1.1.2 空间向量的数量积运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，从平面向量数量积类比引入，依次探究空间向量夹角、数量积的定义性质运算律及投影向量，进而掌握利用数量积求长度夹角、证垂直的应用，通过探究思考、即时练与例题解析搭建学习支架。 资料以物理“功”导入体现用数学眼光观察现实世界，类比平面到空间培养推理能力（数学思维），结合正四面体等模型训练数学语言表达，分层检测（基础到素养）助课中教学实施与课后学生查漏补缺。

1.1.2 空间向量的数量积运算 新课导入 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功 ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引进了“数量积”的概念，本节课我们学习空间向量的数量积问题. 学习目标 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量的数量积求空间两点间的距离. 新知学习 探究 一 空间向量的夹角 思考．类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念. 提示： 只要把两个空间向量平移到同一起点，就可利用平面向量的方法定义空间向量的夹角. ［知识梳理］ 定义 如图，已知两个非零向量,,在空间任取一点，作，，则①_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做向量,的夹角 记法 , 范围 ②_ _ _ _ , ③_ _ ,当,④_ _ _ _ _ _ 时， 【答案】； ； ； ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 空间向量与的夹角等于空间向量与的夹角.（ ） （2） 对于空间非零向量，，若，则，.（ ） （3） 对于空间非零向量，，，与，相等.（ ） （4） 在正四面体中，与的夹角等于 .（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） × （4） × 2．已知,是空间非零向量，若，则,_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以非零向量,不可能共线，设,,利用平行四边形法则得到， 如图，所以,所以 为等边三角形，得，故， 即,. 3．如图，在长方体中，若，,则向量与的夹角为_ _ _ _ ,与的夹角为_ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】易知，而，,所以，即.因为，所以 与 的夹角为；因为 平面， 平面,所以，所以 与 的夹角为. 对两个空间向量夹角的理解 （1）两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为 .故，或,，为非零向量； ，，，. 二 空间向量的数量积 思考1．回忆平面向量数量积的定义. 提示：已知两个非零向量 和,它们的夹角为 ,则数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作，即 . 思考2．类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质与运算律. 提示：通过空间向量数量积可以求向量间的位置关系、向量的模、向量的夹角，并且数量积的运算也满足交换律、分配律. ［知识梳理］ 1．数量积的定义 已知两个非零向量,,则,叫做,的数量积,记作①_ _ _ _ _ _ .即②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ， 2．数量积的性质,是非零向量 向量数量积的性质 垂直 ③_ _ _ _ _ _ _ _ 共线 同向： 反向： 模 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；； 夹角 为,的夹角,则 【答案】； , 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 交换律 ⑥_ _ _ _ _ _ 分配律 【答案】； 4.投影向量 类别 作法 图形表示 符号表示 向量在向量上的投影向量 将向量,（直线）平移到同一个平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量（直线的方向向量）共线的向量 , 向量在直线上的投影向量 向量在平面上的投影向量 分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量 ［例1］ （1） 在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（ ） A. B. C. D. （2） 如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点.则向量在直线上的投影向量为_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） ；1 【解析】 （1） 如图所示， 由正四面体的性质可得，， 由 是棱 中点， 得 . （2） 在正方体 中，，且，因此 即为 在直线 上的投影向量，所以. （1）求空间向量数量积的步骤 ①将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积形式； ③代入,求解. （2）空间向量数量积的几何意义 数量积等于向量在向量上的投影向量与向量的数量积，即. ［跟踪训练1］． （1） 在正三棱柱中，，,则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （2） 在四棱锥中，四边形为正方形，，且 底面，则向量在平面上的投影向量是_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） ； 【解析】 （1） 选.根据题意得 ， 所以，等边三角形 中，，因此. （2） 如图， 因为 底面，所以向量 在平面 上的投影向量是. 方法一：因为 底面，所以， 因为四边形 为正方形，，所以， 所以 . 方法二：,又 在 上的投影向量为，所以，即. 三 空间向量数量积的应用 角度1 求长度 ［例2］ （对接教材例2）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，.设，，. （1） 用，，表示； （2） 求的长度. 【答案】 （1） 【解】因为,，且. 所以. （2） 由（1）知. 根据向量运算法则. 因为底面 为正方形，， 所以，. 又，所以. 由于， 所以，. 而，所以. 则. 根据向量的模长公式得. 利用向量的数量积求两点间的距离的思路 先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式求解即可. 角度2 求夹角 ［例3］ 如图，在正方体中，点满足，则,_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设正方体棱长为3，，,则,，,故，. 母题探究．在本例中，异面直线与所成的角 的余弦值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为异面直线 与直线 所成的角,，所以,. 利用数量积求夹角或余弦值的步骤 注意 求两向量的夹角，必须特别关注两向量的方向，应用向量夹角定义确定夹角的大小. 角度3 证垂直 ［例4］ （对接教材例3）如图，是平面 的斜线，为斜足， ，为垂足， ，且.求证：. 【证明】 因为，所以，因为 ， ，所以，.又，所以，故. 用向量法证明垂直关系的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题. ［跟踪训练2］． （1） 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. （2） 已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. ① 用,,表示，并求出； ② 求证：. 【答案】（1） D （2） ① 解：因为点 是 的重心， 所以. 因为点 是线段 的中点， 所以 . 因为正四面体 的棱长为2，所以, 所以, 所以. ② 证明： , 所以. 【解析】 （1） 选.设 与 的夹角为 ，由，得，两边同时平方得，即，解得，又 ，所以 . 课堂巩固 自测 1．已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】选.由题意，，，，,, 所以. 2．在空间四边形中，，，则向量,的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.如图所示， 因为，又，，则，所以，所以，. 3．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.对于，向量不能作除法，错误； 对于，，正确； 对于，,,,错误； 对于，，正确. 4．在三棱锥中，， ， ，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图， 因为， ， ，则. 5．（教材P9练习T4改编）如图，已知线段，在平面 内，, ，且，,,则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一：由于 ，, ，所以,,又,所以，，.因为,所以，所以. 方法二：连接（图略），在 中，由勾股定理得.因为 , ,所以，在 中，由勾股定理得. 1.已学习：空间向量的夹角、投影向量、空间向量数量积的性质及运算律. 2.须贯通：利用空间向量的数量积求向量的夹角与模，体现了化归转化的思想方法. 3.应注意：（1）当空间向量,的夹角 为锐角时，;但当时， 不一定为锐角，因为 也可能为0； （2）当时，由可得或. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知，是异面直线，，，分别为直线，上的单位向量，且，，，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】选.由题意得，，则，因为，所以，即，所以，所以，解得. 2．在四面体中，， ,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题知，， ,所以，解得,又 ,所以 . 3．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合,,2,3, ,中的元素个数是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】选.方法一：由题图可知，，则，因为正方体棱长为1，，所以，，故集合，,2,3, ,中的元素个数为1. 方法二：由向量数量积的几何意义知，,同理知，所以所求集合中的元素个数是1. 4．如图，在平行四边形中，， ,沿着它的对角线将折起，当二面角的大小是 时，则,两点间的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】选.根据垂直关系，与 的夹角，即为二面角 的平面角，且，，，， 所以 . 5．在正三棱锥中，是的中心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选. 在正三棱锥 中，为 的中心，，，因为 平面，而， 平面，于是，，且在 中，，所以. 6．（多选）已知正方体的中心为，，则满足的可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选. 由，正方体如图所示，根据向量数量积的几何意义有，，，,综上，满足 的 可以是,. 7．已知点在以为直径的球面上，若，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一：由点 在以 为直径的球面上，得，所以，所以. 方法二：由题意得，因为 在 上的投影向量为，所以,即. 8．已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为 .若，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，，的模均为1，它们之间的夹角均为 ，所以，.又,所以,即,解得 或. 9．正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，若，则_ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图, 由题意,，且, ，,,则，，又，即，所以，即，解得，即. 10．（13分）已知不共面的三个单位向量,,两两之间的夹角均为 ,，. （1） 求证：；（6分） （2） 求,.（7分） 【答案】（1） 证明：因为，所以，所以，即. （2） 解：因为，， . 所以，. 所以,. B 能力提升 11．（多选）在正方体中，下列结论正确是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 正方体的体积为 【答案】ABC 【解析】选.设正方体的棱长为， 对于，t，正确； 对于， ，正确； 对于，由于 是等边三角形，所以 与 的夹角为 ，正确； 对于，，所以 错误. 12．如图所示，已知 平面， ，，则向量在向量上的投影向量是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】在 中，由余弦定理得，，而 平面，，故，，在 中，， 即， 得,所以,,故向量 在向量 上的投影向量是. 13．（13分）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. （1） 试用向量，，，表示向量；（5分） （2） 若，， ，求的值.（8分） 【答案】 （1） 解： . （2） ， ， . 14．（15分）如图，正三棱柱中，底面边长为. （1） 设侧棱长为1，求证：；（7分） （2） 设与的夹角为，求侧棱的长.（8分） 【答案】 （1） 证明：由已知得，，因为 平面，, 平面, 所以，， 又因为 是正三角形，所以,,, 所以，， 所以，即. （2） 解：由（1）得,，又， ， 所以，，解得或0（舍去），所以侧棱长为2. C 素养拓展 15．如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段与线段所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，.使用线拐子时使丝线从点出发，依次经过，，，又回到点.这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”.若图中，则丝线缠一圈的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意可知，，，所以，因为，所以，所以，同理可得，，，所以丝线缠一圈的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $