第3章 阶段提升（三）不等式性质及基本不等式（范围：3.1～3.2）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

阶段提升（三） 不等式性质及基本不等式（范围：3.1~3.2） 题型一 不等式及其性质 1．若，,则（ ） A. B. C. D. ,的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】选.因为，所以. 2．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】选.对于，由，得,，则，即，为假命题； 对于，若，则，,故， 所以，为真命题； 对于，若，则，故，为真命题； 对于，不妨设,，满足，但，为假命题. 3．已知,，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】因为，所以， 又，所以. 当 时，，又，所以，得； 当 时，因为，所以； 当 时，. 综上可得. 4．生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用,表示为一个不等式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设原有汤为，其中含盐，则盐的浓度为， 则加入盐为 后可得盐的浓度为，此时，理由如下： 因为,， 所以，所以， 所以将题中所述事实用,表示为一个不等式为. 不等式及其性质的两个关注点 （1）作差法是比较两个实数大小的基本方法. （2）应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法. 题型二 基本不等式 1．已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】选.由于，，所以，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为. 2．已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. 16 B. C. D. 18 【答案】A 【解析】选.由已知，满足，得， 则， 当且仅当， 即 时，等号成立， 所以 的最小值是16. 3．已知，则的最小值为_ _ _ _ ，此时_ _ _ _ . 【答案】21； 11 【解析】由于，所以， 所以 ， 当且仅当， 即 时，等号成立. 所以 的最小值为21， 此时. 4．[（2025·宿迁期中）]古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边,.若以斜边为直径的半圆弧长为 ，则周长的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，，，，，，以斜边 为直径的半圆弧长为 ， 则 ，所以， 因为 为直角三角形， 所以，即， 则，即， 当且仅当 时，等号成立， 则， 即 周长的最大值为. 基本不等式的关注点 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”. （2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. （3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法. 题型三 利用基本不等式求参数 ［典例］ [（2025·福州期中）]当，时，，则实数的最大值为（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】因为当，时，， 可得， 又因为， 当且仅当，即 时，等号成立， 可得，所以实数 的最大值为9. 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数,转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点,利用基本不等式确定有关最值成立条件,从而求得参数的值或取值范围； （3）注意等号的取舍,防止失误. ［跟踪训练］．[（2025·青岛期末）]已知对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，可得， 又由，当且仅当，即 时，等号成立， 因为对任意，不等式 恒成立， 所以，解得， 所以实数 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $