第3章 阶段提升（四）一元二次不等式（范围：3.3）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

阶段提升（四） 一元二次不等式（范围：3.3） 题型一 解一元二次不等式 1．解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】（1） 解：原不等式可以化为，因为,所以方程 无实数根.又函数 的图象开口向上，所以原不等式的解集为. （2） 依题意，，解得 或， 所以不等式的解集为，或. （3） 依题意，即为，解得 或， 所以不等式的解集为. （4） 解得 或，所以不等式的解集为，或. 2．已知关于的不等式. （1） 若不等式的解集为，求，的值； （2） 若，解不等式. 【答案】 （1） 解：原不等式可化为，由题知，，是方程 的两根， 由根与系数的关系得 解得 （2） 当 时，原不等式化为，当，即 时，解原不等式可得；当，即 时，原不等式即为，解得；当 时，即 时，解原不等式可得.综上所述，当 时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 . 一元二次不等式的解集问题 （1）不含参数的一元二次不等式的解集受二次项系数、判别式 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系. （2）含有参数的一元二次不等式的求解，常根据“二次项系数”“判别式 ”“两个根的大小”对参数进行分类讨论. 题型二 在上恒成立问题 ［例1］ 若关于的不等式：对恒成立，求的取值范围. 【解】 当 时，，满足题意；当，则满足 即 解得. 综上所述，的取值范围是. 求解一元二次不等式解集为的情况： 恒成立 恒成立 恒成立 恒成立 提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. ［跟踪训练1］．若函数中的取值范围为，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由已知 恒成立，当 时,符合题意；当 时，解得.综上,. 题型三 在特定范围上恒成立问题 ［例2］ 若当时，恒成立，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一:设，其图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线，当 时，随 增大而增大，所以当 时，一元二次不等式 恒成立，即当 时，，据题意得,解得. 方法二：当 时，恒成立，即当 时，恒成立，设，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，当 时，随 增大而减小，所以当 时，一元二次不等式 恒成立，即当 时，，据题意得,解得. 在给定区间上的恒成立问题 （1）当时，在上恒成立在 ， 时的函数值同时小于0. （2）当时，在上恒成立在 , 时的函数值同时大于0. 提醒 在求此类问题可选用分离参数法. ［跟踪训练2］． （1） 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.若不等式 对任意 恒成立， 则对任意，恒成立， 而，当且仅当，即 时取等号，因此， 所以实数 的取值范围是. （2） 令，抛物线开口向上，当 时，一元二次不等式 恒成立，则当 时函数值，且当 时函数值. 得 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $