专题 5.3 二元一次方程组的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦一元一次方程的应用核心知识点，系统梳理和差倍分、行程、销售等10类实际问题，通过“设列解验答”步骤解析、例题变式训练及小结归纳等量关系，构建从方程解法到实际应用的学习支架。 资料特色在于融合生活场景（如营养餐配置、租车方案）与数学文化（如《孙子算经》古题），培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过分层练习（基础16题+提升16题）助力课中教学与课后查漏，发展运算能力与推理意识，体现数学语言表达实际问题的应用价值。

专题 5.3 一元一次方程的应用 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 2 【题型1】和差倍分问题 2 【题型2】分配问题 3 【小结归纳】 4 【题型3】行程问题 4 【小结归纳】 4 【题型4】销售问题 4 【小结归纳】 5 【题型5】古代问题 5 【题型6】工程问题 6 【小结归纳】 7 【题型7】方案问题 7 【小结归纳】 8 【题型8】数字问题 8 【小结归纳】 9 【题型9】几何问题 9 【小结归纳】 10 【题型10】 图表问题 10 【小结归纳】 11 二．同步练习​ 11 【★基础巩固（16题）】 11 【★★能力提升（16题）】 14 一．知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【要点提示】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【题型1】和差倍分问题 【★例题1】（北师大版八上120页开篇应用题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【★变式1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）甲、乙两支篮球队进行比赛，赛前两队的积分都不到50分．本场比赛的胜者将加分，负者则减同样的分．若甲队胜，则甲队的积分是乙队的4倍；若乙队胜，则甲队的积分是乙队的3倍．那么，赛前甲队、乙队的积分各是多少分?（注：两队赛前、赛后的积分都是整数） 【★★变式2】（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 和差倍分问题的等量关系核心可概括为四类，常组合出题： 和：多个量相加等于总量（鸡兔总头数=鸡数+兔数）； 差：两量相减得差值（如大数 - 小数 = 固定差，比如年龄差等等）； 倍：一量是另一量的倍（兔脚数 =兔兔数 ×4）； 分：一量是另一量的几分之几或比例问题（如男女生人数比 2:3得出男生数 = 女生数。 解题关键：先抓 “和与差” 显性关系，再找 “倍分” 隐性关系。 【题型2】分配问题 【★例题2】（北师大版八上122页例题2改编）（25-26八年级上·全国·随堂练习）医院用甲、乙两种食物为手术后的病人配置营养餐，两种食物中的蛋白质和铁质含量如下表： 食物 蛋白质含量 铁质含量 甲 0.8单位/克 1单位/克 乙 0.7单位/克 0.4单位/克 如果病人每餐需要190单位的蛋白质和180单位的铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？设甲种食物需x克，乙种食物需y克，则根据题意可列方程组为 ． 【★变式1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． （1）应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； （2）为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【★★变式2】（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有32吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，且恰好一次运完．请求出所有租车方案． （3）在（2）的条件下，若A型车每辆需租金80元/辆，B型车每辆需租金100元/辆，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【小结归纳】 总量不变：各调配对象总和 = 该类成分数量的总需求（如甲原料蛋白量 + 乙原料蛋白量 = 总蛋白需求）； 【题型3】行程问题 【★例题3】（北师大版八上122页例题2改编）（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【★变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 【★变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 【小结归纳】 数量关系：路程=速度×时间 . 常见的等量关系： （1）相遇问题：路程和=总距离；（2）追及问题：路程差=初始距离； （3）顺逆水航行问题：顺速航行=船速+水速，逆速航行=船速-水速. 【题型4】销售问题 【★例题4】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 （1）求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ （2）若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 【★变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． （1）求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 【★变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元． （1）求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价； （2）该航天模型商店计划购进两种模型各100个，若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，销售完这批模型的利润是多少元？ 【小结归纳】 常见等量关系：获利=售价-进价； ； 利润率=利润/进价×100% ； 售价=标价×折扣； 亏损=进价-售价. 【题型5】古代问题 【★例题5】（北师大版八上126页习题5.3数学理解第6题改编）（北师大版八上126页习题5.3数学理解第9题改编）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？ 【★变式1】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共三卷，卷上叙述了算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，卷下对后世的影响最深，其中卷下记载这样一道经典的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看，有35个头；从下面看，有94只脚，问笼中各有多少只鸡和多少只兔． 【★★变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫，每尺绢各值多少分？（注：1钱=10分） 【★★变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）古代数学文化  《九章算术》中的“玉石问题”：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何（斤、两是古代的质量单位，这里1斤6两；寸是古代的长度单位）．意思是1立方寸玉重7两，1立方寸石料重6两．现有一块形状为正方体的石头，里面含有玉，棱长是3寸，质量是11斤．请问这块石头中玉和石料各重多少？ 【小结归纳】古代问题常见于以下类型： 鸡兔同笼：鸡数 + 兔数 = 总头数；鸡数 ×2 + 兔数 ×4 = 总脚数； 盈不足问题：两种分配方式下，物资总量相等（如人数 × 每份数 + 盈数 = 人数 × 另一份数 - 不足数）； 工程类古代题：甲工效 × 时间 + 乙工效 × 时间 = 总工作量（常设总工作量为 1）； 银两或谷物分配古代题：各部分数量和 = 总量，或某量 = 另一量 × 倍数 ± 差值。 【题型6】工程问题 【★例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【★变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； （2）从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 【★变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【小结归纳】 这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量人均效率×人数×时间”的关系考虑问题，比如：甲工作量+乙工作量=1；已经完成工作量+未完成工作量=1等等建立等量关系。 【题型7】方案问题 【★例题7】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． （1）若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） （2）为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【★变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米． （1）一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） （2）某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． （3）在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由． 【★变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． （1）请问A，B两种客车分别可坐多少人？ （2）已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【小结归纳】 总量不变：不同方案下，物资或金额或人数总量保持不变（如总运费、总材料费、总人数 = 固定值）； 不同方案的同类数量关系：不同方案的同类量满足和差倍关系（如方案 A 费用 = 方案 B 费用 ± 差值、方案 1 用量 = 方案 2 用量 × 倍数）。 【题型8】数字问题 【★例题8】（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． （1）原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） （2）根据题意，求原来的两位数． 【★变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 【★变式2】（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【小结归纳】 常见的等量关系：（1）两位数 十位数字个位数字；（2）新数（数字调换）-原数=差值. 【题型9】几何问题 【★例题9】（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，有一段的铁丝，小明将它剪成两段，两段长分别为和，然后将两段分别弯成边长为和的正方形（接口部分忽略不计），现知这两个正方形的面积相差． （1）求的值； （2）求，的值． 【★变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 【★变式2】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） （1）求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； （2）求图中阴影部分的面积． 【小结归纳】 变化后图形的边长 = 原边长 ± 变化量；变化后周长或面积 = 原周长或面积±变化量。 【题型10】 图表问题 【★例题10】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 【★变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 （1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ （2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【★变式2】（2025·湖北武汉·三模）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． （1）完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ （2）这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ （3）已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【小结归纳】 利用表格中的数量并找到等量关系隐性等量关系即可。 二．同步练习​ 【★基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东汕头·开学考试）一种糖果有大、小两种规格的包装纸箱．大纸箱能装20包糖果，小纸箱能装12包糖果．现在共有136包糖果，用了8个纸箱刚好装完．其中小纸箱用了（   ）个． A．8 B．5 C．4 D．3 2．（24-25九年级下·贵州六盘水·月考）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 3．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元．则一束康乃馨和一束百合花的成本价分别是（    ）元． A．10元，6元 B．6元，10元 C．11元，5元 D．5元，11元 4．（2025·湖南·三模）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）据统计，茶树因病、虫、草害，每年损失大量茶叶，并导致茶叶的品质下降，故刘爷爷将一瓶含量为的农药溶液和另一瓶含量为的农药溶液混合，得到含量为的农药溶液，则含量为和含量为的农药溶液各有（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）现要在一块长方形草坪中规划出3块大小，形状完全相同的小长方形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，则种植鲜花区域的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为 ． 8．（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 9．（25-26七年级上·四川乐山·开学考试）小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为 ． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）小丹准备购进两种类型的便携式风扇出售．已知2台型风扇和1台型风扇进价共36元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元，则型风扇进货的单价是 元，型风扇进货的单价是 元． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 元． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 14．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 15．（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． （1）求A，B两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 16．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 （1）求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． （2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【★★能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长米，火车的速度米秒，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 4．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 5．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 6．（2025八年级·全国·竞赛）《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（   ） A．25 B．26 C．27 D．31 二、填空题 7．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有 种． 8．（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 9．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元． 11．（2026九年级·河北·专题练习）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为 个． 12．（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则 ， ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 14．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． （1）应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； （2）为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 15．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． （1）求某班同学一共带去了多少件礼品？ （2）该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （3）在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 16．（23-24七年级下·全国·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． （1）求的值； （2）6月份小王家用水，应交水费多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 一元一次方程的应用 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 2 【题型1】和差倍分问题 2 【题型2】分配问题 4 【小结归纳】 6 【题型3】行程问题 6 【小结归纳】 8 【题型4】销售问题 8 【小结归纳】 11 【题型5】古代问题 11 【题型6】工程问题 13 【小结归纳】 15 【题型7】方案问题 15 【小结归纳】 18 【题型8】数字问题 18 【小结归纳】 20 【题型9】几何问题 20 【小结归纳】 22 【题型10】 图表问题 22 【小结归纳】 26 二．同步练习​ 26 【★基础巩固（16题）】 26 【★★能力提升（16题）】 35 一．知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点：运用方程解决实际问题的一般过程是: 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【要点提示】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【题型1】和差倍分问题 【★例题1】（北师大版八上120页开篇应用题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【答案】小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，根据题意列出相应的方程组求解即可． 解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页， 由题意，得 解得． 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页． 【★变式1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）甲、乙两支篮球队进行比赛，赛前两队的积分都不到50分．本场比赛的胜者将加分，负者则减同样的分．若甲队胜，则甲队的积分是乙队的4倍；若乙队胜，则甲队的积分是乙队的3倍．那么，赛前甲队、乙队的积分各是多少分?（注：两队赛前、赛后的积分都是整数） 【答案】甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分 【分析】本题考查球赛积分表问题，设甲队赛前积分为x分，乙队赛前积分为y分，每场比赛加分或减分为n分，根据题意列方程，求出，，根据积分都不到50分，得到的值解答即可． 解：设甲队赛前积分为x分，乙队赛前积分为y分，每场比赛加分或减分为n分， 则①且②， ①+②得：， 把代入①得， ∵甲、乙两队的积分都不到50分， ∴， 这时甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分， 答：甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分． 【★★变式2】（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【答案】该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩，根据题中关系列出二元一次方程组即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 解：设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩， 根据题意，得， 解得． 答：该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩． 和差倍分问题的等量关系核心可概括为四类，常组合出题： 和：多个量相加等于总量（鸡兔总头数=鸡数+兔数）； 差：两量相减得差值（如大数 - 小数 = 固定差，比如年龄差等等）； 倍：一量是另一量的倍（兔脚数 =兔兔数 ×4）； 分：一量是另一量的几分之几或比例问题（如男女生人数比 2:3得出男生数 = 女生数。 解题关键：先抓 “和与差” 显性关系，再找 “倍分” 隐性关系。 【题型2】分配问题 【★例题2】（北师大版八上122页例题2改编）（25-26八年级上·全国·随堂练习）医院用甲、乙两种食物为手术后的病人配置营养餐，两种食物中的蛋白质和铁质含量如下表： 食物 蛋白质含量 铁质含量 甲 0.8单位/克 1单位/克 乙 0.7单位/克 0.4单位/克 如果病人每餐需要190单位的蛋白质和180单位的铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？设甲种食物需x克，乙种食物需y克，则根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 本题中可将等量关系列为每餐中甲含的蛋白质的量+乙含的蛋白质的量，每餐中甲含的铁质的量+乙含的铁质的量，由此列出方程组求解． 解：设甲种食物需x克，乙种食物需y克， 由题意得：， 故答案为：． 【★变式1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． （1）应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； （2）为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】（1）生产镜架10人，生产镜片12人；（2）6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 解：（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 【★★变式2】（20-21七年级下·广西桂林·阶段练习）已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有32吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，且恰好一次运完．请求出所有租车方案． （3）在（2）的条件下，若A型车每辆需租金80元/辆，B型车每辆需租金100元/辆，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨；（2）该物流公司共有2种租车方案：方案1：租4辆A型车，4辆B型车；方案2：租9辆A型车，1辆B型车；（3）租4辆A型车，4辆B型车最少，最少租车费为720元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及列式计算． （1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的车辆可一次运载货物32吨且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各租车方案； （3）根据题意列式计算即可． 解：（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 依题意得：， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨． （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案： 方案1：租4辆A型车，4辆B型车； 方案2：租9辆A型车，1辆B型车． （3）解：方案1：租4辆A型车，4辆B型车； 费用为：（元）， 方案2：租9辆A型车，1辆B型车； 费用为：（元）， 答：租4辆A型车，4辆B型车最少，最小费用为元． 【小结归纳】 总量不变：各调配对象总和 = 该类成分数量的总需求（如甲原料蛋白量 + 乙原料蛋白量 = 总蛋白需求）； 【题型3】行程问题 【★例题3】（北师大版八上122页例题2改编）（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 【★变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 【答案】船在静水中的速度是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，根据路程等于速度乘以时间，列出方程组进行求解即可． 解：设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，由题意，得： ，解得； 答：船在静水中的航速是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时． 【★变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是，根据如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇，可列出方程；根据如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红，可列出方程；组成二元一次方程组，解方程组即可． 解：设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是， 由题意，得 解得 答：小红的平均速度是，姐姐的平均速度是． 【小结归纳】 数量关系：路程=速度×时间 . 常见的等量关系： （1）相遇问题：路程和=总距离；（2）追及问题：路程差=初始距离； （3）顺逆水航行问题：顺速航行=船速+水速，逆速航行=船速-水速. 【题型4】销售问题 【★例题4】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 （1）求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ （2）若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 【答案】（1）该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子；（2）他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚40元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． （1）设批发黄瓜，茄子，根据黄瓜和茄子共，共花了90元，列出二元一次方程组计算求解； （2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 解：（1）解：设批发黄瓜，茄子． 根据题意得方程组， 解得， 答：该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子； （2）解： （元） 答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚40元钱． 【★变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． （1）求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 【答案】（1）每本笔记本30元，每支钢笔40元；（2）总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质的应用，根据题意找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元，根据每笔花费为等量关系列二元一方程组进行求解； （2）先列出函数关系式，再根据一次函数的性质回答即可． 解：（1）解：设每本笔记本m元，每支钢笔n元， 买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元； ， 解得， 每本笔记本30元，每支钢笔40元； （2）根据题意得：， ， 随a的增大而减小， 而， 当时，w取最小值，最小值为， 总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元． 【★变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元． （1）求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价； （2）该航天模型商店计划购进两种模型各100个，若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，销售完这批模型的利润是多少元？ 【答案】（1）“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元；（2）销售完这批模型的利润是4300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．因为购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元，然后列式计算，即可作答． （2）根据总售价-总成本=总利润即可作答． 解：（1）解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 由题意得， 解得， 答：“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元． （2）解：（元）． 答：销售完这批模型的利润是4300元． 【小结归纳】 常见等量关系：获利=售价-进价； ； 利润率=利润/进价×100% ； 售价=标价×折扣； 亏损=进价-售价. 【题型5】古代问题 【★例题5】（北师大版八上126页习题5.3数学理解第6题改编）（北师大版八上126页习题5.3数学理解第9题改编）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带钱，乙带钱25． 【分析】设甲带钱x，乙带钱y，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．”列方程组求解即可． 解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意， 得， ①×2得：③， ③-②得：， 把代入③得， ∴． 【点拨】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键． 