考点40：等差数列讲义-2026届高三数学一轮复习

考点40：等差数列 一、复习目标 1.知识目标：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。 2.能力目标：了能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并解决相应的问题。 3.素养目标：数学运算、逻辑推理、数学抽象. 二、知识梳理 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，__叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝______． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__________________． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f (x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d.若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n可以看成二次函数f (x)＝x2＋x当x＝n时的函数值，常数项为0. [常用结论] 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，且公差为m2d． (4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. (5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd，＝. (6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝. (7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝． 三、通法演练 考点一　等差数列基本量的运算 [典例1]　(1)　(1)(2024·北京通州区调研)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(　　) A．5n－16 B．5n－11 C．3n－8 D．3n－5 (2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 跟进训练1：（1）已知等差数列{an}中，a5＝10，a9＝20，则a1＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．5 （2）(2023·甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25　　B．22　　C．20　　D．15 考点二　等差数列的判定与证明 [典例2]　(2025·台州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝． (1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式． 跟进训练2：已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n． (1)求a2，a3；(2)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式． 考点三　等差数列性质的应用 　等差数列项的性质 [典例3]　（1）在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，则a6＋a7＋a8的值是________． （2）(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2 B． C．1 D． 跟进训练3：(1)已知等差数列满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则a4－3a6的值为(　　) A．－6 　B．6 C．－12 　 D．12 (2)(2024年1月九省联考卷)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　) A．120　 B．140 C．160　 D．180 　等差数列前n项和的性质 [典例4]　(1)(2023·广东深圳二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝10，则S30＝(　　) A．0 　 B．－10 C．－30 　 D．－40 (2)有两个等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn. ①若 ＝ ，则＝________；②若 ＝ ，则＝________． 跟进训练4：(1)(2025·济南市济钢中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝(　　) A．110 B．150 C．210 D．280 （2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若 ＝，则＝(　　) A． B． C． D． （3）已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________． 考点四　等差数列的前n项和及其最值 [典例5]　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值. 跟进训练5：(1)(2024·南平市建阳区一模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－21，S7＝S15，则Sn的最小值为(　　) A．－99 B．－100 C．－110 D．－121 (2)(2025·佛山市南海区模拟)在数列{an}中，a1＝20，对任意正整数n，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　) A．77 B．76 C．75 D．74 四、巩固诊断 A组 基础达标 1．(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　) A．　　B．　C．2　　D．－ 2．(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　) A．35 　B．42 C．49 　 D．63 3．(2024·沈阳市浑南区期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝4，则S13＝(　　) A．44 B．48 C．52 D．56 4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________． B组 能力提升 5．(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________． 6．(人教A版选择性必修第二册P23练习T5改编)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________． 7.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且 ＝ ，则 ＝________． 8．(2025·深圳模拟)记Sn为数列{an}的前n项和． (1)若{an}为等差数列，满足3S5＝5S3＋15，求公差d； (2)已知an＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $