7.1.1 任意角-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

第7章 三角函数 7.1 角与弧度 7.1.1 任意角 新课导入 同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出 范围的角，而且旋转的方向也不相同.为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围. 学习目标 1.理解任意角的概念,能区分各类角. 2.理解象限角的概念,掌握终边相同的角的意义与表示. 新知学习 探究 一 任意角的概念 思考1．在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是 ． 思考2．小明要将射线绕着端点旋转到位置.请问有几种旋转方向？ 提示 两种，分别为顺时针方向与逆时针方向. 思考3．小明要将射线绕着端点旋转到位置.请问旋转的角度确定吗？ 提示 不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍. ［知识梳理］ 1．任意角 （1） 角的表示 如图,射线绕端点,按箭头所示方向旋转到便形成角 .点是角 的①_ _ _ _ ,射线和分别是角 的②_ _ _ _ 和③_ _ _ _ . （2） 角的分类 按旋转方向,角可以分为三类： 名称 定义 图示 正角 按④_ _ _ _ _ _ 方向旋转所形成的角 负角 按⑤_ _ _ _ _ _ 方向旋转所形成的角 零角 射线没有作任何旋转形成的角 【答案】（1） 顶点；始边；终边 （2） 逆时针；顺时针 2．两角的和与差 对于两个任意角 , ,将角 的终边旋转角 （当 是正角时,按逆时针方向旋转；当 是负角时,按顺时针方向旋转；当 是零角时,不旋转）,这时终边所对应的角称为 与 的和,记作⑥_ _ _ _ _ _ .射线绕端点分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为⑦_ _ _ _ _ _ _ _ .角 的相反角记为 ,于是有⑧_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 互为相反角； ［例1］ （1） 若挂钟时针走过3个小时，则时针转过的角度为（ ） A. B. C. D. （2） （多选）下列说法中正确的是（ ） A. 小于 的角是钝角、直角或锐角 B. 始边和终边重合的角是零角 C. 钟表的时针旋转而成的角是负角 D. 零角的始边和终边重合 【答案】（1） C （2） CD 【解析】 （1） 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为 . （2） 对于， 角是小于 的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故 不正确；对于，始边和终边重合的角相差 的整数倍，可能是零角，也可能不是零角，故 不正确；对于，钟表的时针是按顺时针方向旋转的，因而所成的角是负角，故 正确；对于，零角的始边未做任何旋转，因而和终边重合，故 正确. 处理与角的概念有关问题的关键 正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外,需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可. ［跟踪训练1］． （1） 若射线绕端点逆时针旋转 到达位置,由位置顺时针旋转 到达位置,则（ ） A. B. C. D. （2） 经过2个小时，钟表的分针转过的角度为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.各角和的旋转量等于各角旋转量的和,所以 .故选. （2） 钟表的分针是顺时针旋转，因此转过的角度是负的，而 ，故钟表的分针转过的角度是 . 二 终边相同的角 思考．如图所示， 角的终边是 ， 角的终边与 角的终边有什么关系？如何表示与 角终边相同的角？ 提示 相同.. ［知识梳理］ 一般地,与角 终边相同的角的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 , ［例2］ （对接教材例1）已知 ，在与 终边相同的角中，求满足下列条件的角. （1） 最小的正角； （2） 最大的负角； （3） 在 到 范围内的角. 【答案】 ［例2］ 【解】 因为 ， 即 角与 角的终边相同， 所以与角 终边相同的角的集合是 ,}, （1） 最小的正角为 . （2） 最大的负角为 . （3） 之间的角分别是 ， ， . （1）写出终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在 到 范围内相应的角； ②由终边相同的角的表示方法写出角的集合； ③根据条件能合并的一定合并,使结果简洁. （2）终边相同的角常用的三个结论 ①终边相同的角之间相差 的整数倍； ②终边在同一直线上的角之间相差 的整数倍； ③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 的整数倍. ［跟踪训练2］． （1） 下列角的终边与 角的终边在同一直线上的是 （ ） A. B. C. D. （2） （多选）已知角 与 角的终边相同，则角 可以是 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） ABD 【解析】 （1） 选.与 角的终边在同一直线上的角可表示为 ,,当 时， . （2） 选.与 角的终边相同的角的集合为 ,, 当,1,3时， ， , ,故选. 三 象限角 ［知识梳理］ 以角的顶点为坐标原点,角的始边为①_ _ _ _ 轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样,角的②_ _ _ _ （除端点外）在第几象限,就说这个角是第几③_ _ _ _ _ _ ；如果角的终边在④_ _ _ _ _ _ 上,称这个角为轴线角. 【答案】； 终边； 象限角； 坐标轴 点拨 象限角的条件是角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 轴正半轴重合.轴线角不属于任何一个象限. ［例3］ （1） 若 是第三象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第一或第二象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角 （2） 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ） A. B. C. , D. , 【答案】（1） C （2） C 【解析】 （1） 因为 是第三象限角，则 ,， 故 ,， 当 为偶数时，在第三象限； 当 为奇数时，在第一象限. （2） 在 到 的范围内， 题图中阴影部分区域表示的角的范围是 . 所以终边在阴影部分区域的角的集合为 ,. 母题探究．若将本例（2）改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ， 【解析】由题图可知满足题意的角的集合为 ， ， ， ， ，， 即所求的集合为 ，. （1）给定一个角判断它是第几象限角的思路 判断角 是第几象限角的常用方法是将 写成 （其中, 在 到 范围内）的形式,观察角 的终边所在的象限即可. （2）表示区域角的3个步骤 ①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的在 到 范围内的角 和 ,写出最简区间,其中 ; ③起始、终止边界对应的角 , 再加上 的整数倍,即得区域角集合. ［跟踪训练3］． （1） 若 是第四象限角,则下列角中是第一象限角的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知集合 ,，则角 的终边落在阴影处（包括边界）的区域是 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） B 【解析】 （1） 选.因为 是第四象限角,所以可令 ,结合选项可知, 为第一象限角；将 代入其他选项知均不正确，故选. （2） 选.令，则 ，故 选项符合. 课堂巩固 自测 1．已知角，则 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】选.因为 , ，所以 的终边在第二象限. 2．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 第三象限角大于第一象限角 C. 若角 为第三象限角，那么为第二象限角 D. 若角 与角 的终边在一条直线上，则 【答案】AD 【解析】选.对于, , ，是第二象限角，故 正确；对于， 是第三象限角， 是第一象限角，但 ，故 错误；对于， 是第三象限角，但 是第四象限角，故 错误；对于，若角 与角 的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差 的整数倍，故 正确.故选. 3．[（2025·盐城期末）]终边在直线上的角 的集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 ， 【解析】在 范围内，终边在直线 上的角有两个，即 ， （如图）， 所以终边在直线 上的角的集合是 ， ，} ， ， ，. 4．已知角 的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角 的集合是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 , 1.已学习：（1）任意角的概念.（2）终边相同的角与象限角.（3）区域角的表示. 2.须贯通：利用数形结合判断角所在的象限、表示区域角；对含的式子，必要时进行分类讨论. 3.应注意：（1）锐角与小于 角的区别.（2）终边相同的角表示中漏掉. 课后达标 检测 A 基础达标 1．与 角终边相同的最小正角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为 , 所以与 角终边相同的最小正角的度数是 . 2．与 角的终边相同的角的集合是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】选.因为 ，所以 角与 角的终边相同，所以与 角的终边相同的角的集合为 ，.故选. 3．“ 为三角形的一个内角”是“ 为第一、二象限角”的 （ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】选.因为 为三角形的一个内角，取，此时 不是第一、二象限角，故“ 为三角形的一个内角”推不出“ 为第一、二象限角”；当 为第一、二象限角时，不妨取，此时 不是三角形的一个内角，故“ 为第一、二象限角”推不出“ 为三角形的一个内角”；故“ 为三角形的一个内角”是“ 为第一、二象限角”的既不充分又不必要条件.故选. 4．已知角 与角 的终边关于轴对称，则 与 的关系为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】选.方法一（特值法）：令 ， ，则角 与角 的终边关于 轴对称，且 . 方法二（直接法）：因为角 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，，即 ，. 5．已知 为第三象限角，则为（ ） A. 第二或第四象限角 B. 第三或第四象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第二或第三象限角 【答案】A 【解析】选.因为 ，，所以 ，， 当 时， ,，所以 为第二象限角； 当 时， ，所以 为第四象限角. 综上，为第二或第四象限角.故选. 6．（多选）已知 是锐角，则（ ） A. 是第三象限角 B. 是小于 的正角 C. 是第一或第二象限角 D. 是锐角 【答案】ABD 【解析】选.由题知，因为 是锐角，所以 ，对于， ，故 正确；对于，， ，故 正确，错误；对于， ，故 正确.故选. 7．终边在坐标轴上的角的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ， 【解析】终边在 轴上的角的集合为 ，，终边在 轴上的角的集合为 ，，所以终边在坐标轴上的角的集合为 ，. 8．若角 , 的终边互为反向延长线,且,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 , 【解析】先求出 的一个角为 ,再由终边相同的角的概念知 ,. 9．[（2025·南京月考）]如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ， 【解析】由题图知，与阴影部分下侧终边相同的角为 且，与上侧终边相同的角为 且，所以题图中阴影部分（包括边界）的角 的集合为，． 10．（13分）已知角 . （1） 把 改写成的形式，并指出它是第几象限角；（6分） （2） 求 ,使 与 终边相同，且 .（7分） 【答案】 （1） 解：由 除以 ，得商为5，余数为 . 所以取, ,则 . 又 是第三象限角，所以 为第三象限角. （2） 与 终边相同的角为. 令， 解得. 所以,,. 将 的值代入 中，得角 的值为 ， ， . B 能力提升 11．设 为小于 的角， 为第一象限角，则（ ） A. 为锐角} B. 为小于 的角} C. 为第一象限角} D. 【答案】D 【解析】选. 为小于 的角， 为第一象限角， 则. 12．（多选）下列条件中，能使 和 的终边关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.假设 ， 为 内的角，如图所示，因为 ， 的终边关于 轴对称，所以 ，所以 满足条件;结合终边相同的角的概念，可得，所以 满足条件，，都不满足条件． 13．已知角 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么 的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 , 【解析】已知阴影部分为对顶角区域，角 的终边在图中阴影所表示的范围为 ,. 14．（13分）在集合 ，中， （1） 有几种终边不相同的角？（4分） （2） 有几个在 到 范围内的角？（4分） （3） 写出其中的第三象限角.（5分） 【答案】（1） 解：由，，，，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种. （2） 由 ，， 得，， 故，，，，0，1，2，3. 所以在 到 范围内的角共有8个. （3） 其中的第三象限角为 ，. C 素养拓展 15．（13分）如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点按逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过 角,黑蚂蚁每秒爬过 角（其中）,如果两只蚂蚁都在第14秒回到点,并且在第2秒时均位于第二象限,求 , 的值. 解：根据题意可知 , 均为 的整数倍,故可设 ,, ,. 由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,又由 ,知 , 进而知 , 都是钝角, 即 , 即 , 所以 ,, ,, 所以,,,, 因为 ,所以, 所以,, 所以 , . 学科网（北京）股份有限公司 $