9 重点题型强化（一） 空间直角坐标系的构建问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

重点题型强化（一） 空间直角坐标系的构建问题 　 第一章 空间向量与立体几何 知识层面 1.了解空间坐标系建立的过程与必要性．　 2.能建立空间直角坐标系解决空间几何问题． 素养层面 依据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，提升直观想象、逻辑推理素养. 题型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 1 课时测评 4 题型二　利用正棱锥的中心与高所在的直线建系 2 内容索引 题型三　利用线面、面面的垂直关系建系 3 题型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 返回 　　 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 例1 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 方法技巧 1．在长方体、正方体中，一般选择共顶点的三条相互垂直的棱为坐标轴建系． 2．直棱柱的侧棱垂直于底面，如果在底面上有相互垂直的邻边，也可构造此类建系模型． 对点练1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点． (1)证明：直线BD1∥平面ACE； 证明：如图，连接BD交AC于点O，连接EO，由于E为DD1的中点，O为BD的中点，则EO∥BD1， 又因为EO⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. (2)求异面直线CD1与AE所成角的余弦值． 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2a，则C(0，2a，0)，D1(0，0，2a)，A(2a，0，0)，E(0，0，a)， 设CD1与AE所成角为θ， 返回 题型二　利用正棱锥的中心与高所在的直线建系 返回 　　 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB＝2 ，点E，F分别为PB，PD的中点．若平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值． 例2 解：如图，连接AC，BD交于点O，则OA，OB，OP两两互相垂直． 以点O为坐标原点，分别以射线OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系． 从而可得有关点的坐标分别为A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，D(0，－2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，F(0，－1，1). 设平面AEGF的法向量为n＝(x，y，z)， 可取x＝1，解得y＝0，z＝2， 从而得到平面AEGF的一个法向量为n＝(1，0，2). 平面ABCD的法向量显然可取为m＝(0，0，1)， 方法技巧 正棱锥底面中心与顶点的连线与底面垂直，建系时常作z轴． 对点练2．已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h. (1)求∠DEB的余弦值； 解：如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB. 由AB＝2a，OV＝h， (2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值． 返回 题型三　利用线面、面面的垂直关系建系 返回 　　 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点． (1)求证：AE⊥平面A1BD； 例3 证明：如图所示，取A1C1的中点G，连接DG，由直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D是AC的中点，所以BD⊥AC， 又平面ACB⊥平面ACC1A1，平面ACB∩平面ACC1A1＝AC，BD⊂平面ABC， 所以BD⊥平面ACC1A1， 由D，G分别为AC，A1C1的中点，可得DG⊥AC，可得DG，DA，DB两两垂直． 以D为坐标原点，以DG，DA，DB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以AE⊥DA1，AE⊥DB， 又DA1∩DB＝D，DA1，DB⊂平面A1BD， 所以AE⊥平面A1BD. (2)求直线AB与平面A1BD所成角的正弦值． 方法技巧 1．已知条件中的线面、面面垂直关系是建系的依据． 2. 如果题目中没有明显的垂直关系，可先根据已知条件，设法证明线面、面面垂直，进而为建系做准备．　　 对点练3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC＝2AB＝4，PA＝2，且∠ABC＝60°，点E为棱PD上一点(不与P，D重合)，平面BCE交棱PA于点F. (1)求证：BC∥EF； 证明：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， 所以BC∥平面PAD， 又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF， 所以BC∥EF. (2)若E为PD中点，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值． 证明：取BC的中点为M，连接AM， 因为AB＝BC，且∠ABC＝60°， 所以△ABC为等边三角形， 所以AM⊥BC，又AD∥BC，所以AM⊥AD， 以A为原点，以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为AM⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量为m＝(1，0，0)， 返回 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)， 返回 课时测评 返回 1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则点C到直线AB1的距离为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，BD，BB1的中点，则EF与CG所成的角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝8.点A2，C2，D2分别在棱AA1，CC1，DD1上，AA2＝2，DD2＝4，CC2＝6，则点D到平面A2C2D2的距离为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD， BC的中点，O是AC的中点，∠ABC＝ ，则折后直线AC与平面OEF所成角的正弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 连接OD，OB，依题意可得OD⊥AC，OB⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD⊂平面ADC，所以OD⊥平面ABC，以O为原点，OB，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，AB为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面α，则直线AB与平面α所成角的正弦值可以是 √ √ √ 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，设M(0，2，a)，0≤a≤2，因为AM⊥平面α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AP＝a.若D是棱PC上的点，满足PD＝ PC，且AD⊥PB，则a＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(2024·山东淄博高二质量检测)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥ 平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则D到直线PB的距离为_______． 由于PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，而四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，由此以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．已知梯形CEPD如图①所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图②所示的几何体．已知当AB上一点F满足|AF|＝λ|AB| (0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，|AC|＝|BC|＝|CC1|＝2. (1)求证：AB1⊥BC1； 解：证明：建立空间直角坐标系，其中C为坐标原点． 依题意得A(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求点B到平面AB1C1的距离． 解：设n1＝(x1，y1，z1)是平面AB1C1的法向量， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP长度的取值范 围为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)已知四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，BC＝CD＝ AB＝2，PA⊥BD. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； 所以BD2＋AD2＝AB2， 所以AD⊥BD， 又PA⊥BD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面ABCD， 所以平面ABCD⊥平面PAD，即平面PAD⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知异面直线A1C与AD，A1C与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线B1D和平面A1BC所成的角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)如图，梯形ABCD中，AD＝4，E为AD中点，且CE⊥AD，CE＝ BC＝1，将△DEC沿CE翻折到△PEC，使得∠PEA＝ .连接PA，PB. (1)求证：BE⊥PC； 证明：因为CE⊥AD，所以CE⊥AE，CE⊥PE. 又PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE， 所以CE⊥平面PAE. 又CE⊂平面ABCE，所以平面ABCE⊥平面PAE. 在梯形ABCD中，DE＝2，所以AE＝2. 所以在四棱锥P-ABCE中，PE＝AE＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取AE中点O，连接PO，OB，OC.易得PO⊥AE，OB⊥AE. 由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABCE， 所以PO⊥BE. 又BC＝CE＝OE＝1，CE⊥AE，CE⊥BC， 所以四边形OBCE为正方形，所以BE⊥OC. 又OC∩PO＝O，OC，PO⊂平面POC， 所以BE⊥平面POC. 又PC⊂平面POC，所以BE⊥PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面QBC的法向量为m＝(x，y，z)， 返回 易知平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，C(1，，0)， P(0，0，1)，D(0，，0)，E， 因为PA＝AB＝2，由勾股定理易知OA＝OB＝OP＝＝2， 则D(0，0，0)，A(0，1，0)，A1(2，1，0)，E(1，－1，0)，B(0，0，)，B1， 解：由(1)可得AE⊥平面A1BD，则n＝＝(1，－2，0)，即为平面A1BD的一个法向量， 设平面ACE与平面PAD的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝. 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则E，F，C(0，1，0)，G，所以＝，＝，设EF与CG所成的角的大小为θ， 因为＝(－2，2，0)，所以B到平面AB1C1的距离为d＝＝＝. 12．(5分)(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝，AB＝PA＝CD＝2，BC＝2，M为PD的中点，则下列结论正确的是 解：如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(0，2，0)，C(－，，0)，P(，0，)， 设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sin θ＝＝＝＝， A． B． C． D． (2)Q为线段PA上一点，若＝λ，若二面角Q-BC-A的平面角的余弦值为时，求实数λ的值． 解：由(1)知OA，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点．以OA，OB，OP所在直线建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，1，0)，P(0，0，)，由＝λ得Q(1－λ，0，λ)(0≤λ≤1)，则＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，0，0). $