第3章 不等式 章末综合检测（三）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

章末综合检测（三） （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若,,为实数，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.对于，当 时，，错误；对于，当，时，，，此时，错误；对于，因为，所以，错误；对于，因为，所以，所以，，所以，正确.故选. 2．不等式的解集用区间表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，所以，解得.用区间表示为.故选. 3．已知，则的最小值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】选.因为，故,，所以，当且仅当，即 时，等号成立，故 的最小值是3.故选. 4．若不等式的解集是，则的值为（ ） A. B. C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】选.由题意可知，关于 的二次方程 的两根分别为，，且有，由根与系数的关系可得 解得 因此，.故选. 5．已知正实数，满足，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】选.由题意可知，等式 两边同除以，可化为，所以，当且仅当，即,时取等号，则 的最小值为4.故选. 6．设，，若，则的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】选.因为，，所以，，所以 所以，当且仅当，即 时，等号成立.故选. 7．已知一元二次方程有两个实数根,，且,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.令, 则由题意可得 解得,又， 可得. 8．若不等式对任意,恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.对任意,,,当且仅当 时，等号成立，所以只需,即,解得，即实数 的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知实数,满足,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.因为，① ,② 得， 所以,故 正确; 因为 所以, 解得,故 错误； 因为,又,所以,故 正确;因为, 又,, 所以,故 错误.故选. 10．设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为9 C. 最小值为 D. 最大值为2 【答案】BC 【解析】选.由题意可知，对于选项，因为，为正数，所以，解得，当且仅当 时取等号，故选项 错误；对于选项，，当且仅当，且，即 时取等号，故选项 正确；对于选项，，当且仅当 时取等号，故选项 正确；对于选项，，所以，当且仅当 时取等号，故选项 错误.故选. 11．已知函数有且只有一个零点，则（ ） A. B. C. 若不等式的解集为,则 D. 若不等式的解集为,且,则 【答案】ABD 【解析】选.因为 有且只有一个零点. 故可得,即. 等价于,显然,故 正确； ,故 正确； 因为不等式 的解集为, 故可得,故 错误； 因为不等式 的解集为, 且,则方程 的两根为,，故可得 ,故可得,故 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正实数，满足，则的最小值是_ _ _ _ . 【答案】9 【解析】由 可得，因为 且 得，即,所以，又，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故 的最小值为9. 13．若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得， 即 或， 设两根分别为，，则 由题意得 即 所以 所以. 又因为 或， 所以. 14．若，，，均为正实数，则的最小值为_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】 , 当且仅当，即 时，等号成立， 所以 的最小值为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知二次函数，. （1） 若，求不等式的解集;（6分） （2） 若，求关于的不等式的解集.（7分） 【答案】 （1） 解：当 时，. ，即， 所以，所以 或. 所以 的解集为，或. （2） ，即， 所以， 所以. 因为，所以， 所以不等式 的解集为. 16．（本小题满分15分）已知，. （1） 求的最小值；（7分） （2） 若，求的最小值.（8分） 【答案】 （1） 解：因为，则， 由题意得 ， 当且仅当，即 时，等号成立. 故 的最小值为3. （2） 由，得， 则 ， 当且仅当， 即,时，等号成立. 故 的最小值为1. 17．（本小题满分15分）已知不等式的解集为. （1） 求,的值;（6分） （2） 求不等式的解集.（9分） 【答案】 （1） 解：由根与系数的关系得 且，解得 （2） 当，时，原不等式变为, 若，原不等式解集为； 若，原不等式变为， 当 时，原不等式解集为 . 当 时， ①当 即 时，原不等式解集为; ②当 即 时，原不等式解集为; ③当 时，原不等式解集为 . 18．（本小题满分17分）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为.当年产量不足90千件时，（万元）；当年产量不小于90千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完.（利润销售收入-总成本） （1） 写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（8分） （2） 年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？（9分） 【答案】 （1） 解：当，时， ; 当，时， . 故 （2） 当，时， ， 所以当 时，取得最大值（万元）； 当，时， ,当且仅当，即 时等号成立. 即 时，取得最大值800万元. 综上，生产量为6万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大为900万元. 19．（本小题满分17分） （1） 若不等式,的解集为，求不等式的解集；（5分） （2） 若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（6分） （3） 若方程在有解，求实数的取值范围.（6分） 【答案】 （1） 解：若不等式 的解集为，即1，2是方程 的两个根，则，即， 由 得，即 得，得 或， 即不等式的解集为. （2） 不等式 在 恒成立，即 在 恒成立， 故 解得，故实数 的取值范围为. （3） 由， 得，即， 若方程在 有解，等价为 在 有解， 因为， 所以，即，即，则， 即实数 的取值范围是. / 学科网（北京）股份有限公司 $