 新知学习 探究 一 直线的点斜式方程 思考1．在平面内，过点的直线有多少条？ 提示：无数条. 思考2．在平面内，斜率为的直线有多少条？ 提示：无数条. 思考3．在平面内，过点且斜率为的直线有多少条？ 提示：有且只有一条. ［知识梳理］ 名称 点斜式 已知条件 点和①_ _ _ _ _ _ _ _ 图示 方程形式 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 适用条件 斜率存在 【答案】斜率； ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 经过点的直线都可以用表示.（ ） （2） 轴所在直线的方程为.（ ） （3） 轴所在直线的方程为.（ ） （4） 直线恒过定点.（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） × （4） √ 2．过点，且一个方向向量为的直线的点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，所以直线的点斜式方程为. 3．[（2025·阜阳期中）]将直线绕点顺时针旋转 得到的直线的点斜式方程是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为直线 的斜率为1，所以其倾斜角为 .将其顺时针旋转 ，所得直线的倾斜角为 ，所以所求直线的斜率为.所以所求直线的点斜式方程为. 4．[（2025·上海市静安区期中）]已知直线过点，且倾斜角的正弦值为，则此直线的点斜式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】记直线倾斜角为 ，由题知,，所以，所以，则直线的点斜式方程为 利用点斜式求直线方程的方法 （1）用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和直线上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程. （2）已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程. 二 直线的斜截式方程 思考．在平面内，过点且斜率为的直线方程如何表示？ 提示：. ［知识梳理］ 1．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的①_ _ . 【答案】截距 2． 名称 斜截式 已知条件 斜率和直线在轴上的截距 图示 方程形式 ②_ _ _ _ _ _ _ _ 适用条件 斜率存在 【答案】 提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. （2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0（当截距均为0时直线过原点）. （3）一次函数的图象是一条直线，直线的斜截式方程就是函数解析式,其中是直线的斜率,是直线在轴上的截距. ［例1］ 求满足下列条件的直线的方程. （1） 斜率为2，在轴上的截距为； （2） 倾斜角为直线的倾斜角的一半，在轴上的截距为； （3） 倾斜角为 ，在轴上的截距为3. 【答案】（1） 【解】由题意得，，由斜截式得直线方程为. （2） 因为直线 的斜率为，所以其倾斜角为 ，故所求直线的倾斜角为 ，所以.又，所以直线方程为. （3） 因为直线的倾斜角为 ， 所以其斜率. 又，所以所求直线方程为. 母题探究．将本例（3）的条件“在轴上的截距为3”变为“与轴的交点到原点的距离为3”，求直线的方程. 解：因为直线的倾斜角为 ， 所以其斜率. 因为直线与 轴的交点到原点的距离为3， 所以直线在 轴上的截距 或. 所以所求直线方程为 或. 直线的斜截式方程的求解策略 （1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在轴上的截距，代入方程即可. （2）当斜率和在轴上的截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和在轴上的截距，再写出直线的斜截式方程. 注意 在斜率存在的条件下，才能用斜截式表示直线的方程. ［跟踪训练1］． （1） 已知直线的倾斜角为 ，且过点，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. （2） 如果直线的斜率和在轴上的截距分别为直线的斜率的一半和在轴上截距的两倍，那么直线的斜截式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.直线 的斜率为，方程为，当 时，，所以 在 轴上的截距为. （2） 直线 的斜率为，在 轴上的截距为2，则直线 的斜率为，在 轴上的截距为，故直线 的斜截式方程为. 三 斜截式方程的应用 ［例2］ （对接教材例2）已知直线与直线. （1） 当为何值时，？ （2） 当为何值时，？ 【答案】 ［例2］ 【解】 设直线,的斜率分别为,， 则,. （1） 当 时，有 解得. （2） 当 时，，即， 所以，解得. 根据斜截式方程解决平行和垂直的策略 （1）若给定两条直线的斜截式方程,说明了两条直线的斜率及相应截距是已知的,在此基础上判断两条直线的位置关系. （2）若已知斜率存在的两条直线的位置关系求相应参数的取值或范围时，要正确利用或等结论，特别注意两直线重合的情况. 常用结论 若,, 则且,. ［跟踪训练2］． （1） [（2025·潍坊月考）]已知直线，直线，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 相交或重合 （2） 若直线与直线平行，且它在轴上的截距为4，则直线的斜截式方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.当 时，两直线重合；当 时，两直线相交. （2） 由题意可知直线 的斜率，在 轴上的截距，所以直线 的斜截式方程为. 课堂巩固 自测 1．（教材P62 T3改编）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.斜率为，在 轴上的截距为 的直线 的方程为. 2．（多选）已知两条直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 与一定相交 B. 与一定平行 C. 与一定垂直 D. 与不可能平行 【答案】ACD 【解析】选.两直线的斜率之积为，故 与 一定垂直并相交，，正确；当 时，无实数解，故 与 不可能平行，正确，错误. 3．若直线经过点且倾斜角为，则直线的点斜式方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由直线 的倾斜角为，得直线 的斜率，又直线 过点，所以直线 的点斜式方程是. 4．（教材P62 T4改编）判断下列各组直线是否平行或垂直. （1） ，； （2） ，； （3） ，. 【答案】（1） 解：设两条直线,的斜率分别为,，在 轴上的截距分别为，，则由，的方程可知，且，所以. （2） 设两条直线，的斜率分别为，，则，，因为，所以. （3） 直线 的斜率为0，直线 的斜率不存在，所以. 1.已学习：直线的点斜式方程及直线的斜截式方程. 2.须贯通：（1）应用点斜式方程表示直线的前提条件是该直线的斜率存在，且过已知点; （2）已知直线的斜率与直线在轴上的截距，可直接写出直线的斜截式方程. 3.应注意：（1）求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况; （2）混淆直线的截距和距离. 课后达标 检测 A 基础达标 1．直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.对于直线，它在 轴上的截距为. 2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为直线 的斜率为，由垂直关系可得垂线的斜率为，又垂线过点，所以垂线方程为. 3．[（2025·广州期中）]“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】选.若直线 与直线 平行，则 且，解得. 故“”是“直线 与直线 平行”的充要条件. 4．方程所对应的直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由方程，得，直线的斜率，直线在 轴上的截距为.当 时，，则直线经过第一、三、四象限，且与 轴相交于负半轴；当 时，，则直线经过第一、二、四象限，且与 轴相交于正半轴.只有 选项的图象符合题意. 5．已知的三个顶点的坐标分别为，,，则边上的高所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，所以，所以 所在的直线方程为. 6．（多选）已知直线过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.由题意，直线 的倾斜角可以是 或 或 或，所以直线 的斜率 或 或 或，所以直线 的方程可以为 或 或 或，由，整理得，此时直线过原点，无法与 轴和 轴围成直角三角形，不符合题意. 7．过点，并且与轴平行的直线方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】过点，并且与 轴平行的直线的斜率为0，所以所求直线方程为. 8．已知直线,，若，则实数_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以，所以. 9．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线 的倾斜角为，则斜率，,,设直线 的倾斜角为 ，则,易知直线 的斜率存在，所以直线 的斜率，又直线 经过点，则直线 的点斜式方程为. 10．（13分）根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1） 斜率为，在轴上截距为；（4分） （2） 过点，方向向量为；（4分） （3） 斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4.（5分） 【答案】（1） 解：直线的斜率，纵截距，所以该直线的斜截式方程为. （2） 因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，又过点， 所以直线的点斜式方程为，所以该直线的斜截式方程为. （3） 设直线方程为， 则令 得；令 得， 由题意得， 即，所以， 所以直线的斜截式方程为 或. B 能力提升 11．（多选）直线与在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.对于，两条直线的斜率和在 轴上的截距均大于0，且其中一条直线的斜率和在 轴上的截距均大于另一条直线的斜率和在 轴上的截距，不符合题意，不正确； 对于，当 时，符合题意，正确； 对于，当 或 时，符合题意，正确； 对于，其中一条直线的斜率不存在，不符合题意，不正确. 12．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】由题意得，直线 斜率为， 则其倾斜角为， 所以直线 的倾斜角为 或，且过点， 故直线 的方程为 或， 即 或. 13．已知点，，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为 _ _ _ _ _ _ ；的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】直线 在 轴上的截距为，斜率为，且直线 恒过点，则，，若直线 与线段 无交点，则 的取值范围是. 14．（13分）已知点和直线，求： （1） 过点且与直线平行的直线的点斜式方程；（6分） （2） 过点且与直线垂直的直线的点斜式方程.（7分） 【答案】 （1） 解：因为直线，则直线 的斜率，可知与直线 平行的直线的斜率， 过点 且与直线 平行的直线的点斜式方程为. （2） 由（1）可知，与直线 垂直的直线的斜率，过点 且与直线 垂直的直线的点斜式方程为. C 素养拓展 15．（15分）已知直线的方程为. （1） 证明：直线恒过第一象限；（4分） （2） 若直线不过第四象限，求的取值范围；（5分） （3） 若直线分别与轴、轴的正半轴交于,两点，为原点，是否存在使面积最小的直线？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由.（6分） 【答案】（1） 证明：由点斜式方程 可知，直线 恒过点，该点位于第一象限，所以直线 恒过第一象限. （2） 解：方程 转化为，若直线 不过第四象限，则 解得，所以 的取值范围为,. （3） 存在，理由如下： 若直线 分别与 轴、轴的正半轴交于,两点， 则，,，， 所以 的面积 , 当且仅当, 即 时，等号成立， 故存在使 面积最小的直线， 其方程为， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $