2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦两条直线平行和垂直的判定，从平面几何中平行直线的同位角关系、垂直直线的方向向量数量积入手，过渡到解析几何中斜率关系的判定（平行时斜率相等或都不存在，垂直时斜率乘积为-1或一条不存在另一条为0），通过思考问题、知识梳理表格、例题解析及跟踪训练搭建学习支架。 资料以过山车实例导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过倾斜角与斜率关系的推理培养数学思维，结合坐标计算判断四边形形状等综合应用提升数学语言表达能力。分层设计课堂巩固与课后检测（A/B/C级），并提示斜率不存在等易错点，课中助力教师引导探究，课后帮助学生查漏补缺。

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 新课导入 过山车是一种富有刺激性的游乐设施.实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着.你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 新知学习 探究 一 两条直线平行的判定 思考1．在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补. 思考2．平面中的两条平行直线被轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等. ［知识梳理］ 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 两直线的斜率都②_ _ _ _ _ _ 图示 【答案】； 不存在 ［例1］ 根据下列给定的条件，判断直线与直线的位置关系. （1） 经过点，，经过点，； （2） 的倾斜角为 ，经过点，. 【答案】 （1） 【解】设两直线，的斜率分别为，. 由题意知，. 因为，又， 所以，所以，，三点不共线，所以，，，四点不共线， 所以. （2） 设两直线，的斜率分别为，. 由题意知，. 所以，所以 或 与 重合. 判断两条直线是否平行的步骤 注意 若已知直线上点的坐标，判断两条直线是否平行时，要考虑直线重合的情况 ［跟踪训练1］． （1） 已知,,,，则直线与的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 （2） [（2025·福州期中）]已知过点和的直线与斜率为2的直线平行，则的值为_ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 1 【解析】 （1） 选.，，由图可知，，，不共线，所以. （2） 由过点 和 的直线与斜率为2的直线平行，得，解得，所以 的值为1. 二 两条直线垂直的判定 思考．平面中，两条直线，的斜率分别为，，则两条直线的方向向量分别为，，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：. ［知识梳理］ 图示 对应关系 （两直线的斜率都存在）①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的斜率不存在，的斜率为②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ［例2］ 判断下列两条直线是否垂直. （1） 直线的斜率为，直线经过点，； （2） 直线经过点，，直线经过点，； （3） 直线的方向向量为，直线的方向向量为. 【答案】（1） 【解】直线 的斜率，直线 的斜率，因为，所以 与 不垂直. （2） 直线 的斜率不存在，故 与 轴垂直，直线 的斜率为0，故直线 与 轴平行，所以 与 垂直. （3） 因为直线 的方向向量为，所以直线 的斜率.因为直线 的方向向量为，所以直线 的斜率，，所以 与 垂直. 判定两直线垂直的步骤 （1）一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步； （2）二代：将点的坐标代入斜率公式计算斜率的值； （3）三判断：根据两斜率之间的关系进行判断. 提醒 （1）判断两直线是否垂直也可以根据两直线的方向向量的数量积是否为0进行判断. （2）若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况. ［跟踪训练2］． （1） 已知平面内两直线,的斜率分别为,，且,是方程的两根，则与的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交且不垂直 （2） 已知直线经过点,，直线经过点，,若，则的值为_ _ . 【答案】（1） B （2） 0或5 【解析】 （1） 选.由题意，因此两直线垂直.平面内的两直线垂直时当然相交. （2） 方法一：因为直线 经过点,，且，所以 的斜率存在，而 经过点，,则其斜率可能不存在，当 的斜率不存在时，，即，此时 的斜率为0，则，满足题意； 当 的斜率存在时，，即，此时直线,的斜率均存在，由 得，即，解得.综上，的值为0或5. 方法二：由题知，的方向向量为,的方向向量为,由 得,即,解得 或. 三 平行与垂直关系的综合应用 ［例3］ （对接教材例5）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，.试判断四边形的形状，并给出证明. 【解】 由已知可判断四边形 是直角梯形. 证明如下：由题意得，，，， 所以，，即 且 与 不平行，所以四边形 是梯形，又因为，所以，,综上，四边形 是直角梯形. 母题探究．本题条件“”变为“”，当四边形是平行四边形时，求，. 解：由本例解析知,，，，,因为四边形 是平行四边形，所以，，所以，，联立解得,. 利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 （1）描点：在平面直角坐标系中描出给定的点； （2）猜测：根据描出的点，猜测图形的形状； （3）求斜率：根据给定的点的坐标求直线的斜率； （4）结论：由斜率之间的关系，判断形状. ［跟踪训练3］． （1） 以,,为顶点的三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 以为直角顶点的直角三角形 D. 以为直角顶点的直角三角形 （2） 已知矩形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为 _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.直线 的斜率，直线 的斜率，直线 的斜率，由，所以，故 是以 为直角顶点的直角三角形. （2） 设点 的坐标为，由题易知,,所以 解得 所以点 的坐标为. 课堂巩固 自测 1．过点和点的直线与轴所在直线的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. 平行 C. 重合 D. 垂直 【答案】D 【解析】选.由题意知直线 的斜率不存在，与 轴所在直线垂直. 2．（多选）已知,为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 若,斜率相等，则,平行 B. 若,平行，则,的斜率相等 C. 若,的斜率乘积等于，则,垂直 D. 若,垂直，则,的斜率乘积等于 【答案】AC 【解析】选.根据题意及两直线的位置关系可知若，斜率相等，则，平行，故 正确；若，平行，当，都与 轴平行时，，的斜率不存在，故 错误；易知若，的斜率乘积等于，则，垂直，故 正确；若，垂直,当 与 轴平行，与 轴平行时，直线 的斜率为0，的斜率不存在，故 错误. 3．（教材P57练习T2改编）已知直线的倾斜角为 ,直线,若直线过点,,则_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】设直线,的斜率分别为,,因为直线 的倾斜角为 ,所以.又直线,则,解得. 4．（教材P57练习T1改编）判断下列各组不重合的直线是否平行或垂直： （1） 的斜率为，经过,两点； （2） 的倾斜角为 ，经过,两点. 【答案】 （1） 解：的斜率为，经过,两点， 则 的斜率为，即，的斜率相等，且两直线不重合，故. （2） 的倾斜角为 ，所以 的斜率为1，经过，两点，则 的斜率为，即两直线斜率之积等于，故. 1.已学习：两条直线平行与垂直的判定及应用. 2.须贯通：（1）利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先根据图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断； （2）探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想方法. 3.应注意：（1）研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况； （2）当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知直线的倾斜角为 ，直线经过点，,则直线,的位置关系是（ ） A. 平行或重合 B. 平行 C. 垂直 D. 重合 【答案】A 【解析】选.依题意，直线 的斜率，直线 的斜率， 即，所以 或,重合. 2．已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】选.设 的 边上的高线所在直线的斜率为,因为,所以. 3．[（2025·台州期中）]已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】选.设直线 的方向向量，直线 的方向向量，因为，所以，因此可得，解得. 4．已知点，,,,且直线与直线垂直，则的值为（ ） A. 或0 B. 0或7 C. 0 D. 7 【答案】B 【解析】选.当 时，直线 的斜率不存在，直线 的斜率为0,故; 当 时，,,因为，所以,解得. 综上，或. 5．已知平面内两条直线,的斜率是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定 【答案】C 【解析】选.设直线,的斜率为,，则，因为，所以,不垂直，错误； 因为，所以，所以,不平行，错误； 因为,不平行，也不垂直，所以，相交但不垂直，正确，错误. 6．（多选）已知点，，点在轴上，且 ，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.设点 的坐标为，由 ，得，又直线 与直线 的斜率都存在，则，整理得，解得 或，所以点 的坐标为 或. 7．在中，，，，分别为边，的中点，则直线的斜率为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，分别为边，的中点，所以由三角形中位线可得,,所以. 8．[（2025·武汉期末）]已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意可得，直线 的斜率，直线 的斜率，直线 的斜率，因为，所以，即，解得，又，所以，即，解得，所以. 9．已知，，.若为直角三角形，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或2 【解析】当 时，，解得；当 时，，无解；当 时，，解得. 10．（13分）已知直线经过,，直线经过,. （1） 若，求的值；（6分） （2） 若，求的值.（7分） 【答案】 （1） 解：由题知直线 的斜率存在且， 若，则直线 的斜率也存在且， 由,所以， 得，解得 或， 经检验，当 或 时，. （2） 若，当 时，此时，斜率存在，，不垂直，不符合题意； 当 时，直线 的斜率存在且不为0， 则直线 的斜率也存在，且， 即， 解得 或， 所以当 或 时，. B 能力提升 11．（多选）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.由题意可得，， ，， ,, 因为，可知，故 正确； 因为，可知，故 正确； 因为，可知 与 不平行，故 错误； 因为，可知，故 正确. 12．已知两点，，直线过点，交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题易知，即 为圆的直径，即,所以，即，解得. 13．（13分）已知四边形的顶点坐标为,,,，求证：四边形为矩形. 证明：因为，，，， 所以，，，，所以，，所以，， 所以四边形 为平行四边形， 因为，所以， 所以四边形 为矩形. 14．（15分）已知，，. （1） 求点的坐标，满足，；（7分） （2） 在轴上是否存在点，使，如果存在，求直线的倾斜角，如果不存在，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 解：设，由已知得， 由，可得， 即.① 由已知得， 由，可得， 即.② 联立①②求解得 即. （2） 在 轴上存在点， 使. 设存在，满足， 所以. 又因为，， 所以，即， 所以. 又因为，所以 轴， 故直线 的倾斜角为 . C 素养拓展 15．[（2025·郑州期中）]将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点,重合，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】设点 为点， 点 为点， 所以线段 的中点为,. 设点 为点，点,为点， 所以线段 的中点为,， 由题意可知，， 则 解得 故. 学科网（北京）股份有限公司 $