8.2.2 函数的实际应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

8.2.2 函数的实际应用

新课导入

爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.按复利计算利率的一种储蓄，本金为元，每期的利率为，设本利和为，存期为期后的本利和是多少？本节课我们一起探究吧！

学习目标

1.会利用已知函数模型解决实际问题.

2.能建立函数模型解决实际问题.

新知学习 探究

一 给定函数模型解实际问题

思考．回忆一下所学过的函数模型有哪些？

提示

［例1］ （对接教材例3）某县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售.经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格（单位：元）与销售量（单位：万盒）之间满足关系式

（1） 写出利润（单位：万元）关于销售量（单位：万盒）的关系式；（利润销售收入成本）

（2） 当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？

【答案】（1） 【解】由题意得

 

（2） 当 时，由二次函数性质得，

当 时，由基本不等式得

，

当且仅当，即 时，等号成立，则，

综上，当销售量为15万盒时，黄桃种植户能获得最大利润，最大利润为136万元.

应用已知函数模型解题的两种类型：

（1）直接依据题中的函数解析式解决相关问题；

（2）若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法.

［跟踪训练1］．某书店经过一段时间的营销推广后，数学课外书连续数月的总销量（单位：千本）与前个月，且满足关系式.现已知该书店前2个月和前3个月的数学课外书销售总量分别为4千本和6千本.

（1） 求，的值；

（2） 求该书店第6个月的数学课外书的销售量.

【答案】

（1） 解：依题意得

解得

 

（2） 由（1）知，

当 时，，

当 时，，

所以第6个月数学课外书的销售量为（千本）.

二 建立函数模型解决实际问题

角度1 一次函数、二次函数模型

［例2］ 在经济学中，函数的边际函数定义为.已知某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差.

（1） 求利润函数及边际利润函数；

（2） 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？

【答案】

（1） 【解】由题意知，，且

，

.

 

（2） ，

当 或 时，的最大值为74 120元.因为 在 上是减函数，所以当 时，的最大值为2 440元.因此，利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值.

角度2 指数型函数、对数型函数模型

［例3］ 在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循