8.1.1 函数的零点-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

第8章 函数应用 8.1 二分法与求方程近似解 8.1.1 函数的零点 新课导入 如图所示，小亮同学正在小河旁“打水漂”，小石子的运动轨迹与时间的关系是不是函数关系？若是，该函数图象与水面的交点的情况如何？ 学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系. 2.了解函数零点存在定理. 3.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 4.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 新知学习 探究 一 函数的零点 思考．我们已经学习过二次函数的零点，这里的零点是几何中的“点”吗？ 提示 不是，它是指使得的实数. ［知识梳理］ （1）概念:一般地,我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点. （2）方程的解、函数的图象与轴的交点、函数的零点三者之间的联系. 点拨 （1）函数的零点是实数,而不是点.如函数 的零点是,而不是. （2）并不是所有的函数都有零点,如函数,均没有零点. （3）若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. ［例1］ （1） 求函数的零点. （2） 求函数的零点. 【答案】 （1） 【解】当 时,令,解得 或（舍去）; 当 时,令,解得. 所以函数 的零点为 和. （2） 由， 得， 所以 或， 所以 或. 所以函数 的零点是1或10. 函数零点的求法 （1）代数法：求方程的实数根. （2）几何法：对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来.图象与轴交点的横坐标即为函数的零点. ［跟踪训练1］． （1） 下列图象表示的函数中没有零点的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为 （ ） A. ， B. ，，1， C. ，1， D. ，1， 【答案】（1） C （2） D 【解析】 （1） 选.函数的零点为函数图象与 轴交点的横坐标，其中只有选项 与 轴没有交点，所以没有零点的是.故选. （2） 选.因为 是定义在 上的奇函数，当 时，，所以 所以 由 解得 或； 由 解得 或（舍去）， 所以函数 的零点的集合为，1，. 二 函数零点存在定理 ［知识梳理］ 条件 函数在区间上的图象是一条①_ _ _ _ _ _ 的曲线,且②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 结论 函数在区间上有零点 【答案】不间断； 点拨 （1）闭区间 上的连续函数，是函数有零点的充分不必要条件. （2）满足定理条件，则函数 在 上存在零点，但不一定唯一；若函数 在 内单调，则零点唯一. ［例2］ （多选）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 7 1 4 2 在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】由所给的函数值表知，,,,,由函数零点存在定理可知,在区间,,内各至少有一个零点，故选. 确定函数 零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若，则函数在区间内必有零点. （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断. ［跟踪训练2］． （1） 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数的零点所在的区间为，则正整数的值为_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 1 【解析】 （1） 选.方法一：因为，，为 上的连续函数， 所以 在区间 上有零点. 方法二：令，即， 所以原函数的零点所在区间即为函数 和 的图象交点的横坐标所在的区间.在同一平面直角坐标系内画出 和 的图象，如图， 由图象可得函数 和 的图象交点的横坐标所在的区间为. （2） 因为函数 在 上为增函数，且，，所以 的零点所在的区间为，所以正整数 的值为1. 三 函数零点个数问题 角度1 判断函数零点个数 ［例3］ 求函数的零点个数. 【解】 方法一：因为,, 所以 在 上必定存在零点.又显然 在 上为增函数,故函数 有且只有一个零点,零点个数是1. 方法二： 在同一平面直角坐标系中作出 和 的草图.由图象知 的图象和 的图象有且只有一个交点,即 有且只有一个零点.故零点个数是1. 判断函数零点个数的3种常用方法 （1）利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点. （2）画出函数的图象,判定它与轴的交点个数,从而判定零点的个数. （3）转化成两个函数图象的交点问题. ［跟踪训练3］． （1） 函数的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （2） 函数的零点的个数是_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 2 【解析】 （1） 选.当 时，令，解得 或； 当 时，令，解得.综上所述，函数 共有3个零点. （2） 由题意得，的定义域为,且.如图，在同一平面直角坐标系中画出函数 与 的图象，由图知函数 与 的图象有两个交点. 故函数 的零点有2个. 角度2 根据函数零点个数求参数范围 ［例4］ 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】函数 的图象如图所示. 函数 有两个不同的零点，等价于 的图象与直线 有两个不同的交点， 由图知实数 的取值范围为. 根据函数零点个数求参数范围的方法 （1）直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数的取值范围. （2）分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数的值域问题加以解决. （3）数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. ［跟踪训练4］．已知函数,且有且仅有两个零点,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.令 得,分别作出函数 和 的图象.当 时,函数 和 的图象如图1所示,由图象可知函数 和 的图象有两个交点,所以 有两个零点,符合题意. 当 时,函数 和 的图象如图2所示， 由图象可知 和 的图象有一个交点,所以 有一个零点,不符合题意. 综上,实数 的取值范围为. 培优点 复合函数的零点问题 复合函数的零点，通常先“换元拆解”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 解复合函数零点问题一般可分为以下三个步骤: （1）换元：令，，为“内函数”，为“外函数”；（2）作图：作出“外函数”的图象与“内函数”的图象；（3）观察图象分析求解. ［典例］ （1） 已知函数则方程的不相等实根共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 （2） 函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 函数 的图象如图所示.由 可知 或，根据图象可知，方程 有3个不相等的实根，方程 有4个不相等的实根，所以方程 的不相等实根共有7个. （2） 设，令，则.在同一平面直角坐标系内作，的图象（如图）. 当 时，与 的图象有两个交点. 设交点的横坐标为，（不妨设）， 则，. 当 时，有一解； 当 时，有两解. 综上，当 时，函数 有三个不同的零点. ［练习1］．已知函数则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】选. 作出函数 的大致图象如图所示，由，得.令，则，令，得，令，得.由图象知，，即，各有两个不相等的实数根，所以函数 有4个零点.故选. ［练习2］．已知函数函数，若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为函数 恰好有5个不同的零点，所以方程 有5个根，可得，有 或，不妨设，如图， 可知，,,,可得，故. 课堂巩固 自测 1．下列函数没有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.函数，没有满足方程 的解，因此没有零点. 2．（多选）若函数的唯一零点同时在区间,,内，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数在区间内有零点 B. 函数在区间或内有零点 C. 函数在区间内无零点 D. 函数在区间内无零点 【答案】ABC 【解析】选.因为函数 唯一的一个零点同时在区间,,内，所以函数 唯一的一个零点在区间 内，可知函数 在区间 内无零点.故，，不正确，正确.故选. 3．函数的零点是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】3, 【解析】令，即，解得 或，所以函数 的零点是3，. 4．若函数在上恰有一个零点，试写出一个实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】1（答案不唯一） 【解析】不妨取，则，则,，即得，又 图象（图略）的对称轴为直线，则 在 上单调递增，故 在 上恰有一个零点. 1.已学习：（1）函数零点的概念. （2）函数零点存在定理及其应用. 2.须贯通：（1）转化法：函数的零点可转化为方程的根，还可转化为函数图象与轴的交点的横坐标. （2）数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题. 3.应注意：（1）零点不是点，而是数，是函数图象与轴交点的横坐标. （2）函数零点存在定理的应用条件. 课后达标 检测 A 基础达标 1．函数的零点一定位于区间 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选., , 即，又 在 上为增函数，故函数 的零点一定位于区间. 2．函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】选.令，得，画出函数 与 的图象， 可得这两个函数在 上的图象有唯一交点，故 的零点个数为1.故选. 3．已知的零点在区间,上，,则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】选.由题意可知，在 上为增函数， 因为，， 则 的零点在区间,上，可得 又,解得. 4．若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为 的零点所在的区间为，且 在 上为增函数，所以，即，解得.故选. 5．若函数有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为函数 有零点，所以方程 有解， 即方程 有解， 因为， 所以，即， 因此. 6．（多选）已知函数的零点在区间上，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】AB 【解析】选.因为 在区间 上单调递增，且零点在区间 上， 所以 即 所以. 结合选项可知 的可能取值为，. 7．已知函数的零点是2，则_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】由题意得，解得. 8．函数在定义域内的零点个数为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】由题意可知 的定义域为.在同一平面直角坐标系中画出 函数,的图象,如图所示. 由图可知,函数 在定义域内的零点个数为2. 9．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一：由题可知函数 的图象的对称轴方程为,要满足题意， 则 解得. 方法二：令，得， 即当 时，直线 与 的图象有两个交点， 如图，可知. 10．（13分）已知函数. （1） 当时，求函数的零点；（6分） （2） 若有零点，求实数的取值范围.（7分） 【答案】 （1） 解：当 时，.令，即， 解得 或（舍去）. 所以，所以函数 的零点为0. （2） 若 有零点，则方程 有解， 于是， 令，则，且.所以 在 上为增函数，值域为，所以，,即实数 的取值范围是. B 能力提升 11．已知关于的方程的唯一解在区间,内，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】选.由题意得，函数 的唯一零点在区间,内， 由，且， 由零点存在定理可得 在,上有零点， 又因为函数 的唯一零点在区间,内， 则 所以. 12．如图所示，定义域和值域均为的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美.则函数在上最大值是_ _ _ _ ，方程的解的个数为_ _ _ _ . 【答案】3； 4 【解析】观察题图知，函数 在 上的最大值是； 令，由 得，或， 若，根据题图，可知该方程有三个不相等的实数根， 若，根据题图，可知该方程有一个实数根， 所以方程 的解的个数为4. 13．（15分）已知函数. （1） 当实数分别为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；（5分） （2） 若函数恰有一个零点在原点处，求的值；（5分） （3） 若有两个实数根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数的取值范围.（5分） 【答案】 （1） 解：若函数有两个零点，则对应方程 有两个不相等的实数根，易知，即，可解得; 同理，若函数有一个零点，则，可解得； 若函数无零点，则，可解得. 故当 时，函数有两个零点； 当 时，函数有一个零点； 当 时，函数无零点. （2） 由题意知0是对应方程的根， 故有，解得. （3） 由题意并结合函数 的图象（图略）可得， 即，则. 故实数 的取值范围为. 14．（15分）定义在上的奇函数和偶函数满足. （1） 求函数和函数的解析式；（7分） （2） 设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：由，① 得， 又 为奇函数，偶函数， 即，② 由①②联立，解得，. （2） . ①当 时，，得，不符合题意； ②当 时，由当 接近1时，无限接近于0，得若满足题意，则， 即，解得. 综上，满足题意的实数 的取值范围是. C 素养拓展 15．给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为,，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由 解得 或 函数 和 的图 象相交于点 和， 在平面直角坐标系内根据函数 和 的图象，由,，作出 的图象，如图所示， 方程 恰有三个不相等的实数根，则 的图象与直线 有三个交点，由图象可知实数 的取值范围为.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $