7.1.1 任意角-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件围绕“任意角”展开，涵盖角的概念、分类、象限角及终边相同角等核心知识。通过体操旋转等现实情境导入，衔接初中0°~360°角知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学运算和逻辑推理素养为导向，通过“思考”“体验”及变式训练（如时钟角计算、区域角表示）深化理解。采用情境导学与合作探究结合，小结明确方法，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源。

第7章　 三角函数 7.1　角与弧度 7.1.1　任意角 学习任务 核心素养 1．了解任意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念． 2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点) 3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点) 1．通过终边相同角的计算，培养数学运算素养． 2．借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养． 7.1.1　任意角 初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°～360°范围内的角．但是现实生活中随处可见超出0°～360°范围的角．例如体操中有“前空翻转体540°”，主动轮和被动轮的旋转方向不一致．如何定义角才能解决这些问题呢？ 必备知识·情境导学探新知 7.1.1　任意角 知识点1　任意角的概念 (1)角的概念：一个角可以看作平面内__________绕着__________从一个位置______到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的__________和__________称为角的始边和终边． 一条射线 它的端点 旋转 开始位置 终止位置 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按____________旋转所形成的角 负角 按____________旋转所形成的角 零角 一条射线____________旋转，称它形成了一个零角 逆时针方向 顺时针方向 没有作任何 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 思考　1．如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ [提示]　不一定．若角的终边未作旋转，则这个角是零角；若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 (3)两角的和、互为相反角、两角的差： 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时________________称为α与β的和，记作α＋β．射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为_____，于是有α－β＝____________． 终边所对应的角 －α α＋(－β) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 体验　1．如图，角α＝________，β＝________． 240° 240°　－120°　[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°．] －120° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 知识点2　象限角与轴线角 (1)象限角：以角的______为坐标原点，角的______为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角． (2)轴线角：终边在________上的角． 体验　2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)180°角是第二象限角． (　　) (2)－30°角是第四象限角． (　　) (3)第一象限内的角都小于第二象限内的角． (　　) 顶点 始边 坐标轴 × √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 知识点3　终边相同的角 与角α终边相同的角的集合为_____________________________． 思考　2．终边相同的角一定相等吗？其表示方法唯一吗？ [提示]　终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一． {β|β＝k·360°＋α，k∈Z} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 体验　3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为_____________ ___________________． {β|β＝k·360°－215°，k∈Z}　[由终边相同的角的表示可知与 －215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．] {β|β＝k·360° －215°，k∈Z} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 类型1　角的概念辨析 【例1】(1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°；②855°；③－510°． 关键能力·合作探究释疑难 ① 7.1.1　任意角 (1)①　[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确； ②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误； ③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误； ④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．] (2)[解]　作出各角的终边，如图所示： 由图可知： ①420°角是第一象限角． ②855°角是第二象限角． ③－510°角是第三象限角． 反思领悟　1．理解角的概念的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 2．象限角的判定方法 (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 (2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [跟进训练] 1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为______________． －100°　－1 200°　[时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于小时，故时针转过的角度为－×30°＝－100°；分针转过的角度为－×360°＝－1 200°．] －100° －1 200° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 类型2　终边相同的角与象限角 【例2】【链接教材P170例1】 已知α＝－1 910°． (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°； (3)若与α终边相同的最大负角、最小正角分别为θ1，θ2，求θ1＋θ2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [思路点拨]　(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可． (2)将θ写成θ＝β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k的不同取值即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [解]　(1)因为－1 910°＝－6×360°＋250°， 所以－1 910°角与250°角终边相同， 所以α＝－6×360°＋250°，它是第三象限角． (2)由(1)知令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝ －470°．故θ＝－110°或－470°． (3)因为与α终边相同的角为β＝k·360°＋250°(k∈Z)， 所以取k＝－1，0得与α终边相同的最大负角为θ1＝－110°，最小正角为θ2＝250°，所以θ1＋θ2＝140°． 【教材原题·P170例1】 例1 在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： (1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′． 分析：只需将这些角表示成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，然后根据α来确定它们所在的象限． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 解：(1)因为650°＝360°＋290°， 所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角． (2)因为－150°＝－360°＋210°， 所以－150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角． (3)因为－990°15′＝－3×360°＋89°45′， 所以－990°15′的角与89°45′的角终边相同，是第一象限角． 反思领悟　1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法． 2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 3．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [跟进训练] 2．在与10 030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)－360°～720°内的角． [解]　与10 030°角终边相同的角的一般形式为 β＝10 030°＋k·360°(k∈Z)． (1)由10 030°＋k·360°<0°， 得k·360°<－10 030°， 所以k<－， 又k∈Z，故所求的最大负角为β＝－50°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 (2)由－360°≤10 030°＋k·360°<720°， 得－10 390°≤k·360°<－9 310°， 又k∈Z，解得k＝－28，－27，－26． 当k＝－28时，β＝10 030°－28×360°＝－50°， 当k＝－27时，β＝10 030°－27×360°＝310°， 当k＝－26时，β＝10 030°－26×360°＝670°， 故所求的角β的值为－50°，310°，670°． 类型3　区域角的表示 【例3】已知，如图所示． (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [解]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； 终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． (2)由题干图可知，该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． [母题探究] 1．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [解]　在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z} ＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}． 故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}． 2．(变条件)若将本例改为如图所示的图形， 那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的 角的集合如何表示？ [解]　在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 反思领悟　表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [跟进训练] 3．写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [解]　法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成： ①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}． ②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}， ∴角α的集合应当是集合①与②的并集： {α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}． 法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}． 与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}， 结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}． 类型4　角，nα(n∈N*)所在象限的确定 【例4】【链接教材P170例2】 已知α是第二象限角，求角所在的象限． [解]　法一：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)． 当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得 n·360°＋45°<<n·360°＋90°， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 这表明是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得 n·360°＋225°<<n·360°＋270°， 这表明是第三象限角． ∴为第一或第三象限角． 法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角． [母题探究] 在本例条件下，求角2α的终边的位置． [解]　∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 【教材原题·P170例2】 例2 已知α与240°角的终边相同，判断是第几象限角． 解：由α＝k·360°＋240°(k∈Z)，可得 ＝k·180°＋120°(k∈Z)． 若k为偶数，设k＝2n，n∈Z，则 ＝n·360°＋120°(n∈Z)， 从而与120°角的终边相同，是第二象限角； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 若k为奇数，设k＝2n＋1，n∈Z，则 ＝n·360°＋300°(n∈Z)， 从而与300°角的终边相同，是第四象限角． 因此，是第二或第四象限角． 反思领悟　倍角、分角所在象限的判定思路 (1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况． (2)已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2；…；k被n除余n－1．然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 [跟进训练] 4．已知α与330°角的终边相同，判断是第几象限角． [解]　由α＝k·360°＋330°(k∈Z)，可得＝k·120°＋110° (k∈Z)． 若k＝3n(n∈Z)，则＝n·360°＋110°(n∈Z)，与110°角的终边相同，是第二象限角； 若k＝3n＋1(n∈Z)，则＝n·360°＋230°(n∈Z)，与230°角的终边相同，是第三象限角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 若k＝3n＋2(n∈Z)，则＝n·360°＋350°(n∈Z)，与350°角的终边相同，是第四象限角． 所以是第二或第三或第四象限角． 1．(多选题)以下说法，其中正确的有(　　) A．－75°角是第一象限角 B．265°角是第三象限角 C．475°角是第二象限角 D．－315°角是第一象限角 学习效果·课堂评估夯基础 √ BCD　[由终边相同角的概念知：BCD都正确．] √ √ 7.1.1　任意角 2．与45°角终边相同的角是(　　) A．－45°　　B．225°　　C．395°　　D．－315° √ D　[因为45°＝－315°＋360°，所以与45°角终边相同的角是 －315°．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 3．30°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________． －690°　[由题意知，所得角是30°－2×360°＝－690°．] －690° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 4．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝________． －960°　[∵角α与120°角的终边相同， ∴α＝k·360°＋120°，k∈Z． 又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，k∈Z，即－1 110°<k·360°<－750°，k∈Z，∴k＝－3． 当k＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°．] －960° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 5．(教材P171练习T5改编)已知0°≤α<360°，且α与800°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角． 80°　一　[因为800°＝360°×2＋80°，所以80°角与800°角终边相同，且0°≤80°<360°，故α＝80°，它是第一象限角．] 80° 一 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．任给一个角，如何判定该角所在的象限？ [提示]　将角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，α所在的象限即为任意角所在的象限． 2．已知角的终边范围，怎样求终边相同的角的集合？ [提示]　先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后加上k·360°(k∈Z)即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．(多选题)下列命题中错误的是(　　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小 课时分层作业(二十九)　任意角 √ √ 51 ACD　[只有B正确．对于A，如90°角不在任何象限；对于C，如330°角在第四象限但不是负角；对于D，钝角不一定比第三象限角小．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．(多选题)下列角中与80°终边相同的是(　　) A．800° B．1 160° C．1 200° D．1 280° AB　[与80°终边相同的角的集合为{α|α＝80°＋k·360°，k∈Z}．取k＝2，得α＝800°．取k＝3，得α＝1 160°．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 53 3．在0°～360°范围内，与角－120°终边相同的角是(　　) A．120° B．60° C．180° D．240° √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[与－120°终边相同角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是240°．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 54 √ 4．若α是第四象限角，则180°－α所在象限是(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[如图所示，∵α是第四象限角，则－α是第一象限角， ∴180°－α是第三象限角．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 55 √ 5．若角α的终边与240°角的终边相同，则的终边所在象限是(　　) A．第二或第四象限 B．第二或第三象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[角α满足的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，故有， ∴终边落在第二象限或第四象限．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 56 二、填空题 6．已知角α的终边与－100°角的终边关于y轴对称，则α的取值集合为_____________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {α|α＝k·360°－80°，k∈Z}　[如图，－80°角与－100°角的终边关于y轴对称，因此α的取值集合为{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．] {α|α＝k·360°－80°，k∈Z} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 57 7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 270°　[5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z． 又∵180°<α<360°，∴α＝270°．] 270°　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 58 8．若角α＝2 025°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 225°　－135°　[∵2 025°＝5×360°＋225°，∴与角α终边相同的角的集合为{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角为225°，最大负角为－135°．] 225° －135° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 59 三、解答题 9．(源自人教A版教材)写出终边在直线y＝x上的角的集合S．S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β有哪些？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．因此，终边在直线y＝x上的角的集合 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 60 S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}． S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β有 45°－2×180°＝－315°， 45°－1×180°＝－135°， 45°＋0×180°＝45°， 45°＋1×180°＝225°， 45°＋2×180°＝405°， 45°＋3×180°＝585°． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 10．已知角x的终边落在如图阴影部分区域(包括边界)，写出角x组成的集合． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 62 [解]　(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}． (2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤ 2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 √ 11．(多选题)角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的终边可能落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BD　[令k＝0，α＝－60°，在第四象限，再令k＝1，α＝－60°＋180°＝120°，在第二象限．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 64 12．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是(　　) A．M∩N＝∅ B．M⊆N C．M⊇N D．M＝N √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 65 B　[对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴M⊆N，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 13．终边落在直线y＝x上的角的集合为_________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}　 {α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}　[如图所示，终边落在射线y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60° ＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°， k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 67 14．如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒后又恰好回到出发点A．则θ的值为________，θ在第________象限． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 或　 一或二　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 68 或　一或二　[根据题意知，14秒后，点P在角14θ＋45°的终边上， ∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z， 即θ＝，k∈Z． 又180°＜2θ＋45°＜270°， 即67.5°＜θ＜112.5°， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 ∴67.5°＜＜112.5°，k∈Z， ∴k＝3或k＝4， ∴所求θ的值为或． ∵0°＜＜90°，90°＜＜180°， ∴θ在第一象限或第二象限．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 15．若α是第一象限角，问－α，2α，是第几象限角？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°(k∈Z)． (1)－k·360°－90°＜－α＜－k·360°(k∈Z)， 故－α是第四象限角． (2)2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°(k∈Z)， 故2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　任意角 71 (3)k·120°＜＜k·120°＋30°(k∈Z)． 法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时， n·360°＜＜n·360°＋30°(n∈Z)， ∴是第一象限角； 当k＝3n＋1(n∈Z)时， n·360°＋120°＜＜n·360°＋150°(n∈Z)， ∴是第二象限角； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 当k＝3n＋2(n∈Z)时， n·360°＋240°＜＜n·360°＋270°(n∈Z)， ∴是第三象限角． 综上可知，是第一、二或第三象限角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为终边所在的区域，故为第一、二或第三象限角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 $