8.2.1 几个函数模型的比较-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

8.2 函数与数学模型

8.2.1 几个函数模型的比较

新课导入

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.对于一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？

学习目标

1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.

2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.

3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.

新知学习 探究

一 三种函数模型的性质

［知识梳理］

【答案】单调递增； 单调递增； 单调递增； 轴； 轴； 越来越快； 越来越慢；

点拨 在区间 上,总存在,使得当,,时,成立.

［例1］

（1） 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

在四个函数模型,为待定系数中，最能反映,函数关系的是（  ）

A.  B.

C.  D.

（2） （多选）如图,能使得不等式成立的的取值范围是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】（1） C

（2） BC

【解析】

（1） 由题，作出散点图如下，

由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择 反映,函数关系.

（2） 结合图象可知,当 时,.故选.

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.

［跟踪训练1］．

（1） 当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是 （  ）

A.  B.  C.  D.

（2） 已知三个变量,,随变量变化的数据如下表：

则反映,,随变化情况拟合较好的一组函数模型是（  ）

A. ,, B. ,,

C. ,, D. ,,

【答案】（1） A

（2） B

【解析】

（1） 选.比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数的图象可知，当 越来越大时，指数函数的图象增长速度最快.故选.

（2） 选.从题中表格可以看出，三个变量,,都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量 的增长速度最慢，呈对数型函数变化.

二 函数模型的选取

［例2］ 某中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.该商品的日销售量（单位：个）与时间（单位：天）部分数据如下表所示：

给出以下两种函数模型：；.