4.1.1 根式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

第4章 指数与对数 4.1 指 数 4.1.1 根 式 新课导入 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线的长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生. 学习目标 1.理解次方根和根式的概念，掌握根式的性质. 2.能利用根式的性质对根式进行运算. 新知学习 探究 一次方根的概念 思考1．由和，我们可得到9的平方根是什么？由以及我们可以得到125和的立方根分别是什么？ 提示 9的平方根是3和，125的立方根是5，的立方根是. 思考2．实数的平方根都是互为相反数吗？立方根呢？ 提示 当实数时，没有平方根，当实数时，平方根是0，当实数时，有一对互为相反数的平方根；任何实数都有唯一的立方根. ［知识梳理］ 概念 一般地,如果,那么称为的①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 性质 是奇数 仅有一个值,记为②_ _ _ _ _ _ _ _ 是偶数 有两个值,且互为相反数,记为③_ _ _ _ _ _ _ _ 在实数范围内不存在 【答案】 次方根； ； ［例1］ （1） 已知，则（ ） A. B. C. D. （2） 16的平方根为_ _ _ _ _ _ ，的5次方根为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） ； 【解析】 （1） 因为，所以 是2的10次方根.又因为10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数.所以. （2） 因为，所以16的平方根为 的5次方根为. 次方根概念的注意点 （1）方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个. （2）符号：的符号由根指数的奇偶性及被开方数的符号共同确定. ①当为偶数，且时，为非负实数； ②当为奇数时，的符号与的符号一致. ［跟踪训练1］． （1） （多选）下列说法正确的是（ ） A. 16的4次方根是2 B. 的运算结果是 C. 当为大于1的奇数时，对任意都有意义 D. 当为大于1的偶数时，只有当时才有意义 （2） 若有意义，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） CD （2） 【解析】 （1） 选. 16的4次方根应是，，故，错误；由 次方根的概念及性质知，正确. （2） 因为 有意义，所以，所以，即实数 的取值范围是. 二 根式的概念和性质 ［知识梳理］ 1．概念：式子①_ _ _ _ _ _ _ _ 叫作根式,其中叫作②_ _ _ _ _ _ ,叫作③_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 根指数； 被开方数 2．性质：对于，， 当为奇数时，④_ _ _ _ _ _ ； 当为偶数时， 【答案】； ； - ［例2］ （对接教材例1）求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） . 【答案】（1） 【解】. （2） . （3） 正确区分 与 （1）已暗含了有意义,依据的奇偶性可知的取值范围. （2）中的可以是全体实数,的值取决于的奇偶性. ［跟踪训练2］．化简下列各式： （1） ; （2） . 【答案】（1） 解：原式. （2） 三 有限制条件的根式的化简 ［例3］ 若，化简 . 【解】 ， 当 时， 原式. 当 时， 原式. 综上，原式 母题探究．将本例中条件“”改为“”,则结果又是什么？ 解：原式. 因为, 所以,, 所以原式. 有限制条件的根式的化简 （1）有限制条件的根式的化简是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简. （2）有限制条件的根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负. ［跟踪训练3］． （1） 当有意义时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. （2） 若，则 的化简结果是_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 1 【解析】 （1） 选.当 有意义时，满足,解得. 所以,. 所以 . （2） 原式，因为，所以原式. 课堂巩固 自测 1．已知是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2．（教材（1）改编）若，则 的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，所以.所以. 3．若,则使成立的条件可能是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【解析】选.因为,所以. 又因为,所以.故选. 4．若,则的化简结果是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】原式, 因为,所以, 所以原式. 5．使等式成立的实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 ， 要使 成立， 需 解得. 1.已学习：（1）次方根的概念、表示与性质； （2）根式的概念和性质. 2.须贯通：正确运用根式的概念及运算性质，化简求值. 3.应注意：（1）注意与的区别； （2）一个数到底有没有次方根，要分为奇数或偶数这两种情况讨论. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若，则（ ） A. B. 8 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】选.因为，所以.则，故选. 2．当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题设得，因为,所以.故.故选. 3．下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选,故 错误； ，故 错误； ，故 错误； 由根式的性质可知，显然成立，故 正确. 4． （ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】选.原式. 5．（多选）若，，则下列四个式子中有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选 选项中，，则 恒成立，式子有意义；选项中，为奇数，则，式子无意义；选项中，，式子有意义；选项中，当 时，式子无意义.故选. 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】CD 【解析】选，故 错误；，故 错误；，故 正确；当 时，，所以.故 正确. 7．若，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】因为，所以原式. 8．若，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以，所以，.所以. 9．若，，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】 ，， 所以. 10．（13分） （1） 化简：;（6分） （2） 已知，，，化简：.（7分） 【答案】（1） 解：因为，所以.所以. （2） 当 为奇数时，原式.当 为偶数时，因为，所以，，所以原式. 所以. B 能力提升 11．下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选，，故 错误；，故 错误；因为,，所以当 为奇数时，；当 为偶数时，，故 错误；成立，故 正确. 12．计算： _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 . 13．已知，，则的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】.将,代入上式，得原式. 14．（13分）计算： （1） ；（6分） （2） .（7分） 【答案】（1） 解：原式. （2） 原式 . C 素养拓展 15．（15分）计算： （1） ；（7分） （2） .（8分） 【答案】（1） 解：原式. （2） 原式. 学科网（北京）股份有限公司 $