7.3.2 三角函数的图象与性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

7.3.2 三角函数的图象与性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象 新课导入 同学们，我国著名数学家华罗庚教授曾经写到：“数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”的角度研究三角函数． 学习目标 1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象. 2.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单的问题. 新知学习 探究 一 正弦函数、余弦函数的图象 思考1．绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点? 提示 如图，在上任取一个值，根据正弦函数的定义可知点的纵坐标，此时弧的长度为，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点. 思考2．根据函数，的图象，你能想象，的图象吗？ 提示 根据诱导公式一，把的图象不断向左、向右平移（每次移动 个单位长度），得，的图象. ［知识梳理］ 函数 图象 曲线 正弦曲线：正弦函数的图象 余弦曲线：余弦函数的图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ①_ _ _ _ _ _ _ _ ,, ②_ _ _ _ _ _ _ _ ,, ③_ _ _ _ _ _ _ _ ,④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , , ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 【答案】； ； ； ,； , 点拨 将,的图象向左平移 个单位长度得到,的图象，因此,与,的图象形状相同，只是在同一平面直角坐标系中的位置不同. ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． （1） 正弦函数的图象关于轴对称．（ ） （2） 将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线．（ ） （3） 直线与函数，的图象有两个交点．（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） √ 2．（多选）下列叙述中正确的有（ ） A. ,的图象关于点成中心对称 B. ，的图象关于直线 成轴对称 C. ,的图象在 时到达最高点 D. 正弦、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围 【答案】ABD 【解析】选.由函数 和 的图象（图略），易知,,均正确. 3．已知函数的部分图象如图所示，完成下列各题. （1） 点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） ； 【解析】 3．根据题图特征，易知， . . 解决正弦、余弦函数图象问题的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，要知道两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 二 “五点法”作函数的图象 ［例1］ （对接教材例3）用“五点法”作出下列函数的简图. （1） ,； （2） ，. 【答案】 （1） 【解】 列表： 0 0 1 0 0 描点,并将它们用光滑的曲线连接起来，如图. （2） 列表： 0 0 2 0 1 3 5 3 1 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. 作形如 （或 ）,的图象的三个步骤 ［跟踪训练1］．利用“五点法”作出函数的简图. 解：列表： 0 1 0 0 1 3 2 1 2 3 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来，如图. 三 正弦、余弦函数图象的简单应用 角度1 零点（或方程解）的个数问题 ［例2］ （1） 函数,的图象在区间 ，的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （2） 若函数，的图象与仅有两个不同的交点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 分别作出，在区间 上的图象，如图所示， 由图象可知，，的图象在区间 的交点个数为3.故选. （2） 画出函数的图象如图所示， 又函数 的图象与 仅有两个不同交点，则 的取值范围是. （1）函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线,求得参数的取值范围. （2）作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件. 角度2 利用函数图象解三角不等式 ［例3］ 在内,不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】画出,的草图如下. 因为,所以,.即在 内,满足 的 的值为 或.可知不等式 在 内的解集是. 解三角不等式时，如果不限定范围，一般先利用图象求出范围内的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集. ［跟踪训练2］． （1） 函数的零点个数为_ _ _ _ . （2） 当时，不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） 6 （2） ， 【解析】 （1） ，故，画出 和 的图象，两函数交点个数即为 的零点个数， 由图象可得，共6个交点，所以 的零点个数为6. （2） 作出余弦函数，的部分图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 的集合为，. 课堂巩固 自测 1．满足在区间上的的值有 （ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】B 【解析】选.根据 在 上的图象（图略）,可知满足 在区间 上的 的值为 , ,0, , .故选. 2．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数,与,的图象（ ） A. 重合 B. 形状相同，位置不同 C. 两个正弦曲线关于点成中心对称 D. 形状不同，位置不同 【答案】BC 【解析】选.根据诱导公式一：，所以,与,的图象形状相同、位置不同，且两个正弦曲线关于点 成中心对称.所以,正确，,错误.故选. 3．函数，的图象与直线的交点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,，, 【解析】联立 得， 当 时，或， 所以交点坐标为,，,. 4．解关于的不等式. 解：作出正弦函数 在 上的图象，作出直线 和，如图所示. 由图可知，在 上，当 或 时，不等式 成立，所以原不等式的解集为 或 ,. 1.已学习：（1）正弦、余弦函数图象的初步认识.（2）五点法作图.（3）正弦、余弦函数图象的应用. 2.须贯通：“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图及应用. 3.应注意：“五点法”作图时，五个关键点的选取. 课后达标 检测 A 基础达标 1．函数,的简图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.,的图象可由 的图象向上平移2个单位长度得到.故选. 2．已知余弦函数过点，，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】选.设余弦函数为，由函数过点,，可得. 3．函数,的图象与,的图象（ ） A. 关于轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于原点和轴对称 D. 关于轴对称 【答案】A 【解析】选.在同一平面直角坐标系中作出，与，的图象（图略），观察可得它们关于 轴对称，故，，错误，正确.故选. 4．函数，的图象与直线交点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】选.由函数，的图象（如图所示），可知其与直线 有2个交点. 5．[（2025·盐城期末）]函数在区间上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意 所以函数 在区间 上的图象大致如图.故选. 6．（多选）下列在上的区间能使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， ， 【答案】AC 【解析】选. 在同一平面直角坐标系中，画出正弦、余弦函数在 上的部分图象，在 上，当 时，或,结合图象可知满足 的区间是，和，. 7．函数，的图象与轴的交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】令，所以， 又，所以. 所以 的图象与 轴交点的坐标为,. 8．函数，的图象与直线的交点有_ _ _ _ 个. 【答案】2 【解析】令，即， 因为，所以 或， 所以函数，的图象与直线 的交点有2个. 9．不等式，的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】如图所示，不等式 的解集为，. 10．（13分）用“五点法”画出下列函数的简图： （1） ,；（6分） （2） ,.（7分） 【答案】 （1） 解：按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图： （2） 按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 2 0 0 2 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图： B 能力提升 11．（多选）已知函数，的图象与直线有一个公共点，则的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】BD 【解析】选.画出函数,的图象，如图. 依题意得 或. 12．已知函数，若的图象过点，，则_ _ _ _ ；若，则的取值集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】1； , 【解析】当 时，，所以. ，即，作出 在 上的图象，如图所示. 由图知 的取值集合为 . 13．（13分）用“五点法”作出函数， ，的简图，并回答下列问题. （1） 观察函数图象，写出满足条件的的取值范围；（6分） （2） 若直线与， ，的图象有两个交点，求的取值范围.（7分） 【答案】 13．解：列表如下： 0 0 0 1 0 1 3 1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图. （1） 由图象可知，图象在直线 上方部分时，，在直线 下方部分时，，所以当 时，. （2） 由图可知，当直线 与， ，的图象有两个交点时，或， 所以 的取值范围是. 14．[（2025·南通期末）]（15分）已知函数 （1） 作出该函数的图象；（4分） （2） 若，求的值；（5分） （3） 若，讨论方程的解的个数.（6分） 【答案】 （1） 解：函数 的图象如图所示： （2） 当 时，，解得，当 时，，解得 或，综上，或 或. （3） 方程 的解的个数等价于 与 的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当 或 时，解的个数为0； 当 或 时，解的个数为1； 当 时，解的个数为3. C 素养拓展 15．