3.1 不等式的基本性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦不等式的基本性质核心知识点，通过采光率、糖水浓度等现实情境导入，构建“比较大小基本事实（作差法）-不等式性质（对称性、传递性等）-性质应用（比较大小、证明、求范围）”的学习支架。 特色在于以真实情境培养数学眼光，如用糖水浓度抽象不等式关系；通过作差法步骤、性质应用策略发展数学思维，如变量替换求取值范围；课中例题与跟踪训练助教师教学，课后分层检测（A/B/C级）方便学生查漏补缺。

第3章 不等式 3.1 不等式的基本性质 新课导入 楼房的采光率有一种简单的计算方法:设楼房的建筑面积为，窗口的面积和为,则楼房的采光率为（其中）.显而易见，如果增加窗口的面积，楼房的采光将变好,那么如何用不等式来表示这个事实呢?这就是我们这节课所讲的知识. 学习目标 1.初步学会用作差法比较两实数的大小. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 新知学习 探究 一 比较大小的基本事实 思考．我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示 设，是两个不相等的实数，它们在数轴上所对应的点分别是，， 那么当点在点的左边时，；当点在点的右边时，. ［知识梳理］ 1．文字叙述 （1）当为①_ _ _ _ 时，称; （2）当为②_ _ _ _ 时，称; （3）当为③_ _ _ _ 时，称. 【答案】正数； 零； 负数 2．符号表示 （1）④_ _ _ _ 0; （2）⑤_ _ _ _ 0; （3）⑥_ _ _ _ 0. 【答案】； ； ［例1］ （1） 比较和的大小； （2） 已知且，试比较与的大小. 【答案】 （1） 【解】 因为 , 所以. （2） 两式作差得. 当 时，，此时； 当，且 时，，此时； 当 时，，此时. 综上所述，当 时，； 当 时，. 作差法比较两个实数 , 大小的基本步骤 ［跟踪训练1］． （1） 已知，，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知,比较与的大小. 【答案】（1） A （2） 解：由题得 . 因为,所以,,所以,所以当 时，. 【解析】 （1） 选.因为，，则，所以.故选. 二 不等式的基本性质 思考．我们都知道：克糖水中含克糖,再加克糖,全部溶解后,糖水会变得更甜.你能用一个不等式来表示这个现象吗? 提示 浓度越大，糖水越甜，即. ［知识梳理］ 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 ①_ _ _ _ 性质2 传递性 , 性质3 可加性 ②_ _ _ _ _ _ 性质4 可乘性 , ③_ _ _ _ _ _ _ _ ；, ④_ _ _ _ _ _ _ _ 的符号 性质5 同向可加性 , ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 同向 性质6 同向同正可乘性 , ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 同向 【答案】； ； ； ； ； 编辑作答空间顺序 ［例2］ （1） （多选）已知,,，若，且，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知，，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） AC （2） 【解析】 （1） 对于，因为，，所以，,所以，故 正确；对于，若，则，故 错误；对于，因为，所以，故，故 正确；对于，由 选项知，又，所以，所以，故 错误. （2） 设，其中,， 则 解得 所以， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 不等式性质的应用策略 （1）判断命题真假的两种方法:①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明； ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. （2）求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同向不等式可加不可减，可乘不可除. ［跟踪训练2］． （1） （多选）若,,，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 （2） 已知,,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） BC （2） ； 【解析】 （1） 选.对于，取，,则,，故 错误；对于，若，对不等式两边同时平方则，故 正确；对于，若，则，所以，故 正确；对于，若，取,，则，故 错误. （2） 因为, 所以,所以. 因为,, 所以,， 所以, 即. 三 证明简单的不等式 ［例3］ （对接教材例2）已知,求证：. 【证明】 方法一： , 因为 , 所以,,,, 所以, 所以. 方法二：因为，所以， 所以. 因为,所以, 所以， 上式两边同乘， 得. 又因为,所以. 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）不等式证明的实质是比较两个实数（代数式）的大小. （2）证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差（商）比较法证明. （3）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. ［跟踪训练3］．若,,,求证：. 证明：方法一： . 因为，， 所以，，，， 所以，. 因为， 所以. 又， 所以， 故. 方法二：因为, 所以. 又因为, 所以. 所以. 两边同乘, 得. 又, 所以. 课堂巩固 自测 1．（教材P54练习T1改编）设,,为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选 选项，当 时，，错误； 选项，，因为，所以，，，则，故，，错误； 选项，两边同乘以 得，两边同乘以 得，故，正确； 选项，因为，所以，两边同除以 得，错误. 2．已知,,为不全相等的实数，,,那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.，因为,,为不全相等的实数,所以. 3．写出满足且的一组数对：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（答案不唯一，，即可） 【解析】根据 且，可得，. 4．已知实数,满足,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,,所以.由不等式的性质可得,又,即,所以. 1.已学习：不等式的基本性质. 2.须贯通:利用不等式的性质比较实数的大小，证明简单的不等式. 3.应注意:注意不等式性质的单向性或双向性. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知,都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】选.当 时，,无意义， 当 时，由不等式性质可得.所以“”是“”的必要不充分条件. 2．若,,则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为,,,, 所以,,,, 所以,,故，错误； 令,,,, 则,故 错误； 因为,所以,因为,所以,所以,即,故 正确. 3．已知，则的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 【答案】A 【解析】选， 因为，所以，，，所以.故选. 4．[（2025·无锡月考）]已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为 的解集为， 所以，且， 所以， 所以，所以. 5．一般认为，公寓的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于，而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果（ ） A. 变坏了 B. 变好了 C. 不变 D. 无法判断 【答案】B 【解析】选.设 和 分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，由题意得，， 则， 因为，, 所以， 又因为，则， 所以，即， 所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了. 6．（多选）若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.因为，且，所以，且，正确，错误;因为，所以，不等式两边同时乘以 得，错误;因为，所以，不等式两边同时乘以 得，故，正确.故选. 7．能够说明“设,是任意非零实数，若，则”是假命题的一组整数,的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】,（答案不唯一） 【解析】要使“设,是任意非零实数，若,则”是假命题，只需满足 即可，可取,. 8．设，，，，则，，的大小顺序是_ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接） 【答案】 【解析】因为，所以,,, 所以 ，所以，即.同理可得，故. 9．已知,，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以，又，所以. 10．（13分）甲、乙两人同去一家粮店分别买了两次粮食,两次粮食的价格分别是元/千克和元/千克,两人的购粮方式不同：甲每次买1 000千克,乙每次买1 000元. （1） 求两人购粮的均价分别是多少？（6分） （2） 谁的购粮方式更合算？说明理由.（7分） 【答案】（1） 解：两次购粮的价格分别是 元/千克和 元/千克,甲两次购粮的平均单价为（元/千克）,乙两次购粮的平均单价为（元/千克）. （2） 甲、乙两人购买粮食的平均单价的差是,由于,是正数,又,则,即,故乙购粮平均单价比甲低,因此乙购粮方式更合算. B 能力提升 11．设，是两个实数，则下列选项中能推出“，中至少有一个大于1”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.方法一：对于,若，，则，但，，故 不能推出.对于，若，则，故 不能推出. 对于，若，，则，故 不能推出. 对于，若，则，中至少有一个大于1. 方法二（反证法）假设 且，则 与 矛盾，因此假设不成立，故，中至少有一个大于1. 12．（多选）若正实数,满足,则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.对于，由于,为正实数，且,两边同时乘以 得,故 选项错误； 对于，由于,为正实数，且,所以，故 选项正确； 对于,由于,为正实数，且,， 所以,则,所以 成立，故 选项正确； 对于，由于,为正实数，且，所以,取倒数得，故 选项正确.故选. 13．已知，，为正数，若，则，，三个数中最大的一个是_ _ _ _ ，最小的一个是_ _ _ _ . 【答案】； 【解析】因为，，为正数， 且， 所以， 即， 所以. 由，得. 由，得， 所以. 14．（13分）已知，. （1） 分别求，的取值范围；（6分） （2） 求的取值范围.（7分） 【答案】 （1） 解：设，，则，，，， 由，则，，则，. 故 的取值范围是,的取值范围是. （2） ，由，，则，， 所以. 故 的取值范围是. C 素养拓展 15．（15分）对于四个正数，，，，若满足，则称有序数对是的“下位序列”. （1） 对于2，3，7，11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；（7分） （2） 设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系.（8分） 【答案】 （1） 解：有序数对 是 的“下位序列”. 因为， 所以 是 的“下位序列”. （2） 因为 是 的“下位序列”，所以，因为，，，均为正数， 所以， 所以，又， 所以， 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $