专题05 概率初步（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期人教版

专题05 概率初步 3大高频考点概览 考点01 随机事件与概率 考点02 列举法求概率 考点03 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件与概率 一、单选题 1．(24-25九上·北京西城区·期末)某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，下图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式的应用，用频率估计概率，解答本题的关键是求出各事件发生的概率．根据统计图可知发生的频率接近，得出该事件发生的概率为，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知：发生的频率接近，即该事件发生的概率为； A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故A不符合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故B不符合题意； C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故C符合题意； D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率，故D不符合题意． 故选：C． 2．(24-25九上·北京朝阳区·期末)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（    ） A．两枚硬币都正面向上的可能性最大 B．两枚硬币都反面向上的可能性最大 C．一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的可能性最大 D．以上三种情况的可能性相同 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 先画出树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两正面朝上的、两背面朝上的和一个正面朝上，另一个背面朝上的结果数，然后分别计算它们的概率，再比较大小即可． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两正面朝上的占1种，两背面朝上的占1种，一个正面朝上，另一个背面朝上的占2种， 所以两正面朝上的概率，两反面朝上的概率，一个正面朝上，另一个背面朝上的概率 故选：C． 3．(24-25九上·北京东城区·期末)下列事件为必然事件的是（   ） A．在平面上画一个三角形，其内角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．购买1张彩票，中奖 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此并结合相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、在平面上画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故该选项不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故该选项不符合题意； C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆是必然事件，故该选项符合题意； D、购买1张彩票，中奖是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．(24-25九上·北京海淀区·期末)学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 【答案】 （或或） 2 【分析】本题考查事件的可能性，列举法的应用： （1）三项活动的时间不能有冲突，由此可解； （2）根据各项活动的积分可得，要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，再判断时间是否冲突，即可求解． 【详解】解：（1）由表格可知，活动G，H的开始时间比F（人工智能展）的结束时间早，不能参加， 活动E的结束时间比F（人工智能展）的开始时间晚，不能参加， 所以需要从活动A，B，C，D中选两项，其中A与B时间冲突，B与C时间冲突，C与D时间冲突， 可选A和C，或A 和D，B和D， 故他参加活动的方案可以为：（或或）； （2）参加活动最高可得积分：，第二可得， 所以要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，即或， 又因为H与F时间冲突， 所以他参加活动的方案只能是，共1种； 参加四个活动有一种方案获得29积分； 故答案为：2 故答案为：（或或）；2． 5．(24-25九上·北京东城区·期末)古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式表示数字，如图所示. 据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如，算筹表示的四位数是6613. （1）用3根算筹表示的两位数可以是 （写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为 （算筹不剩余且个位不为0）. 【答案】 21（答案不唯一） 【分析】本题考查了求概率，求出所有可能的结果数及事件发生时可能的结果数，利用概率公式即可求解． （1）由题意，三根算筹可以是1与2的组合，也可以是6与1的组合，由此即可任写一个即可； （2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，62，26，71，17共7个数，其中大于60的数有4个，则可求得概率． 【详解】解：（1）三根算筹可以是1与2的组合，即12或21；也可以是6与1的组合，即16或61；4个数中任写一个； 故答案为：21（答案不唯一）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，26，62,66，71，17共8个数，其中大于60的数有3个，则抽取一个数大于60的概率为； 故答案为：． 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)“射击运动员射击一次，命中靶心”，这个事件是 事件（填“必然”，“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件，又称随机事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【详解】解：射击运动员随机射击一次，可能命中靶心，也可能不命中靶心，故该事件是随机事件， 故答案为随机． 三、解答题 7．(24-25九上·北京西城区·期末)在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 (2)试估算口袋中白球有多少个？ (3)若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 【答案】(1)0.5 (2)2（个） (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数； （3）先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：由题可得，当很大时，摸到白球的频率接近； 故答案为：； （2）解：由（1）摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数（个）； （3）解：列表得： 第二次第一次 白1 白2 黑1 黑2 白1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2） 白2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2） 黑1 （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2） 黑2 （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2） 由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能． （颜色相同）． 8．(24-25九上·北京海淀区·期末)2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 (1)从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】(1)①随机；②4，1 (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②4，1； （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 地 城 考点02 列举法求概率 一、单选题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币朝向相同的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两枚硬币朝向相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正，正 正，反 反 反，正 反，反 共有4种等可能的结果，其中两枚硬币朝向相同的结果有2种， 两枚硬币朝向相同的概率为 故选：C． 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率的知识．首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， ∴两枚硬币全部正面向上的概率是： ． 故选A． 二、解答题 3．(24-25九上·北京大兴区·期末)大兴区在创建书香校园，推进学生阅读素养提升活动中，通过实施扩大阅读供给空间，调整阅读供给方式，增加优质阅读供给内容等举措，为学生“爱读书、读好书、善读书”搭建了丰富的活动平台，营造了书香浸润的氛围．为了解本区初中生每周用于课外阅读的时间，制订了如下调查方案，并进行数据统计分析． 【调查方案】 方案 调查方式 ① 在指定一所学校中随机抽取500名学生进行调查分析 ② 在全区初中生中随机抽取500名学生进行调查分析 ③ 在全区八年级男生、女生中各随机抽取250名学生进行调查分析 【数据整理】将抽取的500名学生每周用于课外阅读的时间单位：分钟的数据，划分为四个等级：，，，，并绘制成如下不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)三个方案中调查方式合理的是______填“①”或“②”或“③”； (2)请补全条形统计图； (3)在全区抽取的D等级样本中，某校有3名学生被抽中，其中2名男生和1名女生．该校计划从这3名学生中，随机抽取2名学生进行读书活动的展示分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)② (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合抽样调查的定义可得答案． （2）分别求出B，C等级的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，三个方案中调查方式合理的是②． 故答案为：②． （2）解：等级的人数为人， C等级的人数为（人）； 补全条形统计图如图所示． （3）解：列表如下： 男 男 女 男 男，男 男，女 男 男，男 男，女 女 女，男 女，男 共有6种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果有4种， 恰好选中1名男生和1名女生的概率为 【点睛】本题考查列表法与树状图法、全面调查与抽样调查、条形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． 4．(24-25九上·北京朝阳区·期末)甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下： 两枚骰子点数相同时甲胜； 两枚骰子的点数之和为时乙胜； 是否存在m的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论. 【答案】当时，甲、乙两人获胜的概率相同 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数相同和点数和的情况，再利用概率公式即可求得两人获胜的概率，可得结果． 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：存在． 列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共有36种等可能的结果，点数相同的结果有6种， 甲胜的概率为， 两枚骰子的点数之和为7的结果为6种， 当时， 乙胜的概率为， 即当时，甲、乙两人获胜的概率相同． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，1．小红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号． (1)用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果； (2)规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜． ①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由； ②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①小明获胜的可能性大，理由见解析；② 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数即可； （2）①根据概率公式求出小明和小红获胜的概率，再进行比较，即可得出答案； ②如果小红获胜的可能性比小明大，则，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下： m 1 m 1 共有9种等可能的情况数； （2）解：①小明获胜的可能性大，理由如下： 当时，，，， ∴的情况有4种，概率为， 的情况有5种，概率为， ∵，则小红获胜；若，则小明获胜，， ∴小明获胜的可能性大； ②∵由（1）可得9种情况中，，，满足，满足， ∴如果小红获胜的可能性比小明大，则剩下5种情况中至少有4个满足， ∴，， 解得， 即如果小红获胜的可能性比小明大，的取值范围为． 6．(24-25九上·北京海淀区·期末)2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 (1)从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】(1)①随机；②4，1 (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②4，1； （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 地 城 考点03 用频率估计概率 一、单选题 1．(24-25九上·北京三帆中学·期末)下列说法中，不正确的是（      ） A．“a是实数，”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 D．不可能事件发生的概率为0 【答案】B 【分析】根据事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式分别判断． 【详解】解：A．“a是实数，|a|≥0”是必然事件，题干正确，故该项不符合题意； B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，题干错误，故该项符合题意； C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，题干正确，故该项不符合题意； D．不可能事件发生的概率为0，题干正确，故该项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式，熟练掌握教材中各部分的知识是解题的关键． 二、填空题 2．(24-25九上·北京朝阳区·期末)某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 （精确到)． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由频率分布表可知，随着射击次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（精确到)． 故答案为：． 3．(24-25九上·北京丰台区·期末)林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总效n 10 50 400 750 1500 3500 9000 14000 成活数m 8 47 369 662 1335 3203 8073 12628 成活的频率 （结果保留小数点后三位） 0.800 a 0.923 0.883 0.890 0.915 0.897 0.902 根据表中信息，回答下列问题： （1）a的值为 ； （2）估计幼树移植成活的概率为 （结果保留小数点后一位） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据成活的频率公式，计算即可； （2）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，据此求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 故答案为：； （2）解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴所以这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 4．(24-25九上·北京东城区·期末)某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 5．(24-25九上·北京丰台区·期末)在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验多次后，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中大约有白球 个． 【答案】16 【分析】设盒子中大约有白球x个，根据黑球有4个，利用黑球数量除以球的总数可得其频率为0.2，据此列方程解题即可． 【详解】设盒子中大约有白球x个，根据题意得： 解得: 故答案为：16． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．(24-25九上·北京海淀区·期末)小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 … 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为 ；由此估计图形的面积为 平方米． 【答案】 0.4 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． （1）大量试验时，频率可估计概率； （2）利用概率，根据图形A的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【详解】解：（1）因为石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为0.4； 故答案为：0.4； （2）∵圆的半径为1米， ∴它的面积为， ∵石子落在图形内的概率为， ∴估计图形的面积为平方米， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率初步 3大高频考点概览 考点01 随机事件与概率 考点02 列举法求概率 考点03 用频率估计概率 地 城 考点01 随机事件与概率 一、单选题 1．(24-25九上·北京西城区·期末)某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，下图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 2．(24-25九上·北京朝阳区·期末)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（    ） A．两枚硬币都正面向上的可能性最大 B．两枚硬币都反面向上的可能性最大 C．一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的可能性最大 D．以上三种情况的可能性相同 3．(24-25九上·北京东城区·期末)下列事件为必然事件的是（   ） A．在平面上画一个三角形，其内角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．购买1张彩票，中奖 二、填空题 4．(24-25九上·北京海淀区·期末)学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 5．(24-25九上·北京东城区·期末)古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式表示数字，如图所示. 据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如，算筹表示的四位数是6613. （1）用3根算筹表示的两位数可以是 （写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为 （算筹不剩余且个位不为0）. 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)“射击运动员射击一次，命中靶心”，这个事件是 事件（填“必然”，“不可能”或“随机”） 三、解答题 7．(24-25九上·北京西城区·期末)在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 (2)试估算口袋中白球有多少个？ (3)若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 第二次第一次 白1 白2 黑1 黑2 白1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2） 白2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2） 黑1 （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2） 黑2 （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2） 8．(24-25九上·北京海淀区·期末)2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 (1)从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 地 城 考点02 列举法求概率 一、单选题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币朝向相同的概率是（ ） A． B． C． D． 正 反 正 正，正 正，反 反 反，正 反，反 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 3．(24-25九上·北京大兴区·期末)大兴区在创建书香校园，推进学生阅读素养提升活动中，通过实施扩大阅读供给空间，调整阅读供给方式，增加优质阅读供给内容等举措，为学生“爱读书、读好书、善读书”搭建了丰富的活动平台，营造了书香浸润的氛围．为了解本区初中生每周用于课外阅读的时间，制订了如下调查方案，并进行数据统计分析． 【调查方案】 方案 调查方式 ① 在指定一所学校中随机抽取500名学生进行调查分析 ② 在全区初中生中随机抽取500名学生进行调查分析 ③ 在全区八年级男生、女生中各随机抽取250名学生进行调查分析 【数据整理】将抽取的500名学生每周用于课外阅读的时间单位：分钟的数据，划分为四个等级：，，，，并绘制成如下不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)三个方案中调查方式合理的是______填“①”或“②”或“③”； (2)请补全条形统计图； (3)在全区抽取的D等级样本中，某校有3名学生被抽中，其中2名男生和1名女生．该校计划从这3名学生中，随机抽取2名学生进行读书活动的展示分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 男 男 女 男 男，男 男，女 男 男，男 男，女 女 女，男 女，男 4．(24-25九上·北京朝阳区·期末)甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下： 两枚骰子点数相同时甲胜； 两枚骰子的点数之和为时乙胜； 是否存在m的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 5．(24-25九上·北京西城区·期末)在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，1．小红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号． (1)用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果； (2)规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜． ①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由； ②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出的取值范围． m 1 m 1 6．(24-25九上·北京海淀区·期末)2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 (1)从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； (2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 地 城 考点03 用频率估计概率 一、单选题 1．(24-25九上·北京三帆中学·期末)下列说法中，不正确的是（      ） A．“a是实数，”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 D．不可能事件发生的概率为0 二、填空题 2．(24-25九上·北京朝阳区·期末)某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 （精确到)． 3．(24-25九上·北京丰台区·期末)林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总效n 10 50 400 750 1500 3500 9000 14000 成活数m 8 47 369 662 1335 3203 8073 12628 成活的频率 （结果保留小数点后三位） 0.800 a 0.923 0.883 0.890 0.915 0.897 0.902 根据表中信息，回答下列问题： （1）a的值为 ； （2）估计幼树移植成活的概率为 （结果保留小数点后一位） 4．(24-25九上·北京东城区·期末)某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 5．(24-25九上·北京丰台区·期末)在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验多次后，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中大约有白球 个． 6．(24-25九上·北京海淀区·期末)小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 … 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为 ；由此估计图形的面积为 平方米． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $