第3章 不等式 阶段小测（三）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

阶段小测（三） （时间：120分钟 满分：100分） 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若,,且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.对于，易知当,时，满足，但 不成立，故 错误；对于，当,时，显然 不成立，故 错误；对于，当 时，，因此 不成立，故 错误；对于，易知，由 可得，故 正确. 2．已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，所以.已知，，两个不等式相加，得到. 3．若在处取最小值，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】选.由题意，，而，当且仅当，即 时，等号成立，所以. 4．[（2025·成都期末）]已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（ ） A. 20个 B. 30个 C. 40个 D. 50个 【答案】C 【解析】选.由题设，总成本为,则每个面包的总成本，当且仅当，即 时取等号，故为使每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 5．已知，，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】选.由，，可得，且，得，当且仅当，即,时取等号，因此，所以 的最大值为2. 6．设,，且恒成立，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】选.因为,所以 等价于，，当且仅当 时，等号成立.故,，则 的最大值是4. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7．若，，则下列结论正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.对于，因为，，则，，所以，故 错误； 对于，因为，所以， 因为，所以， 所以，则，，所以，故 正确； 对于，因为，则，又，则，故 正确； 对于，因为，，所以，故 正确. 8．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.已知，，，取,，所以，故 错误；因为,,，所以，所以，所以，所以，所以，故 正确；因为，所以，当且仅当，即,时取等号，故 正确；，当且仅当，即,时取等号，故 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 9．比较大小：_ _ _ _ .（填“ ”“ ”或“”） 【答案】 【解析】，， 因为， 可得，所以. 10．已知，且，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设， 则 解得 即. 又，， 故，， 则， 即 的取值范围是. 11．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立，则的最小值为_ _ _ _ . 【答案】49 【解析】由题意得，，， 所以，当且仅当，即 时，等号成立，则 的最小值为49. 四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 12．（本小题满分13分） （1） 已知，，，求证：；（6分） （2） 已知，，都是正实数，且，求证：.（7分） 【答案】 （1） 证明：因为，则， 又因为，则，可得， 又，所以. （2） 因为，，都是正实数，且， 则 ， 当且仅当,,， 即 时，等号成立， 所以. 13．（本小题满分15分）已知,，且满足. （1） 求的最小值；（7分） （2） 若恒成立，求的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：， 当且仅当，即,时，等号成立， 即 的最小值为. （2） 由,,，得，即，, 不等式 恒成立，即 恒成立，所以 恒成立， . 当且仅当，即 时，等号成立， 因此当,时，取得最小值12，则，所以 的取值范围为. 14．（本小题满分15分）如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2 900元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. （1） 当时，求草坪面积；（7分） （2） 当为何值时，最小?并求出这个最小值.（8分） 【答案】（1） 解：四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为，当 时，，故草坪面积为. （2） 花坛的造价为 元，花岗岩地面的造价为 元，四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为，故草坪的造价为（元）， 故， 当且仅当，即 时，等号成立，故 时，最小，最小值为65 000元. 学科网（北京）股份有限公司 $