1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本讲义聚焦用空间向量研究距离与夹角问题，系统梳理点到直线、点到平面、线面、面面距离的向量求法，以及异面直线所成角、线面角、面面角的向量计算。前承空间向量的线性运算与坐标表示，后为立体几何综合应用奠定基础，通过问题驱动、知识梳理、例题示范与分层练习构建完整认知支架。 资料以蔬菜大棚路线设计、黄赤交角等现实情境导入，引导学生用数学眼光观察空间关系，通过“方向向量与法向量夹角是否为线面角”等问题链培养逻辑推理的数学思维。例题结合坐标法规范表达，课中助力教师高效授课，课后分层检测（基础、能力、素养）帮助学生查漏补缺，强化知识应用与数学语言表达。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题 新课导入 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点处修建一个蔬菜存储库.在公路上选择一个点，修一条公路到达点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？ 学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 新知学习 探究 一 点到直线的距离 思考1．点到直线的距离是如何定义的？ 提示：点到已知直线的垂线段的长度. 思考2．如图，过点作 直线，垂足为,直线上的点异于点，则与直线上点的位置有关吗？ 提示：无关. ［知识梳理］ 如图，直线的单位方向向量为,是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得点到直线的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［即时练］ 1．已知过坐标原点的直线的方向向量，则点到直线的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意可知，在直线 上的投影向量的模长为，所以点 到直线 的距离. 故点到直线的距离是. 2．已知空间向量，，则点到直线的距离为_ _ _ _ ；点到直线的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】，， 则 方向上的单位向量为，，， 故 点到直线 的距离为 ;由向量，，可得， 则方向上的单位向量为，0，，因此点到直线的距离为. 3．已知三棱柱的侧棱垂直于底面， ,,是棱的中点.则点到直线的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题知，，，两两垂直， 以点 为坐标原点，，,的方向分别为 轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则 方向上的单位向量为，，. 因此点 到直线 的距离为 . 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系; （2）求直线的方向向量或单位方向向量; （3）计算所求点与直线上点所构成的向量; （4）利用公式，计算点到直线的距离. 二 点到平面的距离 思考1．点到平面的距离是如何定义的？ 提示：过点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段的长度为点到平面的距离. 思考2．如图，过点作 平面 ，垂足为,平面 内的点异于点，则与平面 内的点的位置有关吗？ 提示：无关. ［知识梳理］ 如图，已知平面 的法向量为,是平面 内的定点，是平面 外一点.过点作平面 的垂线，交平面 于点，则是直线的方向向量，且点到平面 的距离就是在直线上的投影向量的长度.因此_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例1］ （对接教材例6）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点.求： （1） 点到平面的距离; （2） 点到平面的距离. 【答案】 （1） 【解】如图，以 为坐标原点，分别以,,的方向为 轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，,,，， 设平面 的法向量，则 即 令，则，，故. 则点 到平面 的距离. （2） 由（1）知，平面 的法向量,,所以点 到平面 的距离. 用向量法求点到平面的距离的步骤 ［跟踪训练1］．[（2025·唐山期末）]在三棱锥中，， ，为的中点，. （1） 求证：平面 平面； （2） 求点到平面的距离. 【答案】 （1） 证明：因为，为 的中点，所以. 又，且,, 平面，故 平面. 又 平面，所以平面 平面. （2） 解：由（1）知 平面.因为 平面，所以. 在 中,， ,为 的中点，所以. 又，所以，又， 所以，即，故，，两两垂直. 以 为坐标原点，分别以，，的方向为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，所以，，，，，设平面 的法向量为，则 令，得. 则点 到平面 的距离为. 三 线面、面面的距离 ［例2］ 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形， 底面,，,分别是,的中点.求直线与平面的距离. 【解】 因为 平面，四边形 为正方形，以点 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,, 所以,， 设平面 的法向量为， 则 取， 可得，又, 所以，因为 平面，所以 平面,所以直线 与平面 的距离为点 到平面 的距离. ，点 到平面 的距离,所以直线 与平面 的距离为. 母题探究．在本例中，再取的中点，求平面与平面的距离. 解：由例题可知，，，， 因为 平面，所以 平面. 因为，， 平面，所以平面 平面，所以平面 与平面 的距离即为点 到平面 的距离，即为. 求直线到平面、两平面之间的距离的前提是线面、面面平行，二者均可转化为求点到平面的距离. 方法如下： （1）如果直线与平面 平行，那么可在直线上任取一点，将直线到平面 的距离转化为点到平面 的距 （2）如果两个平面 , 平行，那么可在平面 内任取一点，将两个平行平面之间的距离转化为点到平面 的距离. ［跟踪训练2］．已知正方体的棱长为1，为的中点. （1） 求到平面的距离； （2） 求平面与平面的距离. 【答案】 （1） 解：因为，，两两垂直， 以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，,,，所以,,，，,因为，所以,又 平面, 平面,所以 平面,所以直线 到平面 的距离就是点 到平面 的距离， 设 为平面 的法向量， 则 即 令 得，， 故点 到平面 的距离,即直线 到平面 的距离为. （2） 由（1）可得，,，,，设，分别为平面、平面 的法向量， 所以 令，可得,， 所以， 令，可得,， 所以，所以，所以平面 平面，可得点 到平面 的距离即为所求，，所以点 到平面 的距离为，故平面 与平面 的距离为. 课堂巩固 自测 1．空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，所以 方向上的单位向量为. 因为，所以点 到直线 的距离为. 2．（多选）已知平面 的一个法向量，点在平面 内，若点到平面 的距离为，则（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】AC 【解析】选.点，,所以，又，则点 到平面 的距离,解得 或. 3．已知平面 ，平面 的一个法向量为,平面 内一点的坐标为，直线上的点的坐标为，则直线到平面 的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 平面 ，所以直线 到平面 的距离可转化为点 到平面 的距离，易知，所以点 到平面 的距离，即直线 到平面 的距离为. 4．（教材P35T3改编）已知正方体的棱长为4，设，，，分别是，，，的中点，求平面与平面的距离. 解：由题知，,,两两垂直，故以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则,，，，，，， 所以，，. 设 是平面 的一个法向量，则 即 解得 所以，，. 又因为，， 所以，，所以，，所以 平面，所以平面 平面，所以两平面间的距离即为点 到平面 的距离. 从而两平面间的距离为. 1.已学习：点到直线的距离与点到平面的距离. 2.须贯通：利用空间向量求点到直线、点到平面的距离体现了数形结合思想，而线面距、面面距转化为点到平面的距离，则体现了转化与化归的数学思想. 3.应注意：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知是平面的一个法向量，且，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选.依题意，点 到平面 的距离. 2．两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点，，且两平面的一个法向量，所以两平面间的距离. 3．[（2025·海口期中）]已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】选.，所以点 到直线 的距离为 ， 所以当时，所求距离有最小值，最小值为. 4．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”， 平面，，，，，分别为棱，，的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.依题意， 以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，，，设平面 的法向量为， 所以 取,则，所以点 到平面 的距离. 5．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面 底面， ，，记平面与平面的交线为，则直线到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选. 依题意，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 所以，， 因为， 平面， 平面，所以 平面， 又平面 与平面 的交线为，所以，所以点 到直线 的距离即为直线 到直线 的距离，则. 6．（多选）已知，，，，则（ ） A. B. 直线的一个方向向量为，， C. ，，，四点共面 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】选.因为，所以，正确； 又 不与,,平行，错误； 由题意得，则，所以,,,四点共面，正确； ，，， 则点 到直线 的距离为，正确. 7．已知直线经过点，且向量为直线所在平面的法向量，则平面外一点到所在平面的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】，由点到平面的距离公式, 得. 8．[（2025·佛山期中）]已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则_ _ . 【答案】0或2 【解析】由题意得，所以，，所以点 到直线 的距离为 ， 解得 或. 9．[（2025·邵阳月考）]如图，已知在棱长为4的正方体中，，分别是棱，的中点，连接，，，，，得到三棱锥，则该三棱锥的体积为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 依题意，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，,，所以，，,， 则，所以， 所以, 设平面 的法向量为， 则 令，则， 又, 所以点 到平面 的距离， 所以. 10．[（2025·西安期中）]（13分）如图所示，四棱锥的底面是矩形， 底面，，，. （1） 证明：直线平面；（6分） （2） 求点到平面的距离.（7分） 【答案】 （1） 证明：由题意知,,两两垂直，故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. 由，得， 解得，同理， 所以，显然平面 的一个法向量为，且 平面，故直线 平面. （2） 解：设平面 的法向量为， 且，， 由 得 取，则,， 所以，又， 点 到平面 的距离. B 能力提升 11．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为 平面，，以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，， 设，其中， 所以，， 则点 到直线 的距离 ， 设，因为，所以，则,. 所以点到直线距离的最小值为. 12．（多选）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】选. 以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,,，设，所以,，， 设 为平面 的法向量， 则有 令，可得，则点 到平面 的距离， 因为，所以， 所以. 13．[（2025·淄博期中）]（15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1） 求点到直线的距离；（7分） （2） 求直线到平面的距离.（8分） 【答案】 （1） 解：如图以 为原点，，，所在的直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则,, ,,,,,,,， 则，， 所以，，， 所以点 到直线 的距离 . （2） 因为，，，，，， ，，，，，. 因为，，， 所以，即，又 平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为， 则即 取，则，，所以， 所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为. 14．[（2025·北京期中）]（17分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形， 平面，是正三角形，，，，分别为，，，的中点. （1） 求证： 平面；（3分） （2） 求点到平面的距离；（6分） （3） 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 证明：因为 是正三角形，是 的中点，所以. 又因为 平面， 平面， 所以，又，， 平面，所以 平面. （2） 解：连接,因为，，两两垂直,所以以 点为原点，，，的方向分别为 轴、轴、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，，，所以，， 设平面 的法向量为， 由 令,得. 又， 所以点 到平面 的距离. （3） 线段 上存在点，使得三棱锥 的体积为.理由如下： 设，，,， ,， 所以点 到平面 的距离, ，. 易得，,， 所以， 解得 或. 所以线段 上存在点，使得三棱锥 的体积为，此时 或. C 素养拓展 15．[（2025·南京期末）]如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 连接,,以点 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则,，，，，， ，，，， 由 平面，设，又, 所以， 设，, 所以，即 解得， 所以，，，则，，， 又 方向上的单位向量为， 因此点 到直线 的距离为 . 第2课时 用空间向量研究夹角问题 新课导入 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，在地球公转的同时自身也绕“地轴”自转，地轴与地球的赤道面垂直，黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”，黄赤交角约为.本节课我们就探究下空间中的夹角问题. 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 新知学习 探究 一 两条异面直线所成的角 思考．同学们在分组讨论异面直线所成的角时，有同学认为异面直线，所成的角 就是其方向向量,的夹角,；有同学认为异面直线，所成的角 与其方向向量,的夹角,互补.你认为谁的观点正确？ 提示：都不正确，异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系. ［知识梳理］ 若异面直线,所成的角为 ，其方向向量分别是，，则①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】，； ［即时练］ 1．若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为 ，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，设两条异面直线 与 所成的角为 ，，则. 2．[（2025·北京期中）]设，分别是空间中直线,的方向向量，则直线,所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选,，设直线,所成的角为 ,，， 则，故， 故直线,所成的角为. 3．在三棱锥中， 底面，底面为正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，则， 所以,. 4．[（2025·佛山期末）]如图，在正方体中，为的中点，，.当与所成角的余弦值为时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】由题可知,,两两垂直，以 为坐标原点，分别以,,所在直线为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则，，，，. 设，则，，由，得， 故，则，， 设 与 所成的角为 ， 则 ， 解得 或. 用空间向量求两异面直线所成角的方法 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在两异面直线与上分别取点，和，，则与可分别作为直线,的方向向量，则，根据条件可以把与用基底表示，再进行计算. （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出两异面直线的方向向量的坐标，利用公式计算方向向量的夹角，再结合异面直线所成角的范围，得出异面直线所成的角. 二 直线与平面所成的角 思考．直线的方向向量与平面的法向量的夹角是直线与平面所成的角吗？ 提示：不是.直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成的角有可能互余，也有可能相差. ［知识梳理］ 设直线与平面 所成的角为 ，直线的方向向量为，平面 的法向量为，则①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】，； ［例1］ 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，， ，是的中点.求直线与平面所成角的正弦值. 【解】 连接，因为，是 的中点，所以, 因为平面 平面，平面 平面， 平面,所以 平面，又 平面,所以,在菱形 中， ，所以 是正三角形，所以.所以,,两两垂直. 故以点 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,，,,,, 设 是平面 的法向量， 则 令，得,， 所以, 设直线 与平面 所成的角为 ， 则,. 母题探究1．本例条件不变，求直线与平面所成角的余弦值. 解：由本例解析可知， ，，，. 设平面 的法向量, 则 令，得,, 所以, 设直线 与平面 所成的角为 ， 则,, 所以. 母题探究2．若点在线段上，且直线与平面所成的角为 ，求的值. 解：由题意可知，平面 的一个法向量为, ,,设, 则， 因为直线 与平面 所成的角为 ，可得,,整理可得,解得，所以. 向量法求线面角的基本步骤 ［跟踪训练1］．[（2025·潍坊期中）]如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. （1） 求证：平面； （2） 若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （1） 证明：连接 交 于，连接，根据三棱柱的特征可知四边形 为平行四边形，即 为,的中点，又 为 中点，所以 是 的中位线，即，易知 平面， 平面，所以 平面. （2） 解：因为，，，, 平面， 所以 平面，因为 平面，所以，又四边形 为正方形，所以,,两两垂直，故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,，所以,,， 设平面 的法向量为， 则 令，则,， 即， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为,. 三 平面与平面的夹角（二面角） 思考1．两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角. 思考2．两个平面的夹角与二面角是一个概念吗？ 提示：不是，两个平面的夹角的范围是，，二面角的范围是. ［知识梳理］ 1．两平面的夹角：平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的二面角称为平面 与平面 的夹角. 【答案】不大于 2．两平面夹角的计算：若平面 ， 的法向量分别是和,则平面 与平面 的夹角即向量和的夹角或其补角.设平面 与平面 的夹角为 ,则,②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例2］ （对接教材例8）已知直三棱柱中，，且，点,分别为线段和的中点. （1） 证明： 平面； （2） 求平面与平面的夹角. 【答案】 （1） 证明：因为 平面, 平面，所以，又因为,为 中点,所以，因为，, 平面，所以 平面，又因为 平面,所以. 因为，所以,因为，所以,即.又,, 平面，所以 平面. （2） 【解】如图所示，以点 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 易得,,,,，,, 设平面 的法向量， 则 取，则. 由（1）可知 为平面 的法向量. 所以,,所以平面 与平面 的夹角为. 向量法求两平面的夹角的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标； （2）求出两个平面的法向量，； （3）设两平面的夹角为 ，则，. 注意 若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，再用法向量求解. ［跟踪训练2］．[（2025·深圳期中）]如图，在四棱锥中，，且 . （1） 证明：平面 平面； （2） 若， ，求二面角的余弦值. 【答案】 （1） 证明：因为 ，所以，，因为，所以， 又，， 平面， 所以 平面，因为 平面，所以平面 平面. （2） 解：取 的中点，的中点，连接，，因为，所以， 由（1）知 平面，又 平面，所以，因为，， 平面，所以 平面.因为，所以四边形 是平行四边形，因为 平面， 平面，所以.因为，所以. 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， ，所以，，，，，,,,设平面 的法向量为， 所以 令，则，设平面 的法向量为， 所以 令，则， 所以,，由图知二面角 为钝角， 所以二面角 的余弦值为. 课堂巩固 自测 1．已知点，，，，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意得，.设异面直线 与 所成的角为 ，,，则,，得. 2．（多选）已知,,则下列说法正确的是（ ） A. 若，分别是直线,的方向向量，则,所成角的余弦值是 B. 若,分别是直线的方向向量与平面 的法向量，则与 所成角的正弦值是 C. 若,分别是平面，平面的法向量，则二面角的余弦值是 D. 若,分别是直线的方向向量与平面 的法向量，则与 所成角的余弦值是 【答案】ABD 【解析】选.对于，因为直线与直线所成角的范围为,,所以,所成角的余弦值为,,故 正确；对于，,因为直线与平面所成角的范围为,，设 与 所成的角为 ，则,,与 所成角的余弦值为 ，故，正确；对于,因为二面角的平面角的范围为，所以二面角 的余弦值可能为负值，故 错误. 3．（教材P41T3改编）已知三棱锥中，,,两两垂直，，,则直线与平面所成角的正弦值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 因为,,两两垂直，以 为原点，,,的方向分别为 轴,轴,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易得,，，， 则，，，设 是平面 的法向量， 则 令，则， 所以，，故直线 与平面 所成角的正弦值为. 4．如图，在正四棱柱中，为的中点，，. （1） 求证： 平面； （2） 求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】 （1） 证明：由题可知，,,两两垂直，以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 易得,， 所以,, 又因为,, 平面，所以 平面. （2） 解：由（1）知平面 的一个法向量为,, 设平面 的法向量为， 则 取,则，设平面 与平面 的夹角为 ， 则， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为. 1.已学习：利用空间向量求两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角. 2.须贯通：利用空间向量求空间角体现了数形结合和转化与化归的思想方法. 3.应注意：混淆两个向量的夹角与空间角之间的关系，不能正确理解空间角的概念；因忽视三种空间角的范围而出错. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若直线的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 ，则直线与平面 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 ，所以直线 与平面 所成的角等于 . 2．[（2025·龙岩期中）]在空间直角坐标系中，已知平面 , 的一个法向量分别为，，则 与 夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设，， 则,， 所以平面 与 夹角的余弦值为. 3．[（2025·吕梁期末）]在直三棱柱中， ,，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选. 依题意，以 为坐标原点，分别以,,所在直线为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则,,,, 所以,， 则,， 故 与 所成角的余弦值为. 4．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍， 平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.连接，交 于点，连接,则 平面，以 为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为， 则,,0,,,0,，,0,, 显然 是平面 的一个法向量，因为 平面，所以,0,是平面 的一个法向量，设二面角 的平面角为 ，由图易知 为钝角， 所以, . 5．[（2025·泰安期中）]已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角最大时的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.如图，以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，,,,, ,,， 平面 的一个法向量为， 设直线 与平面 所成的角为 ， 则， 所以当角 最大时，， 此时. 6．（多选）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且,，设直线与所成的角为 ，二面角的大小为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.由题意可知，,，因为,,所以.因为，且由题图可知二面角 为锐二面角，所以. 7．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为，则直线与平面 所成的角为 _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线 与平面 所成的角为， 则, ， 所以. 8．[（2025·北京市西城区期中）]在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】分别取,的中点，,连接,， 由正三棱柱性质可知,,， 以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 可得,,,， 所以,， 又,，且两异面直线所成角的范围为,，所以异面直线 与 所成角的大小为. 9．[（2025·洛阳期末）]如图所示，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆周上一点，且,，则平面与平面夹角的余弦值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 连接，在圆锥 中，因为，所以，所以，，两两垂直.以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为,，可得,,， 则,， 设平面 的法向量为， 则 令，可得,， 所以， 平面 的一个法向量为， 设平面 与平面 的夹角为 ， 则,， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为. 10．[（2025·潍坊期中）]（13分）如图，在四棱锥中， 平面，， ，，为棱的中点. （1） 证明：平面；（4分） （2） 若 ，求直线与平面所成角的正弦值.（9分） 【答案】（1） 证明：由于 为棱 的中点，,所以，,所以四边形 是平行四边形，所以，由于 平面， 平面，所以 平面. （2） 解：依题意可知 平面， 平面，所以， ，所以. 又 ，故以 为原点，，所在直线分别为 轴、轴，过点 平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,，,,,， 设平面 的法向量为， 则 令,则， 设直线 与平面 所成的角为 ， 所以. B 能力提升 11．已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.以 为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设， 则，， 因为直线 与 所成角的余弦值为， 所以，， 解得, 所以，，, . 12．[（2025·青岛期中）]（多选）将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 与所成的角为 【答案】ABD 【解析】选.令正方形 对角线 的中点为，则,，由二面角 为直二面角，得，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则,,,，, ,,， 对于，，即，则，正确； 对于，，正确； 对于，平面 的一个法向量为，,，因此 与平面 所成的角为 ，错误； 对于，,，因此 与 所成的角为 ，正确. 13．如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则与所成角的余弦值为_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】如图，连接,在下底面中过点 作直线，过点 作直线 于点. 设，由题意可知，所以. 在轴截面 中，，,所以以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，, 因为， 所以,,,,,， 所以，，，,,, 所以， 设 与 所成的角为 ，则. 14．（17分）如图，在底面为正方形的多面体中，四边形为矩形，是线段的中点，且，，. （1） 求证：平面 平面；（4分） （2） 若二面角的大小为 ，求的值；（6分） （3） 当取何值时，与平面所成的角最大.（7分） 【答案】 （1） 证明：如图，设，则 是线段 的中点，连接， 由 得,又矩形 中，是线段 的中点，则，，所以四边形 为平行四边形，则，因为四边形 为矩形，则，故，又，, 平面，所以 平面，又 平面，所以平面 平面. （2） 解：因为 平面，，则 平面，且， 以点 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则，，，，， 所以，， 设平面 的法向量为， 则 令，则，， 所以,1,，易知平面 的一个法向量为， 因为二面角 的大小为 ， 则, ， 整理得，而，所以. （3） 由（2）可知，平面 的一个法向量为,1,， 设 与平面 所成的角为 ， , ， 因为， 当且仅当，即 时等号成立， 则， 所以当 时，与平面 所成的角最大，最大角为 . 学科网（北京）股份有限公司 $