18.3分式的加法与减法 同步自主提升训练题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《18.3分式的加法与减法》 同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知化简的结果是，括号内的式子是（   ） A． B． C．0 D． 3．计算的结果正确的是（   ） A．2 B． C． D． 4．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 5．已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 6．已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．已知（为正整数，且），则用含的式子的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算的结果是 ． 9． ． 10．已知，则的值为 ． 11．已知正数、、满足：，，，则 ． 12．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要 天完成． 13．已知，则式子的值是 ． 14．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 三、解答题 15．计算 (1) (2)． 16．已知，试确定A，B的值 17．先化简，再求值： (1)先化简：，并从0，，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简，再求值：，其中x是不等式的最小整数解． 18．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 19．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以两边除以得：，化简得， 对先取倒数，， 再对两边取倒数得： 请仿照上面的做法解决下面问题： (1)已知，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，且，求的值． 20．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了同分母分式相减，分母不变，分子相减，然后对分子进行化简，掌握分式的性质，分式加减运算法则是解题的关键． 根据分式的加减运算法则计算即可，在进行分式运算后，若分子分母有公因式，要进行约分，化为最简形式． 【详解】解： ， 故选：A． 2．A 【分析】此题考查了分式的减法．根据分式的减法计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴括号内的式子是． 故选：A 3．A 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加法法则是解题关键．根据分式的加法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得，根据分母为2的因数即可求得x的值，再把所有这些值相加即可． 【详解】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查分式的加减法．对M、N分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把代入计算后直接选取答案． 【详解】解：， ∵实数a，b互为倒数， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据计算结果总结出规律是解题的关键． 根据题意求出的值，再根据结果得出规律，计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 这列数每个数为一个循环， ， ， 故选：A ． 8． 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算；根据加减运算法则计算化简即可． 【详解】解： 故答案为： 9． 【分析】本题主要考查分式的四则混合运算，原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后化为最简结果即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．5 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． 先把分式进行化简，得到，然后再把要求的分式化简，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5 11．/ 【分析】本题考查了分式的化简求值．计算，然后整体代入求解即可． 【详解】解：因为 ， 所以， 解得． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意得出甲每天完成，乙每天完成，设工作总量为，进而根据工作总量除以工作效率，即可求解． 【详解】解：甲单独做天完成，乙单独做天完成，设工作总量为， ∴甲每天完成，乙每天完成 ∴两人合作一共需要天 故答案为：． 13． 【分析】此题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和整体代入是解题法关键． 由得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 14． 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先将整体部分转化为与分式同分母的形式，再进行分式减法运算，最后化简分子得出结果； （2）先分别化简括号内的两个分式表达式，再将化简后的结果进行除法运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16． 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 17．(1)，当时，原式 (2)，当时，分式的值不存在 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件确定a的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解； （2）先按照分式的乘除法运算法则进行化简，再求不等式的最小整数值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 要使分式有意义，必须且， 所以a不能为和2， 取， 当时，原式； （2）解： ， 解不等式，得：， 则不等式的最小整数解为， 当时，原式无意义，故原式的值不存在． 18．(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 19．(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查代数式的求值技巧．熟练掌握完全平方公式变形求值，分式的性质， “倒数法”，是解题的关键． （1）利用完全平方公式直接求解； （2）仿照题干解题过程，通过取倒数并利用已知方程变形求解； （3）将方程转化为关于倒数的方程组，求和后取倒数． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：4． （2）解：∵，且， ∴两边除以 x 得：． ∴． ∴ ． 对于， 取倒数得，． ∴． （3）解：由，且，两边除以 ，得． 由，两边除以 ，得． 由，两边除以 4xz， 得． 设 ， 则 ． 三式相加，得． ∴． 对于，分子分母同除以， 得． 20．（1）当时，长方形A的周长大于B的周长；当时，长方形A的周长等于B的周长；当时，长方形A的周长小于B的周长；（2）；（3）乙购买水果的总重量更大 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先表示出两个长方形的周长，然后作差，再根据a的取值范围判断即可； （2）先求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先根据甲和乙的花费相同，得出，再表示出乙购买的水果总量，，然后作差比较大小即可． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 学科网（北京）股份有限公司 $