6 重点题型强化（二） 对称与最值问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

重点题型强化（二） 对称与最值问题 　 第二章 平面解析几何 知识层面 1.学会解决点点、点线、线线对称问题．　 2.会应用对称问题解决最值问题. 素养层面 通过点点、点线、线线对称的学习，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 题型一　对称问题 1 题型二　最值(范围)问题 2 内容索引 课时测评 3 题型一　对称问题 返回 角度1　中心对称 　　(1)已知不同的两点(a，－b)P与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝ A．－5 B．14 C．－14 D．5 √ 例1 (2)直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程为_____________． 方法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 3x－y－10＝0 方法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，则可设l的方程为3x－y＋C＝0(C≠－4)． 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋C＝0上，所以3×4－2＋C＝0，所以C＝－10.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法技巧 方法技巧 2．直线关于点对称 直线l关于点P对称的直线l′满足：(1)直线l′与直线l平行；(2)直线l上的任意一点关于点P的对称点在直线l′上．直线l关于点P(x0，y0)的对称直线l′的方程的三种求法：①设直线l′上任意一点N(x，y)，则其关于点P(x0，y0)的对称点M的坐标为(2x0－x，2y0－y)，且点M在直线l上，将点M的坐标代入直线l的方程，化简即可得直线l′的方程．②求出直线l上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求直线l′的方程．③若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，点P(x0，y0)，可设直线l′的方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)．由 点P到直线l和l′的距离相等，可列方程 求解，进而可得直线l′的方程．　　 对点练1．(1)(2024·四川绵阳高二检测)直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线方程为 A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1，1)对称的直线上任意一点P(x，y)，则P，关于A(1，1)的对称点为(2－x，2－y)，又因为(2－x，2－y)在4x＋3y－2＝0上，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.故选B. √ (2)在△ABC中，设A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为_______________________． (2，－7)或(－3，－5) 角度2　轴对称 　　　(1)(2024·江苏苏州高二月考)点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是 A．(－2，1) B．(－2，5) C．(2，－5) D．(4，－3) √ 例2－1 (2)(2024·吉林长春高二期末)已知点A(2，0)与点B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为 √ 　　　已知直线l：x－y－1＝0，l1：x－y＋3＝0，l2：2x－y－1＝0. (1)求直线l1关于直线l的对称直线l′1的方程； 解：因为l1∥l，所以l′1∥l. 设直线l′1的方程为x－y＋C＝0(C≠3，且C≠－1)． 在直线l1上取点M(0，3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)， 即点M′的坐标为(4，－1). 把点M′的坐标代入直线l′1的方程，得4－(－1)＋C＝0，解得C＝－5， 所以直线l′1的方程为x－y－5＝0. 例2－2 (2)求直线l2关于直线l的对称直线l′2的方程． 所以l2与l的交点坐标为A(0，－1). 另取l2上不同于A的一点B(1，1)，设B(1，1)关于l的对称点为B′(m，n)， 即点B′的坐标为(2，0). 方法技巧 轴对称问题的常见类型及解题策略 1．点关于直线对称 (1)基本方法：设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂 直．即 解此方程组可得x′，y′，即得点P′ 的坐标． 方法技巧 (2)常见结论： ①点P(x0，y0)关于x轴的对称点为P′(x0，－y0)； ②点P(x0，y0)关于y轴的对称点为P′(－x0，y0)； ③点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x0，y0)； ④点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为P′(x0，2b－y0)； ⑤点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为P′(y0，x0)； ⑥点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点为P′(－y0，－x0)； ⑦点P(x0，y0)关于直线y＝x＋b的对称点为P′(y0－b，x0＋b)； ⑧点P(x0，y0)关于直线y＝－x＋b的对称点为P′(－y0＋b，－x0 ＋b)． 方法技巧 2．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点(除交点外)关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解；也可以求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，利用点斜式写出直线l2的方程． 方法技巧 (3)常见结论： ①与直线Ax＋By＋C＝0关于x轴对称的直线的方程为Ax－By＋C ＝0； ②与直线Ax＋By＋C＝0关于y轴对称的直线的方程为－Ax＋By＋ C＝0； ③与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝x对称的直线的方程为Ay＋Bx＋C＝0； ④与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝－x对称的直线的方程为－Ay－Bx＋C＝0. 对点练2．(1)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是 A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0 C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0 √ (2)点A(3，－4)与点B(5，8)关于直线l对称，则直线l的方程为________________． x＋6y－16＝0 (3)直线y＝2x＋1关于直线y＝2x＋3对称的直线方程为________________． 返回 y＝2x＋5 题型二　最值(范围)问题 返回 　 已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小，并求这个最小值； 即C′(－1，1)， 例3 (2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大，并求这个最大值． 由对称性知，|BQ|＝|B′Q|，|AQ|－|BQ|＝|AQ|－|B′Q|≤|AB′|(当且仅当Q，B′，A三点共线时取“＝”)， 所以l上的点Q(2，5)，是使||AQ|－|BQ||最大的点． 方法技巧 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 对点练3．已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小． 解：由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5)． 由对称性可知，当P，Q在M1M2上时，△MPQ的周长|MP|＋|PQ|＋|MQ|＝|M1P|＋|PQ|＋|M2Q|有最小值． 由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 返回 课时测评 返回 1．已知点A(x，2)与B(－3，y)关于坐标原点对称，则x＋y等于 A．5 B．1 C．－5 D．－1 由A(x，2)与B(－3，y)关于坐标原点对称，则x＝3，y＝－2，所以x＋y＝1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知直线l：y＝x＋1，则点P(2，4)关于l的对称点的坐标为 A．(－3，3) B．(3，3) C．(3，－5) D．(5，3) √ 方法二：(速解)当x＝2时，y＝2＋1＝3；当y＝4时，4＝x＋1，即x＝3，所以点P(2，4)关于l的对称点的坐标为(3，3)．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．与直线3x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为 A．x－3y＋1＝0 B．3x＋y－1＝0 C．x＋3y＋1＝0 D．3x＋y＋1＝0 √ 设P(x，y)为所求直线上任一点，则P(x，y)关于y轴对称的点为(－x，y)，由题意可得点(－x，y)在直线3x－y＋1＝0上，所以－3x－y＋1＝0，即3x＋y－1＝0，所以与直线3x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为3x＋y－1＝0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为 A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0 方法二：(速解)求直线l1：3x－2y－6＝0关于l2：x－y－2＝0对称的直线只需将l1中的x换为y＋2，l1中的y换为x－2 ，所以所求的直线方程为3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，即2x－3y－4＝0.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知直线l1：x＋my＋5＝0和直线l2：x＋ny＋p＝0，则l1、l2关于y轴对称，则 设与l1关于y轴对称的直线l2上任一点M(x，y)，则(－x，y)在l1上，即－x＋my＋5＝0，所以直线l2的方程为x－my－5＝0，所以m＝－n，p＝－5.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知点P(－1，1)与直线l：x－y＋1＝0，下列说法正确的是 A．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 B．过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条 C．点P关于直线l的对称点坐标为(0，2) D．直线l关于点P对称的直线方程为x－y－1＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．将一张坐标纸折叠一次，使点(3，2)与点(1，4)重合，则折痕所在直线的一般式方程为____________． x－y＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．一条光线从点P(7，5)射入，经x轴反射后沿直线x－ay＋3＝0射出，则a＝________． 点P(7，5)关于x轴对称的点为P′(7，－5)，由题意可知，反射光线经过点P′(7，－5)，将点P′(7，－5)的坐标代入方程x－ay＋3＝0得7＋5a＋3＝0，解得a＝－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．如图，一束光线从A(3，4)出发，经过坐标轴反射两次经过点D(6，2)，则总路径长即|AB|＋|BC|＋|CD|总长为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知直线l1：2x＋3y－2＝0和点A(3，0)，设l1关于点A对称的直线为l2. (1)求直线l2的方程； 解：设l2：2x＋3y＋m＝0(m≠－2)，从直线l1取点C(1，0)， 则C(1，0)关于A(3，0)的对称点为C′(5，0)， 把点C′(5，0)代入l2得到10＋m＝0，解得m＝－10， 故l2：2x＋3y－10＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求点A(3，0)关于直线l1的对称点B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(新情境)(多选)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2，4)，军营所在位置为B(6，2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则下列结论正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题可知A，B在x＋y－3＝0的同侧，设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如图所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)在△ABC中，A(－2，1)，其中直线l1：x－y＋2＝0，l2：2x－4y＋5＝0是∠B和∠C的平分线． (1)求点A关于l1的对称点A′的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求直线BC的方程． 因为l1，l2是∠B和∠C的平分线，所以A′，A″均在直线BC上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(2024·北京海淀高二联考)已知点P，Q分别在直线l1：x＋y＋2＝0 与直线l2：x＋y－1＝0上，且PQ⊥l1，点A(－3，－3)，B ，则|AP|＋ |PQ|＋|QB|的最小值为___________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以|AP|＋|PQ|＋|QB|＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知直线l：x－2y＋4＝0，点A(0，4)，点B(－2，－4)，点P(m，n)在直线l上移动． (1)求m2＋n2－2m＋2n的最小值； 解：因为m2＋n2－2m＋2n＝(m－1)2＋(n＋1)2－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求||PB|－|PA||的最大值，以及取最大值时点P的坐标． 解：设A(0，4)关于直线l：x－2y＋4＝0的对称点为A′(a，b)， 所以||PB|－|PA||的最大值为 所以||PB|－|PA||的最大值为6，此时P(4，4)． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 中心对称问题的常见类型及解题策略 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)，本质是中点问题，所以可利用中点坐标公式求得，即由得 ＝ 所以过A(0，－1)与B′(2，0)的直线l′2的方程为y＝×(x－2)，即x－2y－2＝0. 解：设C关于直线l的对称点C′的坐标为(a，b)，则解得 解：设B关于直线l的对称点B′的坐标为(m，n)，则解得得B′(3，3)， 解方程组得交点P.令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q. 方法一：设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则解得(*)，因为点M′在直线3x－2y－6＝0上，所以将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．故选C. 3 解：设B(a，b)，则A，B的中点，直线l1：2x＋3y－2＝0的斜率k1＝－， A．1 B． C． D．2 ＋ 则有＋＝|MC|＋|MD|≥|CD|＝ (当D，M，C三点共线时等号成立)．综上可知，|AP|＋|PQ|＋|QB|≥＋. 点(1，－1)到直线x－2y＋4＝0的距离是d的最小值，即＝. ＝6， $