专题05 概率初步（期末复习优选题集训 16个高频易错题型讲练 共48题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册培优讲练

专题05 概率初步 （16个高频易错题型讲练 共48题 新教材） 【解析版】 易错题型1 判断事件发生的可能性的大小 1 易错题型2 改变条件使事件发生的可能性相同 3 易错题型3 列举随机实验的所有可能结果 5 易错题型4 判断实验所得结果是否是等可能的 6 易错题型5 根据概率公式计算概率 8 易错题型6 已知概率求数量 9 易错题型7 几何概率 10 易错题型8 列举法求概率 12 易错题型9 列表法或树状图法求概率 13 易错题型10 游戏的公平性 15 易错题型11 求某事件的频率 18 易错题型12 由频率估计概率 20 易错题型13 用频率估计概率的综合应用 22 易错题型14 利用概率计算随机事件发生的平均次数 24 易错题型15 概率在转盘抽奖中的应用 25 易错题型16 概率在比赛中的应用 27 易错题型1 判断事件发生的可能性的大小 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列事件可能性大小正确的是（   ） A．从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是 B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是 C．从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是 D．从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了可能性的计算，A选项中用红桃的牌数除以54即为抽出红桃的可能性；B选项中用中奇数的个数除以6可得点数是奇数的可能性；C选项中用中小于3的数字个数除以10可得任意抽取一张，得到的数小于的可能性；D选项中用红球个数除以球的总数可得任意摸出一个红球的可能性． 【规范解答】解：A、从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是，原说法错误，不符合题意； B、掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是，原说法错误，不符合题意； C、从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是，原说法错误，不符合题意； D、从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖南湘潭·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【思路点拨】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【规范解答】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0 C．买一张彩票会中奖是可能事件 D．一件事发生机会为，这件事就有可能发生 【答案】A 【思路点拨】本题考查了概率是反映事件发生机会的大小的概念，解题的关键是掌握概率只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1；不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0；不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率并且． 【规范解答】解：A、同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，第一个出现4的机会是，第二个出现4的机会也是，因而点数都是4的概率为，该选项错误，符合题意； B、不可能事件发生机会为0，该选项正确，不符合题意； C、买一张彩票会中奖是随机事件，该选项正确，不符合题意； D、一件事发生机会为，这件事就有可能发生，该选项正确，不符合题意． 故选A． 易错题型2 改变条件使事件发生的可能性相同 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【规范解答】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． (1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ (2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ (3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案． 【答案】(1)不能 (2)不一样，摸到红色球的可能性最大，白色球次之，绿色球最小 (3)答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球 【思路点拨】（1）根据盒子中小球颜色有3种，即可解答； （2）比较盒子中各种颜色小球的个数，即可解答； （3）使红色球和白色球的个数相同即可． 【规范解答】（1）解：∵盒子中的小球有红色、白色、绿色， ∴不能够事先确定小丽摸出的球的颜色； （2）解：∵红色球有3个，白色球有2个，绿色球有1个，， ∴小丽摸到每一种颜色的球的可能性不一样； （3）解：答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是一个等分成8个扇形区域的转盘． (1)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最小？ (2)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最大？ (3)请重新设置8个扇形区域的颜色，使得（1）中指针指向的颜色的区域出现的可能性大于（2）中指针指向的颜色的区域． 【答案】(1)指向蓝色的可能性最小 (2)指针指向黄色的可能性最大 (3)将2个黄色区域改为蓝色区域 【思路点拨】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每种颜色概率进行分析，即可得出答案； （2）根据可能性的大小分别对每种颜色概率进行分析，即可得出答案； （3）使得蓝色面积大于黄色面积即可． 【规范解答】（1）解：根据转盘可得共有8份，每份大小相同，红色有3份，黄色有4份，蓝色有1份， ∴指针都指向红色区域的概率为， 指针都指向蓝色区域的概率为， 指针都指向黄色区域的概率为， ∴指针指向蓝色的可能性最小． （2）解：根据（1）可得指针指向黄色的可能性最大． （3）解：根据题意，将2个黄色区域改为蓝色区域， 则此时指针都指向蓝色区域的概率为， 指针都指向黄色区域的概率为， 能使指针指向蓝色区域的可能性大于黄色区域． 易错题型3 列举随机实验的所有可能结果 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【答案】10 【思路点拨】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【规范解答】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【答案】 6 9182 【思路点拨】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【规范解答】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1，2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182． 9．（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【思路点拨】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 【规范解答】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 易错题型4 判断实验所得结果是否是等可能的 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【答案】B 【思路点拨】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【规范解答】解：A、一只小球，不能出现两种情况，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃），符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项正确； C、一个啤酒瓶盖，只有压平的瓶盖才可以，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； D、尖朝上的概率＞面朝上的概率，不能做替代物，故此选项错误； 故选B． 11．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ) A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面 D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 【答案】C 【思路点拨】本题考查了概率，看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【规范解答】A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率不一样，不可作实验替代物，所以本选项不正确； B选项中，图钉尖着地的概率与针帽着地的概率不同，不可做实验替代物，所以本选项错误； C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率相同，能代替抛掷硬币的实验，所以本选项正确； D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一个“黄色区域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误； 故选：C． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 【答案】B 【思路点拨】根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可． 【规范解答】A．在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意； B．符合模拟实验的条件，正确，符合题意； C．应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意； D．所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意； 故选B． 易错题型5 根据概率公式计算概率 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的4个白球，6个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是 ． 【答案】/0.6 【思路点拨】本题考查简单的概率计算，直接应用概率公式求解 【规范解答】口袋中总球数为 个，红球有 个，因此任意摸出一个球是红球的概率为 ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了概率公式的应用．由一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【规范解答】解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：． 故选：A． 15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查概率的计算，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率的值． 【规范解答】解：有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，其它开关闭合小灯都不发亮， 所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡不发光的概率是； 故选：D． 易错题型6 已知概率求数量 16．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）一个不透明的盒子中有红球m个，白球15个，绿球n个，三种球除颜色外都相同，从中任取一个球，若取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 【答案】 【思路点拨】此题考查了概率公式的应用． 根据取得白球的概率与不是白球的概率相等求解即可． 【规范解答】∵一个不透明的盒子中有红球m个，白球15个，绿球n个， ∵取得白球的概率与不是白球的概率相同， ∴白球的个数和不是白球的个数一样多， ∴． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·山东济南·期中）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【规范解答】设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2． 故答案为：2． 18．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在一个不透明的布袋中装有8个白球，若干个黑球，它们除颜色不同外其余均相同，若从中随机拿出一个球为白球的概率是，则布袋中黑球的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查概率的计算公式，根据题意找到等量关系列方程是解决问题的关键． 根据概率公式，摸到白球的概率等于白球数量与总球数的比值，设黑球个数为，列方程求解即可． 【规范解答】解：设黑球个数为，则总球数为， 由题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的解． ∴ 黑球的个数为个． 故选：A． 易错题型7 几何概率 19．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【规范解答】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·重庆江北·期中）如图，正方形是由8个大小相等的三角形构成，随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．根据概率的计算方法即可求解． 【规范解答】解：∵正方形是由8个大小相等的三角形构成，阴影区域为3个三角形， ∴落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 易错题型8 列举法求概率 22．（25-26九年级上·陕西西安·期中）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了通过列举法求概率，列举出点数之和小于6的情况数与总情况数是解题的关键． 先确定总情况数，再列举出点数之和小于6的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【规范解答】解∵总共有种等可能结果，点数之和小于6的情况有：①和为2：，共1种；  ②和为3：共2种；③和为4：共3种；④和为5：共4种；   ∴掷得面朝上的点数之和小于6的情况数共有种情况．   ∴ 掷得面朝上的点数之和小于6的概率是． 故选D． 23．（25-26九年级上·山东青岛·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【规范解答】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 24．（25-26九年级上·福建三明·期中）有三张外观一样的牌，牌面数字分别为3、4、5，从中随机抽出两张牌，牌面数字和为奇数的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列举法求概率，通过列举所有可能抽出的两张牌的组合，并计算数字和为奇数的组合数，再除以总组合数，得到概率即可． 【规范解答】解：所有可能抽出的两张牌的组合有：，共3种情况． 其中数字和为奇数的组合有：和，共2种情况． 故概率为． 故答案为：． 易错题型9 列表法或树状图法求概率 25．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【规范解答】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为： ． 故答案为：． 26．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某校计划在运动会期间，组织一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队长通过“石头、剪刀、布”的方式选择场地．游戏规则如下：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，获胜一方可优先选择场地．若两人出相同的手势，则平局．请用列表或画树状图的方法，列出甲、乙两队长的手势可能出现的情况，并判断裁判员这种做法是否合理． 【答案】裁判员这种做法合理，理由见解析 【思路点拨】本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意准确列表或画出树状图是解题的关键．根据表格，得出所有的等可能的结果数，以及甲队长获胜的结果数和乙队长获胜的结果数，根据概率公式计算出甲队长获胜和乙队长获胜的概率，再比较即可得出结论． 【规范解答】解：分别用A表示石头，B表示剪刀，C表示布．根据题意，列表如下： 乙甲 A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲队长获胜的结果有3种，乙队长获胜的结果有3种． ∴甲队长获胜的概率为，乙队长获胜的概率为． ∵， ∴裁判员这种做法合理． 27．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“双减”背景下，教育部门对课后作业作了明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，对该校七年级抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“30分钟以内完成”，B表示“30－60分钟以内完成”，C表示“60－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： (1)这次调查的总人数是______人；B类所占的百分比是______；在扇形统计图中，C类扇形圆心角的度数是______； (2)在A类学生中，有2名男生和4名女生，再需从这6名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)40；； (2) 【思路点拨】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）类人数除以所占的比例求出总人数，类人数除以总人数求出所占的百分比，类人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：（人）； ； 故答案为：，，；； （2）设2名男生为、，4名女生为、、、，列表为： 共有30种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数为16， 所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为：． 易错题型10 游戏的公平性 28．（25-26九年级上·河南周口·月考）甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的张中随机抽取一张卡片． (1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； (2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平 【思路点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解决本题的关键是利用列表法分别求出甲、乙获胜的概率，根据概率判断游戏是否公平即可 ． 【规范解答】（1）解：，，，四张卡片中，有，两个奇数，则甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为； （2）不公平 理由：所有不放回抽取的结果（甲抽的数在前，乙抽的数在后）有： 、、、、、、、、、、、，共 种； 和为奇数的有：、、、、、、、，共 种，甲获胜的概率为； 和为偶数的有：、、、，共 种，乙获胜的概率为； 因为， 所以不公平． 29．（25-26九年级上·山东青岛·期中）小明和小强做摸球游戏，在一个不透明的盒子中装入2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，小强再从中随机摸出一个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明获胜，否则小强获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】 不公平，见详解 【思路点拨】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，结合概率公式计算即可． 【规范解答】解：不公平，理由如下， 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来如下， 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∴所有等可能结果有9种，其中颜色相同的5种，颜色不同的有4种， ∴两人摸到的球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为， ∵， ∴游戏对双方不公平． 30．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【思路点拨】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【规范解答】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 易错题型11 求某事件的频率 31．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 【答案】(1)0.58 (2)0.6 (3) 【思路点拨】本题考查用频率估计概率，概率公式． （1）用摸到白球的次数除以摸球的次数即可； （2）根据表格数据，用频率估计概率； （3）利用概率公式求解． 【规范解答】（1）解：表中， 故答案为：0.58； （2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6， 所以摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； （3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个）， 添加4个黑球后，摸到白球的概率为：， 即此时摸到白球的概率是． 32．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 【答案】(1) (2) (3)往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为 【思路点拨】此题考查概率公式，解答的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）利用频率计算公式直接求出答案； （2）利用概率计算公式直接求出答案； （3）通过计算可得盒子中白球的数量变为8，由此得出往盒子中放入3个白球，取出3个黑球即可． 【规范解答】（1）解：试验20次，摸出白球6次，则摸出白球的频率， 故答案为：． （2）解：袋子中有黑球15个，总球数为个， 则摸到黑球的概率为． 答：摸到黑球的概率为． （3）解：盒子中白球的数量变为（个）， （个）． 答：往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为． 33．（24-25九年级上·全国·随堂练习）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率所求情况数与总情况数之比．利用已知数据先求出频率，再估算概率分别判断即可． 【规范解答】解：A、钉尖着地的频率是：，故此选项正确，不符合题意； B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近，故此选项正确，不符合题意； C、前10次试验结束后，钉尖着地的次数是4次左右，并不一定是4次，故此选项错误，符合题意； D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数是8次左右，不一定是8次，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 易错题型12 由频率估计概率 34．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某生物科技公司为检测该公司罗氏虾苗的成活率，在同等条件下，大量地投放虾苗，并统计成活情况，计算成活的频率，如下表： 投放总量 400 750 1500 3500 7000 … 成活量 369 662 1335 3203 6335 … 成活的频率 … 根据表格，估计这种罗氏虾苗成活的概率为 ．（结果精确到） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了由频率估计概率，解题的关键是掌握频率和概率的关系． 根据频率估计概率的原理，当试验次数大量时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察表中成活的频率，随着投放量的增加，频率在附近波动，因此估计概率为． 【规范解答】解：由表可知，成活频率分别为、、、、，观察其稳定值，接近，约为， 故这种罗氏虾苗成活的概率估计为， 故答案为：． 35．（25-26九年级上·陕西西安·期中）小明通过做实验用频率估计概率，统计了某一实验结果的频率，并绘制了如图所示的统计图，下列问题：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率；②从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到红球的概率；③将标有数字1、2、3的三张除数字外完全相同的卡片放在暗箱中，一次摸出两张卡片，摸出两张卡片上数字的积为奇数的概率；④从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率．其中符合小明实验结果的问题可能是 ． 【答案】②③ 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率的知识，分别求得每个选项的概率是解题的关键． 根据统计图可知，实验结果频率在左右，因此事件的概率也为，符合此概率的即为正确答案． 【规范解答】解：根据统计图可知，实验结果频率在左右，①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，故不符合题意； ②从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到红球的概率为，故符合题意； ③将标有数字1、2、3的三张除数字外完全相同的卡片放在暗箱中，一次摸出两张卡片，列表如下，故摸出两张卡片上数字的积为奇数的概率为，符合题意； 1 2 3 1 2 3 2 2 6 3 3 6 ④从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率为，不符合题意； 故答案为：②③． 36．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球大约有 个． 【答案】12 【思路点拨】本题考查频率估计概率， 已知概率求数量，掌握知识点是解题的关键． 根据频率估计概率，红球的概率稳定在，利用概率公式计算红球个数． 【规范解答】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率约为． ∴袋子中红球大约有（个）． 故答案为：12． 易错题型13 用频率估计概率的综合应用 37．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【规范解答】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 38．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【思路点拨】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 39．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个． 【答案】12 【思路点拨】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【规范解答】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 易错题型14 利用概率计算随机事件发生的平均次数 40．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 【答案】 【思路点拨】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【规范解答】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 41．（24-25九年级上·全国·课后作业）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 【答案】25 【思路点拨】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案． 【规范解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是25， 故答案为：25． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【思路点拨】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【规范解答】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 易错题型15 概率在转盘抽奖中的应用 43．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【规范解答】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 44．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．掌握几何概率的求法是解本题的关键． （1）求出字母所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． （2）求出中奖区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 45．（24-25九年级上·广东佛山·月考）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【答案】 【思路点拨】此题考查概率的计算公式，先确定情况数及总结果数，根据概率公式计算即可 【规范解答】 解：甲顾客购物120元，他有转转盘的机会， 整个圆周被分成了20份，共有20种等可能结果， 红色、黄色或绿色区域的份数之和为9份， 所以获得购物券的概率为：． 易错题型16 概率在比赛中的应用 46．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 【思路点拨】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）解：正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确， 47．（24-25九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． (1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？ (2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)共投出640个3分球，共投中160个3分球 (2)说法不正确；理由见解析 【思路点拨】（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可； （2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可． 【规范解答】（1）解：设该运动员共投出x个3分球． ∵3分球的命中率为0.25， ∴3分球的未命中率为1－0.25＝0.75． 根据题意，得 ＝12． 解得x＝640． ∴0.25x＝0.25×640＝160(个)． 答：运动员去年的比赛中共投出640个3分球，共投中160个3分球． （2）解：小明的说法不正确；3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员在这场比赛中不一定投中了5个3分球． 48．（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【思路点拨】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【规范解答】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率初步 （16个高频易错题型讲练 共48题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 判断事件发生的可能性的大小 1 易错题型2 改变条件使事件发生的可能性相同 2 易错题型3 列举随机实验的所有可能结果 3 易错题型4 判断实验所得结果是否是等可能的 3 易错题型5 根据概率公式计算概率 4 易错题型6 已知概率求数量 4 易错题型7 几何概率 5 易错题型8 列举法求概率 5 易错题型9 列表法或树状图法求概率 6 易错题型10 游戏的公平性 7 易错题型11 求某事件的频率 7 易错题型12 由频率估计概率 8 易错题型13 用频率估计概率的综合应用 9 易错题型14 利用概率计算随机事件发生的平均次数 10 易错题型15 概率在转盘抽奖中的应用 10 易错题型16 概率在比赛中的应用 12 易错题型1 判断事件发生的可能性的大小 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列事件可能性大小正确的是（   ） A．从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是 B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是 C．从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是 D．从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是 2．（25-26九年级上·湖南湘潭·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0 C．买一张彩票会中奖是可能事件 D．一件事发生机会为，这件事就有可能发生 易错题型2 改变条件使事件发生的可能性相同 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． (1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ (2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ (3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是一个等分成8个扇形区域的转盘． (1)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最小？ (2)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最大？ (3)请重新设置8个扇形区域的颜色，使得（1）中指针指向的颜色的区域出现的可能性大于（2）中指针指向的颜色的区域． 易错题型3 列举随机实验的所有可能结果 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 9．（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 易错题型4 判断实验所得结果是否是等可能的 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 11．