7.3.2 第2课时 正弦、余弦函数的图象与性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学正弦、余弦函数的图象与性质，通过回顾函数图象引入，系统梳理定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性及对称性等核心知识点，搭建从图象观察到性质应用的学习支架。 资料以表格对比呈现性质，结合例题解析与母题探究，通过换元法求单调区间、图象分析值域等实例，培养数学运算与直观想象素养。课中辅助教师分层教学，课后通过分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第2课时　正弦、余弦函数的图象与性质 学习任务 核心素养 1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点) 1．通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养． 2．借助函数图象，培养直观想象素养． 回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数y＝sin 的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心． 知识点　正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 图 象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 最 值 当x＝2kπ＋(k∈Z) 时，取得最大值1； 当x＝2kπ－(k∈Z) 时，取得最小值－1 当x＝2kπ(k∈Z)时， 取得最大值1； 当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时， 取得最小值－1 周期性 周期函数，最小正周期T＝2π 周期函数，最小正周期T＝2π 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于y轴对称 单 调 性 在 (k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上单调递减 对 称 性 关于x＝kπ＋(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(k∈Z)成中心对称 关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于(k∈Z)成中心对称 1．正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？ [提示]　不正确．正弦函数在每个闭区间(k∈Z)上单调递增，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，并不是在整个定义域上是减函数． 2．y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0<m<n<2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？ [提示]　由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝sin 是奇函数． (　　) (2)函数y＝3sin 2x是周期为π的奇函数． (　　) (3)y＝sin x在上单调递减． (　　) (4)y＝cos x的值域为(－1，1)． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．函数y＝sin x＋1的值域是________． 　[因为sin x∈[－1，1]，所以sin x∈，所以sin x＋1∈．] 3．函数y＝sin (2x＋π)的对称中心是______． ，k∈Z　[y＝sin (2x＋π)＝－sin 2x， 由2x＝kπ得x＝(k∈Z)， 所以y＝sin (2x＋π)的对称中心为，k∈Z．] 类型1　求正弦、余弦函数的单调区间 【例1】求函数y＝2sin 的单调区间． [解]　令z＝x－，则y＝2sin z． ∵z＝x－是增函数， ∴y＝2sin z是增(减)函数时， 函数y＝2sin 也是增(减)函数． 由z∈(k∈Z)， 得x－∈(k∈Z)， 即x∈(k∈Z)， 故函数y＝2sin 的增区间为(k∈Z)． 同理可求函数y＝2sin 的减区间为(k∈Z)． [母题探究] 求函数y＝2sin 的减区间． [解]　y＝2sin ＝－2sin ， 令z＝x－，而函数y＝－2sin z的减区间是(k∈Z)． ∴原函数递减时，得－＋2kπ≤x－＋2kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)． ∴原函数的减区间是 (k∈Z)． 　求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上． [跟进训练] 1．求下列函数的增区间： (1)y＝cos 2x；(2)y＝sin ，x∈． [解]　(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)， 所以kπ－≤x≤kπ(k∈Z)， 所以函数y＝cos 2x的增区间为(k∈Z)． (2)因为y＝sin ＝－sin ， 所以函数y＝sin 的增区间就是函数y＝sin 的减区间， 由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得 2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z． 因为x∈， 所以所求函数的增区间为． 类型2　比较三角函数值的大小 【例2】【链接教材P202例5】 用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 194°与cos 160°； (2)cos ，sin ，－cos ； (3)sin 与sin ． [解]　(1)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (90°＋70°)＝－sin 70°． ∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增， ∴sin 14°<sin 70°， ∴－sin 14°>－sin 70°， ∴sin 194°>cos 160°． (2)sin ＝cos ，－cos ＝cos ， ∵0<π－<<<π， 函数y＝cos x在(0，π)上单调递减， ∴cos >cos >cos ， 即－cos >sin >cos ． (3)cos ＝cos ＝sin ． ∵0<<<，函数y＝sin x在内单调递增， ∴sin <sin ，∴cos <sin ． 而0<cos <sin <1， 函数y＝sin x在(0，1)内单调递增， ∴sin <sin ． 【教材原题·P202例5】 例5不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)sin 与sin ； (2)cos 与cos ． 解：(1)因为y＝sin x在区间上单调递增，且－>－， 所以sin >sin ． (2)因为y＝cos x在区间上单调递减，且 <， 所以cos >cos ． 　比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数； (2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小． [跟进训练] 2．比较大小：(1)cos 与cos ； (2)sin 与cos ． [解]　(1)cos ＝cos ＝cos ＝ －cos ，而cos ＝－cos ， ∵0<<<，∴cos >cos ． ∴－cos <－cos ， ∴cos <cos ． (2)∵cos ＝sin ， <<<π， 又y＝sin x在上单调递减， ∴sin >sin ＝cos ， 即sin >cos ． 类型3　与三角函数有关的值域问题 【例3】(1)求函数y＝2sin 的最大值和最小值； (2)求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈的值域． [解]　(1)∵－≤x≤， ∴0≤2x＋， ∴0≤sin ≤1， ∴当sin ＝1时，取得最大值2； 当sin ＝0时，取得最小值0． (2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3 ＝2sin2x＋2sinx＋1 ＝2＋． ∵x∈，∴≤sin x≤1． 当sin x＝1时，取得最大值5； 当sin x＝时，取得最小值． ∴函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3的值域为． [母题探究] 1．(变条件)将本例(1)中“－≤x≤”改为“－≤x≤”，求y＝2sin 的最值． [解]　∵－≤x≤， ∴－≤2x＋， ∴－≤sin ≤1， ∴当sin ＝1时，取得最大值2， 当sin ＝－时，取得最小值－． 2．(变条件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sinx＋3”改为“y＝－2cos2x＋2cosx＋3”，其他条件不变，求值域． [解]　y＝－2＋， ∵x∈，∴－≤cos x≤． 当cos x＝时，取得最大值． 当cos x＝－时，取得最小值． ∴函数y＝－2cos2x＋2cosx＋3的值域为． 　1．求形如y＝A sin x＋B或y＝A cos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间． 2．求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性． [跟进训练] 3．求下列函数的值域． (1)y＝cos ，x∈； (2)y＝cos2x－4cosx＋5． [解]　(1)由y＝cos ，x∈可得x＋∈， 因为函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为． (2)y＝cos2x－4cosx＋5， 令t＝cos x，则－1≤t≤1． y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1， 当t＝－1，函数取得最大值10； t＝1时，函数取得最小值2， 所以函数的值域为[2，10]． 1．函数y＝－cos x在区间上是(　　) A．增函数　　　　　　　 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数 C　[因为y＝cos x在区间上先增后减， 所以y＝－cos x在区间上先减后增．] 2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　) A．y轴 B．x轴 C．直线x＝ D．直线x＝π C　[当x＝时，y取最大值，所以x＝是一条对称轴．] 3．函数y＝sin 的增区间是________． (k∈Z)　[令－＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤＋kπ(k∈Z)．] 4．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________． cos 150°＜cos 760°＜sin 470°　[cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0， cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°， 所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°．] 5．(教材P212习题7.3T4改编)函数y＝2cos ，x∈，函数的最小正周期为______，值域为________． π　[－1，2]　[由T＝知T＝＝π，即函数最小正周期为π． ∵x∈，∴2x＋∈， ∴cos ∈， ∴函数的值域为．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．如何求函数y＝sin x，x∈上的值域？ [提示]　借助函数y＝sin x在上的单调性求解． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B，x∈R的最大值为A＋B吗？ [提示]　不一定．A>0时最大值为A＋B，A<0时最大值应为B－A． 3．如何比较三角函数值的大小？ [提示]　若函数名称相同，直接利用诱导公式化到同一个单调区间上利用函数单调性比较．若函数名称不同，应先化为同名三角函数，再化到同一单调区间，最后比较大小． 4．求函数单调区间时若x的系数为负，应怎样处理？ [提示]　利用诱导公式将x的系数化为正再求单调区间． 课时分层作业(三十七)　正弦、余弦函数的图象与性质 一、选择题 1．(多选题)函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的可能取值为(　　) A．－ B．－ C．0 D． ABC　[y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以a∈(－π，0]． 故选ABC．] 2．下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° C　[由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°．故选C．] 3．y＝sin2x－4sinx＋5，x∈的值域为(　　) A．(－1，1) B．(2，3) C．(－2，5] D．[2，5] D　[令t＝sin x，由x∈，得0≤t≤1． 所以y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1． 当t＝0，即sin x＝0时，最大值为5， 当t＝1，即sin x＝1时，最小值为2． 所以该函数的值域是[2，5]．] 4．设函数f(x)＝sin ωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．] 5．下列函数中，周期为π，且在区间上单调递减的是(　　) A．y＝sin B．y＝cos x C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x D　[A选项，函数y＝sin 的周期为2π，不符合条件； B选项，函数y＝cos x的周期为4π，不符合条件； C选项，函数y＝sin 2x的周期为π，但是在上不单调，不符合条件； D选项，函数y＝cos 2x的周期为π，且在上单调递减，符合条件．故选D．] 二、填空题 6．函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合是________． 　[当＝2kπ＋，即x＝4kπ＋，k∈Z时，ymax＝1，所以函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合为 ．] 7．函数f(x)＝3sin 在区间上的值域为________． 　[由0≤x≤，得0≤2x≤π，于是 －≤2x－，所以－≤sin ≤1， 即－≤3sin ≤3．] 8．y＝的定义域为________，增区间为________． [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)　(k∈Z)　[由题意知sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)． ∵当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增， ∴其增区间为(k∈Z)．] 三、解答题 9．(1)比较sin 与sin 的大小； (2)求函数y＝2sin (－x)的增区间． [解]　(1)∵sin ＝－sin π， sin ＝－sin ＝－sin π， 由于<π<π<π，且y＝sin x在上单调递减，∴sin π>sin π， ∴－sin π<－sin π， 即sin <sin ． (2)∵y＝2sin ＝－2sin x， ∴函数y＝2sin (－x)的增区间就是函数u＝2sin x的减区间． ∴函数y＝2sin (－x)的增区间为． 10．设函数f(x)＝sin ，x∈R． (1)求函数f(x)的最小正周期和增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． [解]　(1)最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函数f(x)的增区间是(k∈Z)． (2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤， ∴当t＝，即x＝时， ymin＝＝－1， 当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝． 11．(多选题)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 ABC　[∵y＝sin ＝－cos x，∴T＝2π，即A正确．y＝cos x在上单调递减，则y＝－cos x在上单调递增，即B正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cos x为偶函数，即D不正确．] 12．已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos B　[对于A，f(x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sin π＝0，所以函数f(x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f(x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cos π＝－1，所以函数f(x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数f(x)＝sin 和f(x)＝cos 的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D．综上，故选B．] 13．函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最小值为________，最大值为________． －　[令t＝cos x，x∈， ∴t∈， y＝3t2－4t＋1＝3－． ∵y＝3－在t∈上单调递减， ∴ymax＝3×－＝， ymin＝3×－＝－．] 14．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上单调递增，则ω的取值范围是______． 　[由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－≤x≤， ∴f(x)的增区间是，k∈Z． 根据题意， 得⊆， 从而有 解得0＜ω≤． 故ω的取值范围是．] 15．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系． [解]　由f(x＋1)＝－f(x)， 得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期． 因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上单调递增， 所以函数f(x)在[0，1]上单调递增． 又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞， 即＞α＞－β＞0， 因为y＝sin x在上单调递增， 所以sin α＞sin ＝cos β， 又sin α∈(0，1)，cos β∈(0，1)， 所以f(sin α)＞f(cos β)． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $