1.2 空间向量基本定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

1.2 空间向量基本定理 新课导入 “道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子的《道德经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程，联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维的基底，可以生成空间中的所有向量.这节课我们来探究空间向量基本定理有哪些应用. 学习目标 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用. 2.会用基底表示空间向量. 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法. 新知学习 探究 一 空间向量基本定理 如图，已知正方体的棱长为，在，，上分别取单位向量，，. 思考1．，，共面吗？ 思考2．能否用，，表示向量？若能，如何表示？ 【答案】思考1 提示：不共面. 思考2 提示：能，. ［知识梳理］ 1．定理 条件 三个①_ _ _ _ _ _ 的向量,,和②_ _ _ _ _ _ _ _ 空间向量 结论 存在唯一的有序实数组,使得③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】不共面； 任意一个； 2．基底 三个向量,,④_ _ _ _ _ _ ，那么｛,,｝叫做空间的一个基底，,,都叫做⑤_ _ _ _ _ _ . 如果空间的一个基底中的三个基向量两两⑥_ _ ，且长度都为⑦_ _ ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{,,}表示. 【答案】不共面； 基向量； 垂直； 1 3．正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .像这样，把一个空间向量分解为三个两两⑨_ _ 的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【答案】； 垂直 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 也可以作为基向量.（ ） （2） 空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示.（ ） （3） 如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线.（ ） （4） 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） √ （4） × 2．已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为，，又，，，显然，，三个选项中的向量都与，共面，对于，若 与，共面，则存在，使得，则，这与{，，}是空间的一个基底矛盾，故 能与，构成基底. 3．已知{，，}是空间的一个单位正交基底，，若，则_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】，又， 所以，，， 故. 判断基底的方法 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 二 用基底表示空间向量 ［例1］ （对接教材例1）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量. 【解】 因为 是 的中点，底面 是正方形，所以. 母题探究．在本例中，若只把条件“，，”变为“，，”,再以，，为基向量表示出向量. 解：连接（图略），. 用基底表示空间向量的步骤 ［跟踪训练1］．如图，在三棱柱中，，分别是线段，的中点，设，，.用，，表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】. 三 空间向量基本定理的应用 角度1 证明空间位置关系 ［例2］ （对接教材例2）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点， 平面，且，.求证： （1） 平面； （2） . 【答案】 （1） 【证明】因为， 所以，，共面. 又因为 平面，， 平面， ，所以 平面. （2） 因为 ， 所以，所以. 证明平行、垂直问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明直线平行，进一步证明线面平行. （2）将要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的数量积为0. 角度2 求异面直线所成的角 ［例3］ 在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示， 设，，，则，所以，.由空间向量的基本定理，，，所以， 又 ， . 设异面直线 和 所成的角为 ， 则. 基底法求异面直线所成角的策略 将异面直线所成的角转化为两条直线的方向向量的夹角（或其补角）.再用基向量表示出两方向向量，并借助于向量的运算求出角. 注意 两异面直线所成的角的取值范围为，，要把向量的夹角转化为异面直线所成的角. 角度3 求距离（长度）问题 ［例4］ 在正四面体中，，且，分别为，中点，则的长为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】连接（图略），在正四面体 中，设，，， 则， 则 ， . 求空间距离（长度）问题的步骤 （1）选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示； （2）求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度. ［跟踪训练2］． （1） 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两直线所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则_ _ _ _ _ _ _ _ ；直线与所成角的余弦值为_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，. ① 试用，，表示向量； ② 已知，，且，若，求 的值. 【答案】（1） ； （2） ① 解： . ② 由 可得， 即， 即， 解得. 【解析】 （1） 连接，， ，，故； 因为， 故，故， 则 ， 故直线 与 所成角的余弦值为. 课堂巩固 自测 1．（教材P12 T3改编）在正方体中，为上靠近的四等分点，若，，，以{，，}作为空间的一个基底，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意得，. 2．下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（ ） A. ，，两两垂直 B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由空间任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底可得 正确；若，则 与 共线，此时 与，必然共面，所以无法构成空间基底，错误；与 都表示，，共面，，错误. 3．（教材P15 T7改编）在正三棱柱中，为中点，，则直线与所成角的余弦值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，，， 则，， 由，， 可得， ， 所以直线 与 所成角的余弦值为. 4．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，， . （1） 利用空间向量证明； （2） 求的长. 【答案】 （1） 证明：设，，， 则{，，}构成空间的一个基底， ， ， 所以， 所以，所以. （2） 解：由（1）知， 所以 . 所以. 1.已学习：空间向量基本定理及其应用. 2.须贯通：空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用空间的一个基底来表示，并且这种表示是唯一的，体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：向量的夹角和线线角的范围不同，不要混淆. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若,,是三个非零向量；,,}为空间的一个基底，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】选.空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若,,是三个共面的非零向量，则{,,}不能作为空间的一个基底，不满足充分性；若{,,}为空间的一个基底，则,,不共面，即,,是三个非零向量，满足必要性，所以 是 的必要不充分条件. 2．已知{，，}是空间的一个基底，若，,若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】选，， 因为，所以存在实数 ，使， 所以， 所以 所以 解得 所以. 3．如图所示的三棱锥中，令，，，且，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，，，所以，，所以，所以. 4．在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是（ ） A. 重合 B. 垂直 C. 平行 D. 异面 【答案】B 【解析】选.设，，，则{，，}构成空间的一个基底，，，设正方体的棱长为1，则，故，即 与 垂直.因为 与 都在平面 上，所以 与 共面. 5．在如图所示的斜三棱柱中，，，若，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为， 所以 ， 所以，因为， 所以. 又因为，所以异面直线 与 所成的角即为 且为. 6．（多选）若{,,}是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】选.对于，， 所以，，共面，不能构成基底，不符合题意； 对于，，所以，，共面，不能构成基底，不符合题意； 对于，设，则 无实数解，所以，，不共面，可以构成基底，符合题意； 对于，设，则 无实数解，所以，，不共面，可以构成基底，符合题意. 7．已知{，，}是空间的一个单位正交基底，向量，，，}是空间的另一个基底，用基底{，，}表示向量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设， 依题意，，而{，，}是空间的基底， 则 解得 所以. 8．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，，分别是，的中点，是的中点，若，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】， 所以 解得 所以. 9．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形， 底面， 底面，且，是正方形的中心，若，则_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】因为底面 是边长为1的正方形， 底面，， 底面， 所以，，，设，以，，}为基底, 因为 ， ， 所以，解得，故. 10．（13分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点. （1） 若，求的值；（6分） （2） 求.（7分） 【答案】 （1） 解：连接（图略），由向量的线性运算法则可得， 又因为， 则，，， 所以. （2） 由题意可知,，， 又因为， 所以. B 能力提升 11．如图，在三棱锥中，点为的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题得， 而 ， 所以 ， 又，，，四点共面，则， 所以. 12．（多选）如图，在三棱柱中，为等边三角形，为的重心，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.对于，为等边三角形，为 的重心， 故， 又， 故 ，正确； 对于，， 故 ，故，正确； 对于，， 又， 设，即 无解，故 与 不平行，错误； 对于， ， 故，正确. 13．（13分）如图，三棱柱中，，分别是，上的点，且,.设,,. （1） 试用,,表示向量;（5分） （2） 若 , ,,求的长.（8分） 【答案】 （1） 解： . 又,,, 所以. （2） 因为, 所以. 因为 ,所以. 因为 , 所以, 所以 , 所以,即 的长为. C 素养拓展 14．（15分）如图，在矩形和中，，，，，，，记，，. （1） 将用，，表示出来；（5分） （2） 当 等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值.（10分） 【答案】 （1） 解：由题图知, . （2） 由题意，，，， 由（1）得 ， 所以当 时，有最小值， 即 有最小值，线段 的长度取得最小值. 此时，， ， 故， ， 则 ， 设 与 的夹角为 ， 则，. 学科网（北京）股份有限公司 $