【★变式1】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共三卷，卷上叙述了算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，卷下对后世的影响最深，其中卷下记载这样一道经典的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看，有35个头；从下面看，有94只脚，问笼中各有多少只鸡和多少只兔． 【答案】有鸡23只，兔12只. 【分析】本题可设鸡有x只，兔有y只，因“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．”，所以有解之得鸡的只数，兔的只数． 解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意得 有 解之，得 即有鸡23只，兔12只． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．注意：每只兔子有4只足，每只鸡有2只足．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 【★★变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫，每尺绢各值多少分？（注：1钱=10分） 【答案】每尺绫值8分，每尺绢值6分 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列出方程组是解题的关键． 根据题意列出方程组并求解即可． 解：设1尺绫值分，1尺绢值分， 得：， 解得：， ∴每尺绫值8分，每尺绢值6分． 答：每尺绫值8分，每尺绢值6分． 【★★变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）古代数学文化  《九章算术》中的“玉石问题”：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何（斤、两是古代的质量单位，这里1斤6两；寸是古代的长度单位）．意思是1立方寸玉重7两，1立方寸石料重6两．现有一块形状为正方体的石头，里面含有玉，棱长是3寸，质量是11斤．请问这块石头中玉和石料各重多少？ 【答案】玉的质量为98两，石料的质量为78两 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据石头的总重及体积，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 解：设玉的质量为两，石料的质量为两． 根据题意，得 解得 答：玉的质量为98两，石料的质量为78两． 【小结归纳】古代问题常见于以下类型： 鸡兔同笼：鸡数 + 兔数 = 总头数；鸡数 ×2 + 兔数 ×4 = 总脚数； 盈不足问题：两种分配方式下，物资总量相等（如人数 × 每份数 + 盈数 = 人数 × 另一份数 - 不足数）； 工程类古代题：甲工效 × 时间 + 乙工效 × 时间 = 总工作量（常设总工作量为 1）； 银两或谷物分配古代题：各部分数量和 = 总量，或某量 = 另一量 × 倍数 ± 差值。 【题型6】工程问题 【★例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【答案】385个 【分析】设甲原来每天做个，乙原来每天做个，根据甲工作效率提高之前和之后完成任务的两个等量关系列方程组即可． 解：解:设甲原来每天做个，乙原来每天做个，则原来任务数是个，根据题意，得 ： 解这个方程组得： （个） 答：原计划一共加工385个零件． 【点拨】本题考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是从题中找出两个等量关系，再设未知数列方程组即可解题． 【★变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； （2）从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 【答案】（1）A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度；（2）A工程队整治河道工程队整治河道 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 解：（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 【★变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【小结归纳】 这类问题中常常把总工作量看作1,并利用“工作量人均效率×人数×时间”的关系考虑问题，比如：甲工作量+乙工作量=1；已经完成工作量+未完成工作量=1等等建立等量关系。 【题型7】方案问题 【★例题7】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． （1）若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） （2）为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹；（2）有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个 【分析】（）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 解：（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得，， 解得， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴或或， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 【★变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米． （1）一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） （2）某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． （3）在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由． 【答案】（1）A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米；（2）；（3）购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，一次函数基本性质，列代数式，解决最值问题，解题的关键是理解题意，列出等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据清洁方式列出二元一次方程组求解即可； （2）设型机器人有台，型机器人有台，根据工作效率列出方程，然后用含的代数式表示即可； （3）根据题意列出一次函数，利用一次函数性质求解即可． 解：（1）解：设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据题意得， 解得 ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； （2）解：设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得， 整理得； （3）解：由（2）得，设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得， ， ∴当取最小值时，的值最小， 又∵取正整数， ∴当时，，的值最小为（万元）， ∴购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元． 【★变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． （1）请问A，B两种客车分别可坐多少人？ （2）已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？ 【答案】（1）种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人；（2）见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设种客车可坐人，种客车可坐人，根据“3 辆客车和1辆客车可以坐 220 人， 2 辆客车和 3 辆客车坐的人数一样多”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆种客车，辆种客车，根据租用的客车恰好坐下300人，可列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案． 解：（1）解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐 60 人，种客车可坐 40 人； （2）解：设租用辆种客车，辆种客车， 根据题意，得， ， 又 ∵均为非负整数， 或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用1辆种客车，6辆种客车； 方案2：租用3辆种客车，3辆种客车； 方案3：租用5辆种客车，0辆种客车． 【小结归纳】 总量不变：不同方案下，物资或金额或人数总量保持不变（如总运费、总材料费、总人数 = 固定值）； 不同方案的同类数量关系：不同方案的同类量满足和差倍关系（如方案 A 费用 = 方案 B 费用 ± 差值、方案 1 用量 = 方案 2 用量 × 倍数）。 【题型8】数字问题 【★例题8】（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． （1）原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） （2）根据题意，求原来的两位数． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 解：（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 【★变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 【答案】648 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，根据算盘可知这个三位数的百位数字为6，则这个三位数为，十位数字与个位数字互换后的三位数为，再根据新的三位数比原三位数大36，个位数字是十位数字的2倍建立方程组求解即可． 解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b， 由题意得，， 解得， 答：这个三位数为648． 【★变式2】（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 【小结归纳】 常见的等量关系：（1）两位数 十位数字个位数字；（2）新数（数字调换）-原数=差值. 【题型9】几何问题 【★例题9】（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，有一段的铁丝，小明将它剪成两段，两段长分别为和，然后将两段分别弯成边长为和的正方形（接口部分忽略不计），现知这两个正方形的面积相差． （1）求的值； （2）求，的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，，，从而求出，又，则有，从而求得； （）由（）得，，，，，联立方程组，然后求出，最后代入即可求解． 解：（1）解：由题意得，，，， ∴， ∵这两个正方形的面积相差， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得，，，，， 联立得， 解得：， ∴，． 【★变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，结合图形列出方程是解题的关键． 设每块地砖的长与宽分别为，，根据图形列出方程计算即可； 解：设每块地砖的长与宽分别为，， 由题意：， 解得：； 答：每块地砖的长与宽分别为，． 【★变式2】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） （1）求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）小长方形的长为10，宽为3；（2）82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 解：（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 【小结归纳】 变化后图形的边长 = 原边长 ± 变化量；变化后周长或面积 = 原周长或面积±变化量。 【题型10】 图表问题 【★例题10】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 【答案】见分析 【分析】通过设未知数表示文艺、科技小组每次活动时间，利用七、八年级数据列方程组求出每次活动时间，再设九年级活动次数，根据总时间列方程，结合正整数解确定次数． 本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握通过设未知数建立方程（组）求解实际问题是解题的关键． 解：设文艺小组每次活动时间为小时，科技小组每次活动时间为小时．则 ， 解得， 设九年级文艺小组活动次，科技小组活动次． 由题意得，， ∴， ∵、为正整数， ∴，． ∴填表如下： 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 【★变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 （1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ （2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】（1）正常收费标准为2元，超过部分4元；（2）不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 解：（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 【★变式2】（2025·湖北武汉·三模）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． （1）完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ （2）这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ （3）已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【答案】（1）；；（2）500吨；（3）790500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费； （2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用这批产品的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出w的值． 解：（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨•），铁路的运价为1.0元/（吨•），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨， ∴从A地到工厂的铁路运费为（元），从工厂到B地的公路运费为（元）． 故答案为：；． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：这批原料有500吨． （3）解：根据题意得： ． 答：w的值为790500元． 【小结归纳】 利用表格中的数量并找到等量关系隐性等量关系即可。 二．同步练习​ 【★基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东汕头·开学考试）一种糖果有大、小两种规格的包装纸箱．大纸箱能装20包糖果，小纸箱能装12包糖果．现在共有136包糖果，用了8个纸箱刚好装完．其中小纸箱用了（   ）个． A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】这道题主要考查了鸡兔同笼问题的相关知识点，运用了假设法来解决实际的数量分配问题，掌握这种方法是解题的关键． 通过先假设全部使用大纸箱，计算出与实际包装数量的差值，再根据大、小纸箱装货量的差异，求出小纸箱的数量． 解：假设全用大纸箱：8个大纸箱能装（包）， 多装的数量：（包）， 小纸箱个数：每个大纸箱比小纸箱多装 （包）， 所以小纸箱有（个）． 故选：D． 2．（24-25九年级下·贵州六盘水·月考）“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元．则一束康乃馨和一束百合花的成本价分别是（    ）元． A．10元，6元 B．6元，10元 C．11元，5元 D．5元，11元 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一束康乃馨成本为x元，一束百合花成本为y元，根据“按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元”列出方程组即可求解，读懂题意列出方程或函数解析式是解题的关键． 解：设一束康乃馨成本为x元，一束百合花成本为y元， 由题意可得：， 解得：， 答：一束康乃馨成本为6元，一束百合花成本为10元． 故选：B． 4．（2025·湖南·三模）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系并列出方程组是关键；根据等量关系：每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，列出方程组即可． 解：由题意共有x只小舟，y人， 则得方程组， 故选：A． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）据统计，茶树因病、虫、草害，每年损失大量茶叶，并导致茶叶的品质下降，故刘爷爷将一瓶含量为的农药溶液和另一瓶含量为的农药溶液混合，得到含量为的农药溶液，则含量为和含量为的农药溶液各有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据溶液混合问题中的等量关系列出方程组是解题的关键．通过设两种农药溶液的体积，根据溶液总体积和溶质总量的关系列出方程组，进而求解． 解：设含量为的农药溶液有，含量为的农药溶液有，根据题意，得 解得 所以含量为的农药溶液有，含量为的农药溶液有． 故选： 6．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）现要在一块长方形草坪中规划出3块大小，形状完全相同的小长方形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，则种植鲜花区域的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形草坪的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 解：设小长方形的长为米，宽为米，则 ， 解得：． ∴种植鲜花区域的面积为：． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据A，B两地路程不变列方程求解即可． 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： ， 解得：，即， 故答案为：． 8．（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 【答案】5和7/7或5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 9．（25-26七年级上·四川乐山·开学考试）小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 【答案】25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据二者年龄间的关系，列出关于的二元一次方程组是解题的关键． 设老师今年岁，学生今年岁，根据二者年龄间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设老师今年岁，学生今年岁， 根据题意得：， 解得：． 则老师的年龄为25岁， 故答案为：25． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）小丹准备购进两种类型的便携式风扇出售．已知2台型风扇和1台型风扇进价共36元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元，则型风扇进货的单价是 元，型风扇进货的单价是 元． 【答案】 10 16 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，明确题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 根据题干信息，设、型风扇的进货的单价分别为、元，根据等量关系列二元一次方程组解答即可． 解：设型风扇的进货单价为元，型风扇的进货单价为元， 由题意，得： 解得： 故型风扇的进货单价为元，型风扇的进货单价为元． 故答案为：①10；②16． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 元． 【答案】18 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意直接列出二元一次方程组，再整理得到的值，即可解题． 解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元， 由图知，， 由①②得：， 整理得：， 第三束气球的价格为元． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】甲、乙两地相距千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km，利用时间路程速度，结合往返两地所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 解：设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两地相距千米． 14．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【答案】原计划甲工厂每天加工，乙工厂每天加工． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件将二元一次方程列出并求解是解决本题的关键． 先设出甲乙加工的千克数，根据甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成可列第一个方程，再由已知条件可列第二个方程，根据二元一次方程组的求法求解即可． 解：设甲工厂原计划每天加工，乙工厂原计划每天施工， 因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成， 所以， 又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了， 所以， 即，解得：， 答：原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工． 15．（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． （1）求A，B两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）元；元；（2）A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题（二元一次方程组的应用），最大利润问题（一次函数的实际应用），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 解：（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 16．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 （1）求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． （2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【答案】（1）每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元；（2）6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程； （1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可． 