1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 新课导入 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石.这三个力分别为，，，它们两两垂直，且，，.若以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，你知道巨石所受合力的坐标是多少吗？本节课我们将探究此类问题. 学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示. 2.掌握空间两点间的距离公式. 3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题. 新知学习 探究 一 空间向量的坐标运算 回顾之前学习过的平面向量相关知识，回答以下问题： 思考1．在平面直角坐标系中，,，的坐标是什么? 思考2．设平面向量,，则,,,的运算结果分别是什么？ 思考3．有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？ 【答案】思考1 提示：. 思考2 提示： , , ,. 思考3 提示：设,,与平面向量运算的坐标表示一样，有,,,,. ［知识梳理］ 1．若，，则 加法 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 减法 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 数乘 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 数量积 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； ； 2．设,，则（⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ）.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标⑥_ _ 起点坐标. 【答案】,, 减去 ［即时练］ 1．[（2025·福州期中）]已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设点，而点，则，又， 因此 解得 所以点 的坐标是. 2．已知，,则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，,，则. 3．[（2025·北京期中）]在空间直角坐标系中，已知点，，，，若，，，四点共面，则_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】因为，，，，所以，，，因为，所以 与 不共线，因为，，，四点共面，所以存在实数,使得，所以， 所以 解得 空间向量坐标运算的解题方法 （1）直接计算，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量的坐标运算公式计算. （2）由条件求向量的坐标时，首先把向量用坐标的形式设出来，然后建立方程（组），解方程（组）求出其坐标. 二 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 思考．设平面向量，，则与的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似结论？ 提示：；.对于空间向量也有类似结论. ［知识梳理］ 若,,则 共线 当时， ①_ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 当,,且时， 垂直 当,时， ③_ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ,,； ； 角度1 证平行与垂直 ［例1］ （对接教材例2）在正方体中，已知,,,分别是,,,的中点.求证: （1） ,; （2） 平面. 【答案】 ［例1］ 【证明】如图，以 为坐标原点，以,,}为正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则,,,,,,. 由中点坐标公式，得,1,,,,,,1,,,,. （1） ,,0,, ,,. 因为,,所以,, 即,. （2） ,1,,,,, ,0,. 因为,，所以,, 即,. 因为,, 平面， 所以 平面. 利用向量证明直线、平面平行或垂直，需建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 角度2 求参数 ［例2］ （1） [（2025·青岛期中）]已知，，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. 11 D. 3 （2） 已知空间两点，，点在直线上运动，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 因为，，所以，解得. （2） 依题意得，，,因为点 在直线 上运动，则存在非零实数 ，使得，得，则 解得 所以. 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数的值，利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解. ［跟踪训练1］． （1） [（2025·深圳期中）]设,，向量，,,且,,则（ ） A. B. C. 2 D. 8 （2） 如图，在长方体中，，,,分别是,的中点.求证： ① 四边形为平行四边形； ② 平面. 【答案】（1） B （2） ① 证明：以 为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则,,,,，, 所以，, 所以, 又,,，四点不共线，所以四边形 为平行四边形. ② 由①知,, 所以，，所以,,即，,又因为,， 平面,所以 平面. 【解析】 （1） 选.因为，所以，解得，由 可知，，解得，所以. 三 空间夹角、距离的计算 思考．设平面向量，，如何求两者的夹角？对于空间向量也有类似结论吗？ 提示：先求，，再利用夹角公式,，最后利用三角函数值求出夹角.对于空间向量也有类似结论. ［知识梳理］ 1．若,,则 模 ①_ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 夹角 ,③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； 2．空间两点间的距离公式 设,，则⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例3］ （对接教材例3）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点. （1） 求的长； （2） 求与所成角的余弦值. 【答案】 ［例3］ 【解】 如图，以 为原点，，，分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，连接， 则，，，，，，， （1） 因为 是 的中点，所以，，， 所以，，， ， 即. （2） 因为，所以，因为,,，所以，且，，， 所以，.设 与 所成的角为 , 则,, 即 与 所成角的余弦值为. 母题探究．在本例中，求的面积. 解：由本例解析可知，，，,,,，，，， 所以,， 所以， 所以,故 的面积. 利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的一般步骤 （1）建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； （2）求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标; （3）计算：结合公式进行计算; （4）转化：转化为夹角与距离问题. ［跟踪训练2］．如图，在四棱锥中， 底面，底面是边长为2的菱形， ，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1） 求线段的长； （2） 求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 （1） 解：在菱形 中， ， 则 ， 易知 为等边三角形，则， 在等边三角形 中，为 的中点， 则，， 在 中，， 所以，, 所以. , 即. （2） 由题易知，，，，则，，所以，，， 设异面直线 与 所成的角为 ， 则,. 拓视野 向量概念的推广与应用 教材人教版选择性必修第一册第23页“阅读与思考”介绍了《向量概念的推广与应用》的有关内容,目的是让学生从二维向量扩展到三维向量的过程中去感悟:向量能否进一步扩展到四维、五维甚至维的情况，以培养学生对未知世界探索的兴趣. 拓展结论：用元有序实数组表示维向量，它构成了维向量空间，. 对于维向量空间的向量也可以定义加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）、两点间的“距离”等 . 设，，则 ； ，； ； . 维向量空间中，两点间的距离. ［典例］ （多选）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到复杂的变化过程.现将平面向量的运算推广到维向量，用有序数组表示维向量，已知维向量，，则（ ） A. B. C. , D. 存在，使得 【答案】BC 【解析】类比平面向量的运算，，所以，错误；，正确；，,，正确；假设存在，使得，则有 且 ，此时 无解，错误. 对于维向量的有关问题，一般都会给出相关的性质或运算法则，只需借助这些性质或法则，用二维向量、三维向量的处理方法解决即可. ［练习］．在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在维空间中，正交的定义是两个维向量,满足.已知某通信方式中用户的信号是4维非平行向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为,,,,0,.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（答案不唯一） 【解析】设满足条件的第四个用户的信号向量是， 则 则 则,， 故满足条件的一个信号向量是. 课堂巩固 自测 1．（教材P22练习T1改编）已知向量，，，则（ ） A. 12 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】选.由题意，，则. 2．已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，， 且，所以存在,使得， 即， 所以 解得 即. 3．已知，，，若向量与垂直为坐标原点，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】，，， 所以， 因为向量 与 垂直， 所以，所以. 4．（教材P23 T8改编）如图，四棱柱是棱长为1的正方体，若点为的中点，. （1） 求的长； （2） 求与所成角的余弦值. 【答案】 （1） 解：以 为原点，，,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则,,1,,,,, ,,, 则,故 的长为. （2） 由（1）得,,,,则,, 因为异面直线所成的角的取值范围为，， 故与所成角的余弦值为. 1.已学习：空间向量运算的坐标表示及应用. 2.须贯通：空间向量的坐标运算实际上是平面向量坐标运算的推广（在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标），与平面向量的坐标运算相比，空间向量坐标运算的适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题. 3.应注意：（1）两向量对应坐标的比相等是的充分不必要条件，而非充要条件; （2）讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[（2025·鸡西期中）]已知向量,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由,，可得,，所以. 2．已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】选.因为，， 所以， 因为,所以，， 所以. 3．[（2025·梅州期末）]在空间直角坐标系中，已知点,,，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设，因为，所以，得 所以. 4．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. ,0, B. ,0, C. ,0, D. ,0, 【答案】C 【解析】选.由于空间向量，，则向量 在向量 上的投影向量为,0,. 5．在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】选.由向量,,共面，有， 即， 故 解得 6．[（2025·武汉期中）]（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】AC 【解析】选.由，， 得， 对于，，正确； 对于，，错误； 对于，由，，得，解得，正确； 对于，由 且，得，无解，错误. 7．[（2025·上海期中）]已知向量,,则与的夹角为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题知,，又， ，所以, . 8．[（2025·杭州期中）]已知空间向量,,,,且与互相平行，则实数的值为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】由条件可知，因为 与 互相平行，所以存在，使得，所以 解得 9．已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,, 【解析】设，则，，. 由 可得，即， 因为，，共线，故存在实数 使得，即, 所以 解得 所以点 的坐标为,,. 10．[（2025·上海期中）]（13分）已知空间三点,,. （1） 求的面积；（6分） （2） 若向量，且，求点的坐标.（7分） 【答案】 （1） 解：设向量,的夹角为 ，由空间三点,,， 可得，, , ， 可得 ， 因为 ，所以，所以. （2） 因为，所以，其中， 因为，,,可得，所以， 于是 或， 即点 的坐标为 或. B 能力提升 11．[（2025·南京期末）]已知,，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为,，且 与 的夹角为钝角，则 且 与 不反向共线，因为，则，解得，若 与 反向共线，设，则 解得 综上可得 的取值范围是. 12．在空间直角坐标系中，已知,,，则三棱锥的体积为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】由题意得，，所以，即，所以 的面积为，点，，都在平面 上，点 到平面 的距离为3，所以三棱锥 的体积为. 13．已知为坐标原点，向量,,，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,, 【解析】因为点 在直线 上运动，则，存在实数,使得，则，因此，，，所以，则当 时，，此时，点,,，所以当 取得最小值时，点 的坐标为,,. 14．[（2025·南开期中）]（15分）如图，三棱柱， 底面，底面中，， ，棱，，分别是，的中点. （1） 求的模;（5分） （2） 求，的值；（5分） （3） 求证：.（5分） 【答案】 （1） 解：以 为坐标原点，以，，的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图. 由题意得，,, 故. （2） 依题意得,,,, 故,, 则,，,所以，. （3） 证明：,，，,，，，, 由于, 故，即. C 素养拓展 15．（15分）在正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点,与交于点，且. （1） 用向量方法求的长；（7分） （2） 对于个向量,, ,，如果存在不全为零的个实数,, ,，使得，则称个向量,, ,线性相关，否则称为线性无关.试判断,,是否线性相关.（8分） 【答案】 （1） 解：设 长为，以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，,4,,,,4,,, 由，故，解得（负值已舍去），即 的长为. （2） 由，故，，， 假设存在实数，，， 使得 成立, 则有 解得 即当且仅当 时,, 所以，，线性无关. 学科网（北京）股份有限公司 $