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为_ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接） 【答案】 【解析】函数，，的零点可以转化为，，与 的图象的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出，，与 的图象如图所示， 由图象可知，，， 所以. 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质（一） 新课导入 过山车是一项富有刺激性的娱乐设施.一个基本的过山车运动过程包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）等几个循环路径.过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，对应，的什么性质？本节课我们一起探讨吧！ 学习目标 1.会求与正弦函数、余弦函数有关的定义域. 2.会求与正弦函数、余弦函数有关的值域（最值）. 3.解决与正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性有关的问题. 新知学习 探究 一 正弦函数、余弦函数的定义域 ［知识梳理］ 类别 图象 定义域 ［例1］ 在上函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得 即 如图所示， 解得 所以，即函数 的定义域为. 母题探究．本例去掉条件“在上”,求函数的定义域. 解：由题得 结合例1解析图象可知 的解集为 ,；的解集为 ,， 所以函数 的定义域为 ,. 用三角函数图象求解定义域的步骤 （1）作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象; （2）写出不等式在区间上的解集; （3）写出方程或不等式的解集，同时注意区间端点的取舍. ［跟踪训练1］．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】要使函数有意义，需满足,即,解得,由正弦函数的图象，可得函数的定义域为,. 二 正弦函数、余弦函数的值域与最值 ［知识梳理］ 类别 图象 值域 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 最值 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ,； ,； ,； , ［例2］ （对接教材例4） （1） 求函数，，的值域； （2） 求函数的最值及取到最大值和最小值时的取值集合. 【答案】 （1） 【解】 因为,所以,所以, 所以函数, ,的值域为. （2） . 所以当，即,时，； 当，即,时，. 所以，此时 的取值集合是,;，此时 的取值集合是,. 三角函数最值问题的求解方法 （或）型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对正负的讨论. 或型,可先由定义域求得 的范围,然后求得或的范围,最后求得最值. 型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的取值范围需要根据定义域来确定. ［跟踪训练2］． （1） 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. （2） 求函数,的最值. 【答案】（1） B （2） 解：. 因为,所以,所以当,即 时，函数取得最大值，; 当,即 时，函数取得最小值，. 【解析】 （1） 选.当 时，，则当 时，. 三 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 ［知识梳理］ 类别 图象 周期 奇偶性 奇函数 偶函数 ［例3］ （1） 定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为 ，且当时，,则（ ） A. B. C. D. （2） 若函数是奇函数，则 的一个取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） A 【解析】 （1） . （2） 因为函数 是奇函数，所以 ,,即 ,,当 时，得 . 母题探究．本例（2）中 ,若函数是偶函数,则 的一个取值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】答案不唯一，满足,即可 【解析】因为函数 是偶函数，所以，，即，，故 可取. 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 （1）探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为或其中， ， 是常数，且，的形式，再利用公式求解. （2）判断函数或其中, , 是常数，且，是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为或. ［跟踪训练3］． （1） （多选）下列函数中最小正周期为 ，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. （2） 函数的周期为 ，且为奇函数, 则_ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） AC （2） ； 【解析】 （1） 选.对于，定义域为,因为,所以函数为偶函数，其图象如图所示，所以 的最小正周期为 ，故 符合； 对于，定义域为，因为,所以函数为奇函数,故 不符合； 对于，定义域为，,最小正周期为 ，因为,所以函数为偶函数，故 符合； 对于，定义域为，最小正周期为 ，所以 不符合.故选. （2） 的周期为 ，所以 ，所以.则 或，又 为奇函数，所以. 课堂巩固 自测 1．函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为,所以,所以,即函数的值域是. 2．（多选）设函数,,则关于的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 最小正周期为 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】AD 【解析】选.由题意知，则 的最小正周期 ，为偶函数. 3．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 , 【解析】由 解得 ,. 4．函数的最大值为_ _ _ _ ，此时自变量的取值集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】7； 【解析】当, 即 时， . 1.已学习：（1）正弦函数、余弦函数的定义域. （2）正弦函数、余弦函数的值域（最值）. （3）正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性. 2.须贯通：求三角函数值域或最值的常用方法： （1）形如的三角函数，换元令 ，再结合正弦曲线求出的最值（值域）. （2）形如的三角函数，可先设，再根据二次函数的单调性，结合的取值范围求值域（最值）. 3.应注意：求值域时不要忽视，本身具有的范围. 课后达标 检测 A 基础达标 1．函数，的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意得 . 2．已知函数，若,则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】选.由函数解析式可知，, 即，可知，则.故选. 3．函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为 的定义域为，关于原点对称，,所以函数 是偶函数，排除，；当 取趋近于0的正数时，，排除，故选. 4．设和分别表示函数的最大值和最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为 的值域为，所以函数 的最大值，最小值, 故. 5．函数的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】选.， 令，， ， 当 时，. 6．（多选）关于的函数有以下说法，正确的是（ ） A. 对任意的 ，都是非奇非偶函数 B. 存在 ，使是奇函数 C. 对任意的 ，都不是偶函数 D. 不存在 ，使既是奇函数，又是偶函数 【答案】BD 【解析】选.当 时，，是奇函数. 当 时，，是偶函数.故，错误，正确； 无论 为何值，不可能恒为0，故不存在 ，使 既是奇函数，又是偶函数，故 正确.故选. 7．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】由题意得 满足不等式组 即 作出 的部分图象，如图所示. 结合图象可得函数 的定义域为 ，. 8．函数在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时,取最大值. 【答案】 【解析】当函数取最大值时,,. 9．函数，的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 则， 所以. 10．（13分）已知函数.求： （1） 函数的最小正周期;（6分） （2） 函数在区间上的最小值和最大值.（7分） 【答案】 （1） 解：因为函数, 所以函数 的最小正周期为 . （2） 因为，则，可得， 当，即 时，取得最小值； 当，即 时，取得最大值3. 所以函数 在区间 上的最小值为，最大值为3. B 能力提升 11．函数对于任意都有成立，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】选.因为函数 对于任意 都有 成立， 所以 是函数 的最小值，是函数 的最大值， 所以 的最小值为半个周期， 即. 12．已知函数是偶函数，则 的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为 是偶函数，则 ,, 即 ,,令 得. 13．[（2025·苏州期末）]已知，则_ _ _ _ . 【答案】0 【解析】易知 以6为周期,且，，，，，， 所以.又， 所以. 14．（13分）设,为实数，已知定义在区间上的函数的最大值为1，最小值为，求,的值. 解：因为， 则,所以, 因为函数 的最大值为1，最小值为， 当 时，有 解得 当 时，有 解得 综上，,或,. C 素养拓展 15．（15分）对于定义在上的函数和正实数,若对任意，有，则为阶梯函数. （1） 分别判断下列函数是否为阶梯函数： ；（4分）.（4分） （2） 若为阶梯函数，求出的所有值.（7分） 【答案】 （1） 解：，则； ，则，故①不是 阶梯函数；②是 阶梯函数. （2） 因为 为 阶梯函数， 所以对任意 有： . 所以对任意，， 因为 是最小正周期为 的周期函数， 又因为， 所以 ，. 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质（二） 新课导入 同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的单调性与对称性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题． 学习目标 1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间. 2.会比较三角函数值的大小. 3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性. 新知学习 探究 一 正弦函数、余弦函数的单调性 观察正弦曲线： 思考．函数在上的单调区间是什么？ 【答案】思考 提示 观察正弦函数图象可知增区间为，减区间为. ［知识梳理］ 类别 正弦函数 余弦函数 图象 单调性 增区间 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 减区间 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】,； ,,； ,,； , ［例1］ 求函数的单调区间. 【解】 令，则. 因为 是增函数， 所以 单调递增（或单调递减）时， 函数 也单调递增（或单调递减）. 由， 得， 即， 故函数 的增区间为. 同理可求得函数 的减区间为. 母题探究1．求函数，的单调区间. 编辑作答空间顺序 解：由本例解析知 的增区间为 ,，， 又因为，所以可得在,,,上，函数 单调递增，同理可得在，上，函数 单调递减.所以函数，的增区间为，，减区间为. 母题探究2．求函数的增区间. 解：， 令，则 的增区间是，， 所以令 ，，得 ，， 所以函数 的增区间为，. 求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略 （1）结合正弦函数、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. （2）在求形如（其中， ， 为常数，且,）的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ ”看作一个整体“”,即通过求的单调区间进而求出原函数的单调区间.求形如（其中， ， 为常数，且,）的函数的单调区间同上. ［跟踪训练1］． （1） 已知函数，则（ ） A. 在单调递减 B. 在单调递增 C. 在，上单调递减 D. 在，上单调递增 （2） 的减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） , 【解析】 （1） 选., 故当 时，， 所以 不单调，故,错误； 当,时，,在 上单调递增，故 错误，正确.故选. （2） 因为， 所以由 ，得, ,,即所求减区间为,. 二 利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 ［例2］ （对接教材例5）不求值，比较下列各组数的大小. （1） 与; （2） 与. 【答案】 （1） 【解】， . 因为函数 在 上单调递增， 而， 所以， 所以. 故. （2） 因为 在 上单调递增,所以， 在 上单调递减， 所以, 故. 比较三角函数值大小的步骤 （1）异名函数化为同名函数. （2）利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. （3）利用函数的单调性比较大小. 提醒 对于一些三角函数值,也可以利用中间值来比较大小. ［跟踪训练2］． （1） （多选）下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. （2） , , 的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接） 【答案】（1） AD （2） 【解析】 （1） 选.对于,因为， 且 在,上单调递增， 所以,故 正确； 对于，,，故 错误； 对于，因为 ，且 在,上单调递减，所以,故 错误； 对于, ，故 正确.故选. （2） 因为 , ，而余弦函数 在 上单调递减， 因此 ， 所以 . 三 正弦函数、余弦函数的对称性 ［知识梳理］ 类别 正弦函数 余弦函数 图象 对称轴 , , 对称中心 , ,, ［例3］ （1） 已知函数的图象的一条对称轴是直线，则（ ） A. B. C. D. （2） 函数的图象的对称轴是直线_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，对称中心是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） ； 【解析】 （1） 因为函数 的图象的一条对称轴是直线， 则， 所以， 因为 ，则. （2） 要使，必有，所以， 故函数 的图象的对称轴是直线. 因为函数 的图象与 轴的交点为对称中心，令， 即， 所以， 即. 故函数 的图象的对称中心是. 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取得最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0. ［跟踪训练3］．函数的图象的对称轴为直线_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】由 ，，解得，， 所以函数 的图象的对称轴为直线，. 课堂巩固 自测 1．下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为, . 又因为当 时，单调递增,所以 ,即 .故选. 2．（多选）函数，的图象的一条对称轴是（ ） A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】BC 【解析】选.由，，得，，故函数，的图象的对称轴是直线，.所以直线,直线 都是函数，的图象的对称轴. 3．函数的增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 , 【解析】令， 得， 即 的增区间是. 4．函数的图象的对称中心为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,， 【解析】由，，得，，故函数 的图象的对称中心为，. 1.已学习：（1）正弦函数、余弦函数的单调性. （2）利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小. （3）正弦函数、余弦函数的对称性. 2.须贯通：（1）求函数单调区间的整体代换法： 把 看成一个整体,解出的范围即可. （2）比较三角函数值大小的方法： 先转化为同一单调区间上的同名三角函数值，再利用单调性作出判断. （3）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0. 3.应注意：单调区间不要漏写. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为 在 内单调递增，在 内单调递减，且 ， ，所以有 ， ,故，错误；因为 在 内单调递减，且 ， ,所以有 ， ,故 错误,正确. 2．函数图象的一条对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由，得，结合选项可知，满足条件. 3．函数的最小正周期为 ，则其增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题得 ，所以. 所以. 由， 得. 4．[（2025·淮安期末）]已知函数，则在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增 【答案】D 【解析】选.令 ,，得,，令 ,，得,，则 的增区间为,，减区间为,，又因为,所以 在,上单调递减，在,上单调递增，即 在 上先减后增.故选. 5．（多选）如果函数的图象关于直线 对称，那么取最小值时， 的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】选.由函数 的图象关于直线 对称，可得 ，，即 ，， 当 取最小值时， ，即，或，即. 故 取最小值时， 的值为. 6．（多选）关于函数，下列选项中说法错误的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于原点对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2 【答案】ACD 【解析】选.因为函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，故 错误；因为，所以 为奇函数，图象关于原点对称，故 正确；的最小正周期为 ，故 错误；的最大值为1，故 错误. 7．将，，按从小到大的顺序排列为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 ， ，， 在 上单调递增， 且， 所以， 即. 8．已知函数在上单调递增，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】当 时，单调递增，可得 ①，当 时，显然单调递增，要使函数在 上单调递增，需使 ②，由①②可得. 9．函数,的增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,； 【解析】, 令 ,, 即当 ,时， 单调递减. 又 ,所以 的减区间为， 同理得 的增区间为. 10．（13分）已知函数,,若的图象关于点，对称，且图象上两个相邻的最高点的距离为 .求： （1） 的解析式;（6分） （2） 的增区间.（7分） 【答案】 （1） 解：依题意 ，所以, 则, 又 的图象关于点，对称， 所以 ,, 得 ,, 又,所以, 所以. （2） 令 ,, 解得 ,,所以 的增区间为，. B 能力提升 11．已知函数，若的图象关于直线对称，则的一个增区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为 的图象关于直线 对称，则 ，，所以 ，， 又因为，所以， 所以. 由，， 得，. 当 时，得. 即 的一个增区间可以是. 12．（多选）已知函数，则（ ） A. 函数的最大值为3 B. 函数是偶函数 C. 函数的图象关于直线 对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABC 【解析】选 选项，当 时，， 当 时，， 又函数的一个周期为 ，可得函数 的最大值为3，故 正确； 选项，由， 知 为偶函数，故 正确； 选项，， 故函数 的图象关于直线 对称，故 正确； 选项，由 选项得，当 时，不单调，故 错误.故选. 13．已知在区间,上单调递增，则 的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】对于，令，， 则，因为,， 所以,,结合正弦函数的单调性可知 解得 又，所以,. 14．[（2025·连云港期末）]（15分）已知函数的最大值为，最小值为，. （1） 求，的值；（4分） （2） 求函数的最小值，并求出对应的的值；（5分） （3） 求函数的增区间.（6分） 【答案】 （1） 解：因为函数 的最大值为，最小值为， 所以 解得 （2） 由（1）知， 当 ，，即 ，时，取得最小值， 所以 的最小值为，对应的 的值为. （3） 令 ，，解得 ，， 故函数 的增区间为 ，，. C 素养拓展 15．（15分）已知函数． （1） 求函数的最小正周期和减区间；（7分） （2） 设，若对任意的,，存在，使得，求实数的取值范围．（8分） 【答案】 （1） 解：函数 的最小正周期为 ， 令 ,， 解得,， 所以函数 的减区间为,. （2） , 由于，所以,， 故原题等价于对任意的,， 存在,，使得， 由题意，首先，当,时，,， 而, 又函数 在,上单调递减， 在 ,上单调递增， 所以，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围为,. 第4课时 正切函数的图象与性质 新课导入 同学们，三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质． 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 新知学习 探究 一 函数的图象与性质 思考1．正切函数的定义域是什么？ 提示 ,. 思考2．回忆诱导公式二与诱导公式四中的正切公式，你能说明正切函数有什么性质？ 提示 说明是奇函数,说明是周期函数. ［知识梳理］ 解析式 图象 定义域 值域 最小正周期 ①_ _ _ _ _ _ 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 上都单调递增 对称性 对称中心, 【答案】； , ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． （1） 正切函数的定义域和值域都是.（ ） （2） 正切函数是定义域上的增函数．（ ） （3） 正切函数的对称中心为，．（ ） （4） 存在某个区间，使正切函数单调递减．（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） × （4） × 2．函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，所以，,则函数 的定义域为. 3．函数,的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】根据正切函数图象性质可知，在，上单调递增，所以函数在 上单调递增，因为,，所以该函数的值域为. 4．已知函数，的图象的对称中心是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 ，， 【解析】由函数 可得， ，， 解得 ，， 即 的图象的对称中心是 ，，. 对正切函数的性质与图象的理解 （1）正切曲线是由相互平行的直线 ,所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线称为正切曲线的渐近线，与正切曲线无限接近但不相交. （2）正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间 ,上单调递增，不能说正切函数在其定义域上单调递增. （3）正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间上都是递增的，并且每个单调区间均为开区间. 二 正切函数的奇偶性和周期性 ［例1］ （1） 函数是（ ） A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的奇函数 C. 最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为 的偶函数 （2） 已知函数，且，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 函数，定义域为 ，，关于原点对称， ，函数为奇函数，其最小正周期 . （2） 由题意，可得，， 所以， 由，得. 解决正切函数有关的周期性、奇偶性问题的策略 （1）一般地，函数的最小正周期，常常利用此公式来求最小正周期． （2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断与的关系． ［跟踪训练1］．函数是（ ） A. 周期为的偶函数 B. 周期为的奇函数 C. 周期为的偶函数 D. 周期为的奇函数 【答案】A 【解析】选.由 解得，,的定义域是，的定义域关于原点对称.，所以 是偶函数，排除,选项;，所以 的一个周期为，选项正确; ， 所以 不是 的周期，选项错误. 三 正切函数的单调性及应用 角度1 求正切型函数的单调区间 ［例2］ 函数的减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ， 【解析】函数，由正切函数的性质知，解得, 所以函数的减区间为 ，. 求函数 的单调区间的方法 的单调区间的求法是当时，把 看成一个整体，解不等式 ,即可.当时，先用诱导公式把的系数化为正值再求单调区间. 角度2 比较大小 ［例3］ 不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“ ”、“ ”连接起来． （1） _ _ _ _ ． （2） _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） ，而 ，因此 ，所以 . （2） ， ， 而，函数 在，上单调递增， 则， 所以. 运用正切函数单调性比较大小的方法 （1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. （2）运用正切函数单调性比较大小关系. 角度3 值域与最值 ［例4］ （1） 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. （2） 函数的最小值为_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 2 【解析】 （1） 因为，所以,又， 所以. （2） 因为，由于，所以当 时，函数取最小值2. 与正切有关的函数值域的求法 （1）对于型的函数，可以把 看成整体，结合图象，利用单调性求值域． （2）对于型的函数，可以把看成整体，利用配方法求值域． ［跟踪训练2］． （1） 设，,，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. （2） 函数在,上的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （3） 若函数在上为增函数，则实数 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） （3） 【解析】 （1） 选.根据正切函数的性质，可知函数 在,上单调递增且，在,上单调递增且，因为 ，所以,,所以. （2） 由,， 可得,，根据正切函数的性质，可得，即函数 在,上的值域为. （3） 因为 在 上为增函数，则，又，则， 由题可得，，解得， 综上， 的取值范围是. 课堂巩固 自测 1．（教材P204T2改编）函数的定义域为（ ） A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 【答案】C 【解析】选.由题意可得，且 ,，即， 所以,,. 2．（多选）已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 是奇函数 D. 【答案】BD 【解析】选.对于,由，得函数 的最小正周期为 ，故 错误； 对于,由 ,，解得 ,，所以 的定义域为，故 正确； 对于,由 知 的定义域不关于原点对称，所以 不具有奇偶性，故 错误； 对于,由 知，在,上单调递增，所以，故 正确. 3．（教材P225T14改编）函数的增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】对于函数， 由， 可得， 所以函数 的增区间为 ,. 4．已知函数在闭区间,上的最大值为7，最小值为3，求实数,的值. 解：取，解得，所以 在,上单调递增，即 在,上单调递减，因为 在闭区间,上有最大值为7，最小值为3，所以，且，，即 解得 因为，所以，故，. 1.已学习：正切函数图象的画法；正切函数的性质. 2.须贯通：研究函数的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视 为一个整体，借助正切函数的性质与图象解决有关问题. 3.应注意：（1）函数的最小正周期，而不是；（2）函数在定义域内不单调，对称中心为,. 课后达标 检测 A 基础达标 1．函数的最小正周期为（ ） A. 16 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】选.的最小正周期为． 2．函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，所以.又 在,上单调递增,所以函数 的值域为. 3．与函数的图象不相交的一条直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由正切函数图象及性质得，得，结合选项得直线 为函数 的图象的一条渐近线，即直线 与函数 的图象不相交． 4．比较 ，， 的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选，因为当 时，函数 单调递增，且 ，所以 ，即 . 5．已知函数在,上是增函数，则 的取值范围是（ ） A. B. , C. D. , 【答案】A 【解析】选.根据题意，，解得,又，则；当,时，,，由题可得,,解得.综上所述， 的取值范围是. 6．（多选）已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于原点对称 C. 有最小值 D. 在,上单调递增 【答案】BD 【解析】选.对于，由，得 的一个周期为，所以 错误；对于，由题意得 即 解得,， 所以 的定义域关于原点对称，且，所以 的图象关于原点对称，所以 正确；对于，由，,得，可得，所以 错误；对于，由,，得,，则函数 单调递增，所以 在,上也单调递增，所以 正确. 7．已知函数在上的最大值为4，则实数的值为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】函数 在 上单调递增，则当 时，，解得. 8．若函数的最小正周期为1，则在上的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为函数 的最小正周期为1，所以，解得 ，所以， 因为，所以，则. 9．[（2025·淮安期末）]已知函数,,，若函数在上单调递减，则 的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 ，函数 的图象为开口向上，对称轴为直线 的抛物线，若函数 在 上单调递减，则，即，又，所以. 10．（13分）已知函数.求: （1） 函数的定义域及最小正周期；（6分） （2） 函数的单调区间.（7分） 【答案】 （1） 解：由, 得,，所以函数 的定义域是,，又 ，所以函数 的最小正周期是 . （2） 由,，得,， 所以函数 的增区间是,,，无减区间. B 能力提升 11．已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ） A. , B. C. , D. 【答案】A 【解析】选.设，作出 的简图，如图，不妨设，由正弦函数的对称性可知，由图可知，即，解得，所以 的取值范围是,. 12．[（2025·常州期末）]（多选）关于函数，下述四个结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在区间,上单调递增 C. 在，上有3个零点 D. 的最小正周期为 【答案】AB 【解析】选.的定义域为，关于原点对称，，所以 是偶函数，正确;当 时，单调递增，正确;当 时，，所以 在，上有无数个零点，则 错误;，，所以 不是 的最小正周期，错误. 13．（13分）已知函数,． （1） 若，求函数的定义域及最小正周期；（6分） （2） 若函数在区间，上单调递增，求 的取值范围．（7分） 【答案】 （1） 解：当 时，，则函数 的最小正周期 .由 ,， 解得 ，，所以函数 的定义域为． （2） 由,， 得,，由函数 在区间,上单调递增，得，解得，又， 所以 的取值范围为． 14．（15分）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”． （1） 试判断是否为“函数”，简要说明理由；（5分） （2） 若是定义在区间,,上的“函数”，求实数的取值范围.（10分） 【答案】（1） 解：根据题意，，可得，故 是“函数”. （2） 因为 为“函数”，所以存在,,，使，即，即 在,,上有解． 因为， 所以,， 可得，结合 在,,上恒成立，可得，在 上恒成立，可得, 综上所述，，即实数 的取值范围是,. C 素养拓展 15．函数,经过点，，图象如图所示，图中阴影部分的面积为 ，则_ _ _ _ . 【答案】 【解析】由图可知 ,即 ,解得，则， 依题意，， 由于,，所以,， 所以. 则 . 学科网（北京）股份有限公司 $