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ) A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面 D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 易错题型5 根据概率公式计算概率 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的4个白球，6个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是 ． 14．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（   ） A． B． C． D． 易错题型6 已知概率求数量 16．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）一个不透明的盒子中有红球m个，白球15个，绿球n个，三种球除颜色外都相同，从中任取一个球，若取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 17．（25-26九年级上·山东济南·期中）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为 ． 18．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在一个不透明的布袋中装有8个白球，若干个黑球，它们除颜色不同外其余均相同，若从中随机拿出一个球为白球的概率是，则布袋中黑球的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 易错题型7 几何概率 19．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是 ． 20．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 21．（25-26九年级上·重庆江北·期中）如图，正方形是由8个大小相等的三角形构成，随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为 ． 易错题型8 列举法求概率 22．（25-26九年级上·陕西西安·期中）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·山东青岛·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·福建三明·期中）有三张外观一样的牌，牌面数字分别为3、4、5，从中随机抽出两张牌，牌面数字和为奇数的概率为 ． 易错题型9 列表法或树状图法求概率 25．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 26．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某校计划在运动会期间，组织一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队长通过“石头、剪刀、布”的方式选择场地．游戏规则如下：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，获胜一方可优先选择场地．若两人出相同的手势，则平局．请用列表或画树状图的方法，列出甲、乙两队长的手势可能出现的情况，并判断裁判员这种做法是否合理． 27．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“双减”背景下，教育部门对课后作业作了明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，对该校七年级抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“30分钟以内完成”，B表示“30－60分钟以内完成”，C表示“60－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： (1)这次调查的总人数是______人；B类所占的百分比是______；在扇形统计图中，C类扇形圆心角的度数是______； (2)在A类学生中，有2名男生和4名女生，再需从这6名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 易错题型10 游戏的公平性 28．（25-26九年级上·河南周口·月考）甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的张中随机抽取一张卡片． (1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； (2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 29．（25-26九年级上·山东青岛·期中）小明和小强做摸球游戏，在一个不透明的盒子中装入2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，小强再从中随机摸出一个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明获胜，否则小强获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 30．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 易错题型11 求某事件的频率 31．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 32．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 33．（24-25九年级上·全国·随堂练习）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 易错题型12 由频率估计概率 34．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某生物科技公司为检测该公司罗氏虾苗的成活率，在同等条件下，大量地投放虾苗，并统计成活情况，计算成活的频率，如下表： 投放总量 400 750 1500 3500 7000 … 成活量 369 662 1335 3203 6335 … 成活的频率 … 根据表格，估计这种罗氏虾苗成活的概率为 ．（结果精确到） 35．（25-26九年级上·陕西西安·期中）小明通过做实验用频率估计概率，统计了某一实验结果的频率，并绘制了如图所示的统计图，下列问题：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率；②从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到红球的概率；③将标有数字1、2、3的三张除数字外完全相同的卡片放在暗箱中，一次摸出两张卡片，摸出两张卡片上数字的积为奇数的概率；④从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率．其中符合小明实验结果的问题可能是 ． 36．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球大约有 个． 易错题型13 用频率估计概率的综合应用 37．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 38．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 39．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个． 易错题型14 利用概率计算随机事件发生的平均次数 40．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 41．（24-25九年级上·全国·课后作业）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 易错题型15 概率在转盘抽奖中的应用 43．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 45．（24-25九年级上·广东佛山·月考）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 易错题型16 概率在比赛中的应用 46．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 47．（24-25九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． (1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？ (2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 48．（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $