8.1.1 函数的零点-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

第8章 函数应用

8.1 二分法与求方程近似解

8.1.1 函数的零点

新课导入

如图所示，小亮同学正在小河旁“打水漂”，小石子的运动轨迹与时间的关系是不是函数关系？若是，该函数图象与水面的交点的情况如何？

学习目标

1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系.

2.了解函数零点存在定理.

3.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.

4.能借助函数单调性及图象判断零点个数.

新知学习 探究

一 函数的零点

思考．我们已经学习过二次函数的零点，这里的零点是几何中的“点”吗？

提示 不是，它是指使得的实数.

［知识梳理］

（1）概念:一般地,我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点.

（2）方程的解、函数的图象与轴的交点、函数的零点三者之间的联系.

点拨 （1）函数的零点是实数,而不是点.如函数 的零点是,而不是.

（2）并不是所有的函数都有零点,如函数,均没有零点.

（3）若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.

［例1］

（1） 求函数的零点.

（2） 求函数的零点.

【答案】

（1） 【解】当 时,令,解得 或（舍去）;

当 时,令,解得.

所以函数 的零点为 和.

（2） 由，

得，

所以 或，

所以 或.

所以函数 的零点是1或10.

函数零点的求法

（1）代数法：求方程的实数根.

（2）几何法：对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来.图象与轴交点的横坐标即为函数的零点.

［跟踪训练1］．

（1） 下列图象表示的函数中没有零点的是（  ）

A.  B.

C.  D.

（2） 已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为 （  ）

A. ， B. ，，1，

C. ，1， D. ，1，

【答案】（1） C

（2） D

【解析】

（1） 选.函数的零点为函数图象与 轴交点的横坐标，其中只有选项 与 轴没有交点，所以没有零点的是.故选.

（2） 选.因为 是定义在 上的奇函数，当 时，，所以

所以

由 解得 或；

由

解得 或（舍去），

所以函数 的零点的集合为，1，.

二 函数零点存在定理

［知识梳理］

【答案】不间断；

点拨 （1）闭区间 上的连续函数，是函数有零点的充分不必要条件.

（2）满足定理条件，则函数 在 上存在零点，但不一定唯一；若函数 在 内单调，则零点唯一.

［例2］ （多选）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

在下列区间中，函数必有零点的区间为（  ）