解：（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 【★★能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长米，火车的速度米秒，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 设火车长米，火车的速度米秒，根据题意列出二元一次方程组即可． 解：设火车长米，火车的速度米秒， 根据题意得，． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：∵将个数填入幻方的空格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为：或， 最右下角的数为：或， 依题意得：， 解得：， ∴与的和为， 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，解题关键是利用等量关系列出方程组． 分别设出甲、乙两队分配人数，利用等量关系列出二元一次方程组，并解出答案． 解：设甲队分到x人，乙队分到y人．依题意得， 解得：． 即甲队分到28人，乙队分到62人． 故选A． 5．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分，根据王林得23分和李华得19分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求解． 解：设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分， 根据题意，得， 解得：， ∴， 即张明得分为21分， 故选：C． 6．（2025八年级·全国·竞赛）《西游记》中孙悟空的法宝如意金箍棒可以随心所欲地变大变小、变长变短．一天，孙悟空将金箍棒取出变长到，猪八戒说：“嘿，这棒子若再伸长就能正好分成x根长的小段和y根长的小段了．”沙僧说：“嗯，这棒子若再缩短就能正好分成根长的小段和根长的小段了．”则a可能是（   ） A．25 B．26 C．27 D．31 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得，解得，，再根据x、y都是整数，得到或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题可得：， ∴， 得：， ∴，， ∵x、y都是整数， ∴或， ∴或， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有 种． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得，求出方程的非负整数解，问题得解﹒ 解：设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得， 方程的非负整数解有， ∴有5种分组方案﹒ 故答案为：5 8．（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 9．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元． 【答案】 15 20 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，通过设立二元一次方程组，利用消元法求解绢布扇和手账本的单价． 解：设绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元， 根据题意，得方程组： 解得 即绢布扇的单价为 15 元，手账本的单价为 20 元, 故答案为：15，20． 11．（2026九年级·河北·专题练习）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为 个． 【答案】40 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用知识点，掌握根据两种纸盒所需正方形和长方形硬纸片的数量关系，建立二元一次方程组求解是解题的关键． 本题基于“资源总量与消耗分配的等量关系”，即现有正方形硬纸片和长方形硬纸片的总量是固定的，制作甲、乙两种纸盒时，这两种硬纸片的消耗数量之和分别等于其总量，通过分析甲、乙纸盒各自所需正方形、长方形硬纸片的数量，建立二元一次方程组来刻画这种 “总量与消耗的平衡关系”，即可求解出甲种纸盒的数量． 解：设制作甲种纸盒个，乙种纸盒个， 甲种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片， 由此得到方程组： 解得： 因此，制作的甲种纸盒的数量为个． 故答案为：40． 12．（2024·湖南·模拟预测）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则 ， ． 【答案】 【分析】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 设一只雀重x斤，一只燕重y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 解：设一只雀重x斤，一只燕重y斤， 根据题意，得 整理，得 解得， ∴一只雀重斤，一只燕重斤， 故答案为：，． 三、解答题 13．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 14．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． （1）应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； （2）为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】（1）生产镜架10人，生产镜片12人；（2）6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 解：（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 15．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． （1）求某班同学一共带去了多少件礼品？ （2）该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （3）在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 【答案】（1）（件）；（2）生产螺钉10人，则生产螺母为12人；（3）零件的售价是14元 【分析】此题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握盈亏问题，配套问题，商业分配问题数量关系列方程，是解题的关键． （1）设工作岗位有y名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件，列方程解答； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为人，根据每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，列方程解答； （3）设开始共有x个销售商想合伙购买，利用5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，又4个销售商退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，列出方程，解方程，再利用售价成本价利润求得结论． 解：（1）解：设工作岗位有y名工人， 根据题意得，， 解得， （件） ∴一共带去了49件礼品； （2）解：设生产螺钉a人，则生产螺母为人 解得，， （人） 答：应安排生产螺钉工人10名，生产螺母的工人12名； （3）解：设x个销售商 解得， （元） 答：零件的售价是14元． 16．（23-24七年级下·全国·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． （1）求的值； （2）6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】（1）a值为值为4.2；（2）146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 解：（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $