专题05一元一次方程（期末真题汇编，山东专用）七年级数学上学期新教材北师大版

专题05 一元一次方程 6大高频考点概览 考点01 一元一次方程的定义及解的判断 考点02 等式的性质应用 考点03 一元一次方程的解法 考点04 含参数一元一次方程的应用 考点05 一元一次方程应用——工程问题 考点06 一元一次方程应用——销售盈亏 考点07 一元一次方程应用——方案选择 考点08 一元一次方程应用——行程问题 考点09 一元一次方程应用——综合应用 地 城 考点01 一元一次方程的定义及解的判断 一、单选题 1．(25-26七上·北京第十四中学·期中)下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26七上·江苏泰州靖江靖城南北联盟·期中)根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 3．(25-26七上·安徽马鞍山第八初级中学·期中)下列方程中，解为的是（） A． B． C． D． 4．(25-26七上·安徽合肥新站区·期中)下列方程中，以为解的方程是（   ） A． B． C． D． 5．(25-26七上·江苏泰州姜堰区·期中)整式的值随的取值不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 12 8 4 0 A． B． C． D． 6．(25-26七上·四川自贡富顺第二中学校·期中)如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 二、填空题 7．①②③④⑤⑥⑦中，是方程的是 ，是一元一次方程的是 (将序号写到横线上)． 8．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为 ． 9．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程 ． 10．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 11．关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 3 1 3 5 12．(25-26七上·北京第三十五中学·期中)已知是关于的方程的解，则的值是 ． 13．(25-26七上·辽宁盘锦双台子区第一中学·期中)若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 14．(24-25七·甘肃武威古浪第六中学·月考)写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是 ． 地 城 考点02 等式的性质应用 一、单选题 1．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)已知，则下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26七上·辽宁大连庄河第三十初级中学·期中)下列运用等式的性质，变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．(25-26七上·江苏泰州姜堰区·期中)根据等式的基本性质，如果，那么下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26七上·北京房山区·调研)根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．(25-26七上·江苏无锡滨湖区·期中)已知，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．(25-26七上·江苏常州·期中)下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．(25-26七上·广东广州第八十九中学·期中)若，则下列等式错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．(25-26七上·广东珠海文园中学（集团）·期中)已知与互为相反数，那么 ． 9．(25-26七上·江苏南京玄武区·期中)已知，均是关于的整式，其中，，且当时，，则代数式的值为 ． 10．(25-26七上·黑龙江哈尔滨道外区青衿协作体·期中)解方程 ． 11．(25-26七上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)在公式中，已知s，a，b，则 ． 三、解答题 12．（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 地 城 考点03 一元一次方程的解法 一、单选题 1．(25-26七上·广东汕头潮南区司马浦公办学校·月考)已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 2．(25-26七上·上海浦东新区几校·期中)若关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(25-26七上·江西吉安吉州区·期中)按如图所示的程序计算，若输入一个数为，第一次与第二次输出的结果的和为，则 ． 4．(25-26七上·湖南岳阳湘阴县·期中)若与互为相反数，则m的值为 ． 三、解答题 5．解方程： (1)； (2)． 6．(25-26七上·甘肃张掖肃南裕固族自治县祁丰学校·月考)规定，当时，试求x的值． 8．(25-26七上·甘肃平凉崆峒区广成学校·期中)已知代数式的值与字母的取值无关，求a，b的值． 9．(23-24七上·湖南张家界慈利县·期末)解方程：． 10．解方程： 11．(25-26七上·甘肃张掖肃南裕固族自治县祁丰学校·月考)解方程：． 12．(25-26七上·甘肃平凉崆峒区广成学校·期中)李华在解方程时，■处被油墨盖住，不能解出的值，通过问老师得知这个方程的解是，求■处的数字． 13．(25-26七上·北京西城区德胜中学·期中)下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该方程的正确解答过程． 地 城 考点04 含参数一元一次方程的应用 一、单选题 1．(25-26七上·江苏宿迁沭阳县怀文中学联盟·期中)已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 2．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 3．(25-26七上·河北邯郸第二十三中学·期中)某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 4．(25-26七上·浙江杭州观成教育集团·期中)若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 5．在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 二、填空题 6．(24-25七上·浙江绍兴柯桥区·期末)已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 7．若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为 ． 8．若方程的解为，的解为： ． 9．(24-25七上·重庆万州第二高级中学·)小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 10．(25-26七上·安徽阜阳临泉县·期中)已知关于x的方程． （1）若，则代数式的值为 （2）已知关于x的方程的解比方程的解小6，则a的值为 三、解答题 11．(25-26七上·期中试卷（提优卷）·期中)（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 12．(25-26七上·江苏扬州梅岭中学教育集团·期中)已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 地 城 考点05 一元一次方程的应用——工程问题 一、单选题 1．(25-26七上·辽宁大连庄河第三十初级中学·期中)一件工作，甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，现由甲先做2小时，余下部分由乙独做，又做了x小时完成，用方程表示为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26七上·河南郑州·月考)有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．6天 3．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 二、填空题 4．一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 5．一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为 ． 6．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合作期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了 天假． 7．(24-25七上·北京海淀区中国人民大学附属中学·)一项工程，甲队天干完，乙队天干完．两队合干天后，由甲队单独干，还要 天干完． 8．(24-25七·河南郸城县光明中学·月考)一项工程，甲单独完成须20天，乙单独完成须30天，两人合作须 天完成． 9．(24-25七上·河南安阳·月考)某仓库进了一批货物，整理这批货物，由1人整理要30h完成．现在计划由一部分人先整理2h，再增加3人和他们一起整理4h，完成这项工作．假设每人的工作效率相同，先安排人整理，则可列方程为 ． 10．(24-25七·陕西渭南潼关县·期末)甲、乙两个加工厂计划为某开发公司加工一批产品，已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，则加工的这批产品共有 件． 三、解答题 11．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 12．(24-25七上·重庆两江中学·月考)一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 地 城 考点06 一元一次方程的应用——销售盈亏 一、单选题 1．(24-25七上·江苏南京鼓楼区·期末)一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（   ） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 2．(25-26七上·云南曲靖部分学校·期中)某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么该商店卖出这两件衣服总的是（  ） A．盈利16元 B．亏损16元 C．盈利20元 D．亏损20元 3．(25-26七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中)某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（  ） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 4．(25-26七·重庆第八中学校·月考)某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对两种商品实行打折销售．已知购买件商品和件商品只需元；购买件商品和件商品需用元．若设商品的单价为元，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(25-26七上·福建福州仓山区·期中)某商店换季促销，将一件标价为240元的T恤打8折售出，获利，则这件T恤的成本为（　　） A．114元 B．160元 C．192元 D．200元 6．(24-25七上·福建泉州安溪县铭选中学·月考)某商场把进价为2000元的商品按标价的八折出售，仍获利，则该商品的标价为（　　） A．2500元 B．2650元 C．2750元 D．3000元 7．(25-26七上·安徽蚌埠禹会区部分学校·月考)文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 二、填空题 8．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中)小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是当季新采，盈利了；另一盒是库存坚果，只能亏本清仓．小松鼠卖出这两盒坚果后，赚了 元． 9．学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 10．(25-26七上·江苏南京鼓楼区·期中)某种商品原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利．若商家想获利，则相应的优惠方案为 （写出一种即可）． 11．(25-26七上·黑龙江哈尔滨荣智学校·期中)某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 12．(23-24七上·陕西西安庆安初级中学·)某品牌的皮鞋标价为150，打八折后仍可获利，则该皮鞋的进价为 元． 地 城 考点07 一元一次方程的应用——方案选择 一、单选题 1．(25-26七上·安徽合肥第三十八中学·期中)某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 2．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有 3．(25-26七上·重庆八中两江金溪中学校·开学考)现有若干人乘车，如果每3人共乘一辆车，空余1辆车；如果每2人共乘一辆车，有12个人无车可乘，则一共有 人． 4．(24-25七上·四川广安邻水县·期末)活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等． 三、解答题 5．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 6．(25-26七上·江苏徐州丰县·期中)为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 7．(24-25七上·广西南宁青秀区荔英中学·月考)我校第31届校运会即将举行，七年级1班和2班联合组成一个方阵进行开幕式节目表演．现有两种排列方案，方案一：每排站10人，则多出4人；方案二：每排站11人，则最后一排缺6人．已知两种方案的方阵排数相同，均为排． (1)方案一可得总人数为________人，方案二可得总人数为________人（用含的式子表示）； (2)求两种站法的排数是多少排？ (3)表演时每名学生需要一个4元的道具，问七年级1班和2班一共需要花费多少元购买道具？ 8．(24-25七上·天津静海区实验中学·)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物超过元，超出元的部分按收费．已知小红在同一商场累计购物元，其中． (1)当时，小红在甲商场需花费______元，在乙商场需花费______元． (2)分别用含的代数式表示小红在甲、乙商场的实际花费． (3)小红累计购物多少元时，在甲乙两商场实际花费相同？ 地 城 考点08 一元一次方程的应用——行程问题 一、单选题 1．(25-26七上·重庆求精中学校·期中)如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 2．(25-26七上·四川绵阳游仙区·期中)某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（　　） 千米． A．1600 B．1800 C．2050 D．2250 3．(23-24七上·四川成都成都石室联合中学·模拟)一列火车长 160 米，每秒行 20 米，全车通过 440 米的大桥，需要（    ）秒． A．8 B．22 C．30 D．无法确定 4．(24-25七上·湖南娄底多校联考·开学考)某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（   ） A．72米 B．24米 C．144米 D．96米 二、填空题 5．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了7小时（中途不停)，则甲、乙两码头的距离为 ． 6．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)某高速公路上行驶着货车和轿车，货车和轿车速度比为，已知货车的速度比最高限速少，轿车的速度比最高限速多，则此高速公路的最高限速是 ． 7．(25-26七·福建厦门思明区松柏中学·期中)一列慢车和一列快车分别从、两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出．相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，、两站相距 千米． 8．周日，甲、乙两名同学从学校出发去少年宫参加演讲比赛，甲同学先以4千米/小时的速度步行出发20分钟后，乙同学骑自行车以8千米/小时的速度追赶甲同学．那么乙同学追上甲同学用的时间是 小时． 9．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·月考)小明和小亮分别同时从同一直线上的A、B两地出发，相向而行．小明每分钟走80米，小亮的速度是小明的，两人出发5分钟后相距50米，则A、B两地之间的距离是 米． 三、解答题 10．(24-25七上·湖南娄底多校联考·开学考)小王从A城到B城，速度是40千米/小时，小兰从B城到A城，速度是30千米/小时，两人同时出发，结果在距A、B两城中点10千米处相遇，求A、B两城间的距离． 11．(24-25七上·陕西西安阎良区·期末)小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 12．(25-26七上·河南郑州第八十二中学·)一辆汽车从甲城开往乙城6小时到达，返回时减慢了速度，每小时比原来少行5千米，结果用了8小时就回到了甲城，求甲城到乙城的路程有多少千米？ 地 城 考点09 一元一次方程的应用——综合应用 一、单选题 1．(24-25七上·陕西渭南潼关县·期末)甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 2．文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 4．(25-26七上·湖北武汉江汉区·期中)今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 5．(25-26七上·浙江金华东阳·期中)李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(25-26七上·江苏徐州·期中)某体育器材店在双“11”开展篮球促销活动，促销办法如下：每个篮球标价25元，若购买超过10个，享受八折优惠．在活动期间某中学的七（1）、（2）班到该店购买篮球，已知七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元．设七（2）班买x个篮球，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(25-26七上·上海松江区·期中)某校六年级共有学生120人，其中男生占，后来又转来几名女生，这时男生占总人数的，转来的女生有 人． 三、解答题 9．甲、乙两人按的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？ 10．(25-26七上·重庆求精中学校·期中)下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 11．(25-26七上·甘肃张掖肃南裕固族自治县祁丰学校·月考)某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，问应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 12．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 6大高频考点概览 考点01 一元一次方程的定义及解的判断 考点02 等式的性质应用 考点03 一元一次方程的解法 考点04 含参数一元一次方程的应用 考点05 一元一次方程应用——工程问题 考点06 一元一次方程应用——销售盈亏 考点07 一元一次方程应用——方案选择 考点08 一元一次方程应用——行程问题 考点09 一元一次方程应用——综合应用 地 城 考点01 一元一次方程的定义及解的判断 一、单选题 1．(25-26七上·北京第十四中学·期中)下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A． ，无等号，不是方程； B． ，含不等号，不是方程； C． ，有等号且含未知数，是方程； D． ，无未知数，不是方程． 故选：C． 2．(25-26七上·江苏泰州靖江靖城南北联盟·期中)根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列方程，将文字描述转化为数学方程，注意“y的7倍”为，“x减去y的7倍”即，列出方程即可 【详解】解：的7倍为，x减去y的7倍为，等于8，即， 方程为， 故选：A 3．(25-26七上·安徽马鞍山第八初级中学·期中)下列方程中，解为的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 将代入每个方程，验证等式是否成立． 【详解】解：∵对于选项A：当时，左边，右边，，故不符合题意； 对于选项B：当时，左边，右边，，故不符合题意； 对于选项C：当时，左边，右边，，故符合题意； 对于选项D：当时，左边，右边，，故不符合题意； 故选C． 4．(25-26七上·安徽合肥新站区·期中)下列方程中，以为解的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，一元二次方程的解的定义，熟知概念是关键． 通过将直接代入各方程，验证方程左右两边是否相等，从而判断是否为解． 【详解】∵将代入各方程： 对于A：左边，右边，，∴不成立； 对于B：左边，右边，，∴成立； 对于C：左边，右边，，∴不成立； 对于D：左边，右边，，∴不成立， 故选：B． 5．(25-26七上·江苏泰州姜堰区·期中)整式的值随的取值不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 12 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为，然后从表格中直接查找使的值． 【详解】解：由得， 由表格数据，当 时， ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 6．(25-26七上·四川自贡富顺第二中学校·期中)如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到关于a和b的关系式，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴； 故选：C． 二、填空题 7．①②③④⑤⑥⑦中，是方程的是 ，是一元一次方程的是 (将序号写到横线上)． 【答案】 ①②③④⑦ ③⑦ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行判断即可． 【详解】解：①是方程，含有两个未知数，不是一元一次方程； ②是方程，但不是一元一次方程， ③，是一元一次方程， ④，是方程，但不是一元一次方程 ⑤，不含未知数，不是方程， ⑥，不是等式，不是方程， ⑦，是一元一次方程， 综上所述，是方程的是①②③④⑦，是一元一次方程的是③⑦ 故答案为：①②③④⑦；③⑦． 8．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮， 由题意得． 故答案为：． 9．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故答案为：． 10．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 11．关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 3 1 3 5 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．观察表格中与的值，找到两者相等时对应的值，即为方程的解． 【详解】解：当时，，，即， 所以方程的解为． 故答案为：． 12．(25-26七上·北京第三十五中学·期中)已知是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义． 根据方程解的定义，将代入方程，求解的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 即， 解得． 故答案为：． 13．(25-26七上·辽宁盘锦双台子区第一中学·期中)若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 4或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，且系数不为零，因此需满足且． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：或， 故答案为：4或． 14．(24-25七·甘肃武威古浪第六中学·月考)写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意可以列出一个符合要求的一元一次方程即可． 【详解】解：方程的解是5，则， 某个未知数的系数是，则可列方程， 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点02 等式的性质应用 一、单选题 1．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)已知，则下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时加、减、乘同一个数或除以同一个非零数，等式仍然成立．选项C中分母可能为零，导致变形错误． 【详解】解：， A、两边同乘，得，正确； B、两边同减，得，正确； C、当时，不能两边除以0，错误； D、分母为，恒不为零，两边同除，等式成立，正确， 故选：C． 2．(25-26七上·辽宁大连庄河第三十初级中学·期中)下列运用等式的性质，变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，不符合题意； B、若，则，原结论正确，不符合题意； C、若，则，原结论正确，不符合题意； D、若，则需要时，才成立，原结论错误，符合题意． 故选：D． 3．(25-26七上·江苏泰州姜堰区·期中)根据等式的基本性质，如果，那么下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时进行相同的加减乘除（除数不为零）运算，等式仍然成立．选项B中，不一定成立，因为时，a和b可能不为零． 【详解】解：∵， ∴对于A：，两边同减c，正确； 对于B：，当时，，错误； 对于C：，两边同除以3，正确； 对于D：， ∵， ∴， ∴，正确． 故选：B． 4．(25-26七上·北京房山区·调研)根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 5．(25-26七上·江苏无锡滨湖区·期中)已知，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减或乘同一个数，等式仍成立；但除以同一个数时，除数不能为零，否则等式不一定成立，由此求解即可． 【详解】由于，根据等式的基本性质有： A、，成立； B、，成立； C、，成立； D、，当时成立，但a可能为0，因此不一定成立． 故选：D． 6．(25-26七上·江苏常州·期中)下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质.等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等。根据性质逐项判断即可. 【详解】解：A：∵ 中，若，则与不一定相等，∴ A错误， B：∵，根据等式性质，，但选项为 ，显然不成立，∴ B错误， C：∵，且 ，∴ 两边同除以 得 ，∴ C正确， D：∵ ，∴ 两边同减1得 ，而非 ，∴ D错误， 故选C. 7．(25-26七上·广东广州第八十九中学·期中)若，则下列等式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，运用等式性质时，注意除以一个数必须确保该数不为零．选项A、B、C在时均根据等式性质成立，但选项D中c可能为零，导致分母为零，等式无意义．据此即可判断． 【详解】解：∵， ∴ 对于A：（等式两边加同一数，等式成立）； 对于B：（等式两边乘同一数，等式成立）； 对于C：（等式两边除以同一非零数，等式成立）； 对于D：当时，成立，但当时，分母为零，等式无意义，故错误． 故选：D． 二、填空题 8．(25-26七上·广东珠海文园中学（集团）·期中)已知与互为相反数，那么 ． 【答案】 2 【分析】本题考查相反数，等式的性质，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程并求解即可. 【详解】解：因为 与 互为相反数， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因此 ； 故答案为：2. 9．(25-26七上·江苏南京玄武区·期中)已知，均是关于的整式，其中，，且当时，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值，根据 时，代入化简后得到 ，再将所求代数式变形得到：原式，把整体代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：当 时，，， ， ， 整理得： ， 即 ， ， 将 代入， 得：原式 故答案为： 10．(25-26七上·黑龙江哈尔滨道外区青衿协作体·期中)解方程 ． 【答案】 【分析】本题考查解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．通过等式性质，将方程两边同时乘以，求解即可． 【详解】解： ， ； 故答案为：． 11．(25-26七上·北京昌平区回龙观东西学区·期中)在公式中，已知s，a，b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 利用等式的性质解出未知数即可． 【详解】解：∵在公式中，已知s，a，b， ∴ 解得． 故答案为：． 三、解答题 12．（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 【答案】（1）5，1，同时加上5（2），1，同时加上（3）3，2，同时乘以3 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）若，则， 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上5， 故答案为：5，1，同时加上5； （2）若，则． 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上， 故答案为：，1，同时加上． （3）若，则． 这是根据等式基本性质2，等式的两边同时乘以3； 故答案为：3，2，同时乘以3． 地 城 考点03 一元一次方程的解法 一、单选题 1．(25-26七上·广东汕头潮南区司马浦公办学校·月考)已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．先解第一个方程求出x的值，再代入第二个方程求解a，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：∵： ∴， ∴ ∴， ∵两个方程的解相同， ∴把代入，得， 即， ∴， ∴， 故选：A． 2．(25-26七上·上海浦东新区几校·期中)若关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 将代入方程，再求解的值． 【详解】解：由题意得：将代入方程， 得：， 即：， 解得：； 故选：C． 二、填空题 3．(25-26七上·江西吉安吉州区·期中)按如图所示的程序计算，若输入一个数为，第一次与第二次输出的结果的和为，则 ． 【答案】、、 【分析】本题主要考查了分类讨论思想和一元一次方程的求解，熟练掌握根据程序的分支条件分类计算、建立方程是解题的关键． 分为奇数和偶数两种情况，根据程序计算第一次、第二次输出结果，再根据和为列方程求解． 【详解】解：情况：为奇数， 第一次输出：， 第二次输入，为偶数，第二次输出：， 由和为得：， 解得； 情况：为偶数， 第一次输出：， 第二次输入，分两种子情况： 子情况：为奇数，第二次输出：， 由和为得， 解得， 此时（奇数），符合条件． 子情况：为偶数，第二次输出：， 由和为得， ， 解得． 此时（偶数），符合条件． 验证： （奇数）：第一次输出，第二次输出，和为，符合． （偶数）：第一次输出，第二次输出，和为，符合． （偶数）：第一次输出，第二次输出，和为，符合． 故答案为：或或． 4．(25-26七上·湖南岳阳湘阴县·期中)若与互为相反数，则m的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程求解即可． 【详解】解：由与互为相反数，可知， 即，解得； 故答案为5． 三、解答题 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）移项， 合并同类项， 方程的两边都除以即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，方程的两边都除以即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． 6．(25-26七上·甘肃张掖肃南裕固族自治县祁丰学校·月考)规定，当时，试求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：． 7．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 8．(25-26七上·甘肃平凉崆峒区广成学校·期中)已知代数式的值与字母的取值无关，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． 先合并同类项，再根据题意得出，，再解方程即可． 【详解】解： ， 式子的值与字母x的取值无关， ，， 解得， ∴． 9．(23-24七上·湖南张家界慈利县·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． 先去分母、再去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 10．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 先去括号，再去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：， 去括号得，， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 11．(25-26七上·甘肃张掖肃南裕固族自治县祁丰学校·月考)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，去分母，去括号，然后移项，再合并同类项，系数化为1可得解． 【详解】解： ． 12．(25-26七上·甘肃平凉崆峒区广成学校·期中)李华在解方程时，■处被油墨盖住，不能解出的值，通过问老师得知这个方程的解是，求■处的数字． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 将代入得到，再解方程即可． 【详解】解：将代入， 则， ， 解得， ∴■处的数字为． 13．(25-26七上·北京西城区德胜中学·期中)下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：  第一步   第二步   第三步   第四步   第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该方程的正确解答过程． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)三；移项没有变号 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据等式的基本性质，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：从第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没有变号， 故答案为：三；移项没有变号； （3）解：：， 等式两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． 地 城 考点04 含参数一元一次方程的应用 一、单选题 1．(25-26七上·江苏宿迁沭阳县怀文中学联盟·期中)已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 2．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 3．(25-26七上·河北邯郸第二十三中学·期中)某同学解方程时，把“□”处的系数看错了，解得，他把“□”处的系数看成了（   ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解看错系数后代入解满足方程是解题关键． 设同学看错的系数为，将代入看错的方程，求解． 【详解】解：设同学看错的系数为， ∵ 同学看错系数后解得， ∴ 将 代入方程 得： ∴ ∴ 故他把“□”处的系数看成了 6． 故选：C． 4．(25-26七上·浙江杭州观成教育集团·期中)若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程求得，再整体代入方程，据此计算即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ∴方程为， ∵， ∴， 故选：B． 5．在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 将方程化为标准形式，根据无解的条件且，求解的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 合并同类项得， ∴方程化为标准形式，其中，． ∵方程无解需满足且， ∴，解得， 此时，满足条件． ∴的值为3． 故选：A 二、填空题 6．(24-25七上·浙江绍兴柯桥区·期末)已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 7．若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入原方程，解之可得出，将方程转化为，再将代入求解即可得到x的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 8．若方程的解为，的解为： ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，换元法，掌握相关知识是解决问题的关键．将第二个方程中看作一个整体换元，找到和第一个方程的关系，即可得到答案 【详解】解： 即，① 由题意此方程的解为， 令， 则第二个方程变形为：， 对照①可得，方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． 9．(24-25七上·重庆万州第二高级中学·)小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 10．(25-26七上·安徽阜阳临泉县·期中)已知关于x的方程． （1）若，则代数式的值为 （2）已知关于x的方程的解比方程的解小6，则a的值为 【答案】 4 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）将代入方程可求出的值，再代入计算即可得； （2）先分别求出两个方程的解，再根据它们的解的关系建立一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）将代入方程得：， 解得， ∴， 故答案为：4． （2）， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． ， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． ∵关于的方程的解比方程的解小6， ∴， 方程两边同乘以2去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 三、解答题 11．(25-26七上·期中试卷（提优卷）·期中)（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的化简求值，解一元一次方程； （1）去括号，合并同类项，将原式化简，再将代入求值即可； （2）先解求出，再代入方程即可求出m的值. 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 12．(25-26七上·江苏扬州梅岭中学教育集团·期中)已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出的值是解题的关键． 先解不含参数的一元一次方程，将解代入含参数的一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 将代入得： ， ， ． 地 城 考点05 一元一次方程的应用——工程问题 一、单选题 1．(25-26七上·辽宁大连庄河第三十初级中学·期中)一件工作，甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，现由甲先做2小时，余下部分由乙独做，又做了x小时完成，用方程表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将工作总量视为1，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲先做2小时完成的工作量为，乙做小时完成的工作量为，总工作量等于1，由此建立方程. 【详解】解：假设工作总量为1， 则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲做2小时完成的工作量为 ， 乙做小时完成的工作量为， ∴ 总工作量方程：， 故选B. 2．(25-26七上·河南郑州·月考)有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．6天 【答案】D 【分析】先分析甲乙工作量的关系，得出甲2天的工作量等于乙3天的工作量，再根据效率比和总工作量相等求出规定时间即可． 【详解】解：设规定的时间是天， 根据题意，甲的效率为，乙的效率为， 由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成可知： 甲工作了2天，乙工作了天，共同完成工作，总工作量为1， 可列方程， 解得． 规定时间为6天； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程——工程问题，熟练找出等量关系是解题的关键． 3．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 二、填空题 4．一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 【答案】18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲做了天，则乙做了天，根据题意可求出甲和乙的工作效率，再把工作总量看作单位“1”，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率建立方程求解即可． 【详解】解：设甲做了天，则乙做了天． 由题意得， 答：甲做了18天． 5．一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲一共做了天，则乙做了天，根据甲完成的工作量加上乙完成的工作量等于总工作量1，列出方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设甲工作天，完成的工作量为；则乙工作 天，完成的工作量为， 根据题意，得， 故答案为：． 6．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合作期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了 天假． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲请了天假，则甲实际工作天，根据工作效率，甲、乙、丙的工作效率分别为、、，乙和丙工作6天，甲工作天，总工作量为1，列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设甲请了天假，则甲的工作量为，乙的工作量为，丙的工作量为， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：3． 7．(24-25七上·北京海淀区中国人民大学附属中学·)一项工程，甲队天干完，乙队天干完．两队合干天后，由甲队单独干，还要 天干完． 【答案】 【分析】本题考查的是工程问题的解题方法，充分理解题意是解决本题的关键． 根据题意得知，甲队每天完成这项工程的，乙队每天完成这项工程的，现在两队合作了4天，那么用甲队和乙队的工效和即为合作4天完成的工作量，然后用1减去完成的工作量就是剩下的工作量，用剩下的工作量甲的工效即为还要多少天完成任务． 【详解】解： （天） 答：还要9天完成任务． 故答案为：9． 8．(24-25七·河南郸城县光明中学·月考)一项工程，甲单独完成须20天，乙单独完成须30天，两人合作须 天完成． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设两人合作须x天完成，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设两人合作须x天完成，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：12． 9．(24-25七上·河南安阳·月考)某仓库进了一批货物，整理这批货物，由1人整理要30h完成．现在计划由一部分人先整理2h，再增加3人和他们一起整理4h，完成这项工作．假设每人的工作效率相同，先安排人整理，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做需要小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 由一个人做要小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人小时的工作+增加人后小时的工作=全部工作．设全部工作是，先安排人整理，就可以列出方程． 【详解】解：假设每个人的工作效率相同，先安排人工作， 则：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为， 再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故答案为：． 10．(24-25七·陕西渭南潼关县·期末)甲、乙两个加工厂计划为某开发公司加工一批产品，已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，则加工的这批产品共有 件． 【答案】960 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． 设单独加工这批产品乙需要天，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设单独加工这批产品乙需要天，则甲单独加工需要天， 依题意得：， ， ， ， ∴这批产品共有（件）． 故答案为：960 ． 三、解答题 11．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 12．(24-25七上·重庆两江中学·月考)一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【答案】(1)甲乙再合作10天才能把该工程完成 (2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量乙队完成的工作量总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用甲队每天的施工费用甲队工作的时间乙队每天的施工费用乙队工作的时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：， 解得：． 答：甲乙再合作10天才能把该工程完成． （2）解：（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元． 地 城 考点06 一元一次方程的应用——销售盈亏 一、单选题 1．(24-25七上·江苏南京鼓楼区·期末)一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（   ） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，元表示八折销售时的成本，元表示六折销售时的成本，依据成本不变列出方程. 【详解】解：设标价为x元，则按八折销售成本为元，按六折销售成本为元， ∵成本不变， ∴. 故选：C 2．(25-26七上·云南曲靖部分学校·期中)某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么该商店卖出这两件衣服总的是（  ） A．盈利16元 B．亏损16元 C．盈利20元 D．亏损20元 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏． 【详解】设盈利衣服的成本为元，亏损衣服的成本为元。 ∵ 盈利，卖出价120元， ∴ ， 解得 ， ∵ 亏损，卖出价120元， ∴ ， 解得 ， 总成本为 元， 总售价为 元， ∵ ， ∴ 亏损元。 故选：B． 3．(25-26七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中)某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（  ） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过列方程直接求解，注意计算准确． 设进价为x元，根据提高后标价，再打9折，售价为216元，列出方程求解． 【详解】解：设进价为x元，根据题意得， ∵ 标价， 售价=标价 ， ∴ ， ， ∴ 进价为200元． 故选：A． 4．(25-26七·重庆第八中学校·月考)某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对两种商品实行打折销售．已知购买件商品和件商品只需元；购买件商品和件商品需用元．若设商品的单价为元，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设商品的单价为元，则商品单价为元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设商品的单价为元，则商品单价为元， 由题意得，， 故选：． 5．(25-26七上·福建福州仓山区·期中)某商店换季促销，将一件标价为240元的T恤打8折售出，获利，则这件T恤的成本为（　　） A．114元 B．160元 C．192元 D．200元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设成本为元，根据售价成本利润列方程求解即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设成本为元， 由题意可得：， 解得：， 故这件T恤的成本为160元， 故选：B． 6．(24-25七上·福建泉州安溪县铭选中学·月考)某商场把进价为2000元的商品按标价的八折出售，仍获利，则该商品的标价为（　　） A．2500元 B．2650元 C．2750元 D．3000元 【答案】C 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是用代数式表示出商品的售价并正确地列出方程 设该商品的标价是x元，则售价是元，利润是元，等量关系是售价减去进价等于利润，列方程求出x的值即可． 【详解】解：设该商品的标价是x元， 根据题意得：， 解得． 故该商品的标价为2750元． 故选：C． 7．(25-26七上·安徽蚌埠禹会区部分学校·月考)文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示每台地球仪的售价是解题的关键．设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元，则盈利的一台的售价可表示为元，亏本的一台的售价可表示为元，可列方程，，分别求出x、y的值，再用售价的和减去进价的和即可得到问题的答案． 【详解】解：设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元， 根据题意得，， 解得，， ∴（元）， ∴这次出售中文具店赔了5元， 故选：B． 二、填空题 8．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中)小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是当季新采，盈利了；另一盒是库存坚果，只能亏本清仓．小松鼠卖出这两盒坚果后，赚了 元． 【答案】7.5 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． 通过售价和盈利或亏损百分比分别计算两盒坚果的成本，再求总成本与总售价的差值． 【详解】解：设盈利坚果的成本为元， 根据盈利，得， 解得． 设亏损坚果的成本为元， 根据亏损，得，解得． 总成本为（元）， 总售价为（元）， 因此赚了（元）． 故答案为：7.5． 9．学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先表示两种购买方式得到的利润，再根据获得同样多的利润，进行列方程，即可作答． 【详解】解：∵原订购60套，每套100元，设每套课桌椅的成本为x元， ∴利润； ∵校方购了72套，每套减价3元， ∴利润； 则． 故答案为： 10．(25-26七上·江苏南京鼓楼区·期中)某种商品原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利．若商家想获利，则相应的优惠方案为 （写出一种即可）． 【答案】打折 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，根据原价1000元，商家根据如图所示的优惠方案销售，则可获利，求出成本，若商家想获利，设打折，由题意列出方程解答即可． 【详解】解：由题意可知：成本为元， 若商家想获利，设打折， 由题意可得， 解得：， 故相应的优惠方案为打折． 故答案为：打折． 11．(25-26七上·黑龙江哈尔滨荣智学校·期中)某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，运用分类讨论思想确定所付金额是优惠前还是优惠后，并找出等量关系列出正确方程是解题的关键． 先判断出王叔叔第一次购物优惠前超过元，第二次购物需要分优惠前不超过元和优惠前超过元两种情况讨论，再根据等量关系列方程，求出两次购物优惠前的金额，即可求解． 【详解】解：∵（元），， ∴王叔叔第一次购物优惠前超过元， 设王叔叔第一次购物优惠前为x元，则： ， 解得， ∵（元），， ∴王叔叔第二次购物可能有优惠，也可能没有优惠， ①当王叔叔第二次购物有优惠， 设王叔叔第二次购物优惠前为y元，则： ， 解得， ∴两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， ②当王叔叔第二次购物没有优惠， 则两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， 综上：王叔叔将两次所购物品一次购买可比两次分别购买省或元． 故答案为：或． 12．(23-24七上·陕西西安庆安初级中学·)某品牌的皮鞋标价为150，打八折后仍可获利，则该皮鞋的进价为 元． 【答案】100 【分析】本题考查一元一次方程应用中的销售问题，通常利润率计算公式为销售问题的等量关系是解题关键点． 根据利润率(售价进价) 进价，先利用售价标价折数10求出售价，进而代入利润率公式列出关于进价的方程即得． 【详解】解：商品每件标价为150元 按标价打8折后售价为：(元/件) 设该商品每件的进价为元 由题意得： 解得： 答：该商品每件的进价为100元． 故答案为：100 地 城 考点07 一元一次方程的应用——方案选择 一、单选题 1．(25-26七上·安徽合肥第三十八中学·期中)某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出一元一次方程是解题的关键． 通过列代数式，表示出两种方案的费用，当两种费用相等时，解方程求出x即可． 【详解】解：设购买x本图书时方案和方案费用相等， 方案费用：元， 方案费用：元， ， ， ， ． 当时，两种方案费用相等． 故选：C． 二、填空题 2．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有 【答案】63人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得：， 解方程得：． 故答案为：人 3．(25-26七上·重庆八中两江金溪中学校·开学考)现有若干人乘车，如果每3人共乘一辆车，空余1辆车；如果每2人共乘一辆车，有12个人无车可乘，则一共有 人． 【答案】42 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设一共有人，根据车的数量是定值，列出方程求解即可． 【详解】解：一共有人，由题意，得： ， 解得：； 答：一共有42人； 故答案为：42 4．(24-25七上·四川广安邻水县·期末)活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等． 【答案】450 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设一次性购物满x元时，两种方案最终付款金额相等，则分别用x表示出两种方案付款金额，即可建立方程求解． 【详解】解：设一次性购物满元时，两种方案最终付款金额相等 根据题意，得， 解得， 故答案为：450． 三、解答题 5．某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 6．(25-26七上·江苏徐州丰县·期中)为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 【答案】(1)元；元 (2)选择方案一费用最低； (3)120 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识． （1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； （3）根据题意得到，解方程即可． 【详解】（1）解：方案一：购买本读物的费用元； 方案二：购买本读物的费用元； （2）解：当时， 方案一：购买本读物的费用（元）； 方案二：购买本读物的费用（元）； ， 选择方案一费用最低； （3）解：由题意得， 解得， 故答案为：120． 7．(24-25七上·广西南宁青秀区荔英中学·月考)我校第31届校运会即将举行，七年级1班和2班联合组成一个方阵进行开幕式节目表演．现有两种排列方案，方案一：每排站10人，则多出4人；方案二：每排站11人，则最后一排缺6人．已知两种方案的方阵排数相同，均为排． (1)方案一可得总人数为________人，方案二可得总人数为________人（用含的式子表示）； (2)求两种站法的排数是多少排？ (3)表演时每名学生需要一个4元的道具，问七年级1班和2班一共需要花费多少元购买道具？ 【答案】(1)； (2)10排 (3)416元 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用及费用计算，解题的关键是根据两种方案总人数相等的等量关系列出方程，求出排数后再计算总费用． （1）根据"每排人数 排数 剩余人数"和"每排人数排数缺少人数”列出总人数的代数式． （2）利用总人数相等建立一元一次方程，求解得出排数． （3）将排数代入总人数表达式求出总人数，再乘以道具单价得到总费用． 【详解】（1）方案一：每排站 10 人，共x 排，多出 4 人，总人数为 人． 方案二：每排站 11人，共x排，最后一排缺6人，总人数为人． 故答案为：； （2）解：∵两种方案的总人数相等， ∴可列方程： 移项得： 化简得： 答：两种站法的排数是10排． （3）解：由（2）可知排数，代入方案一的总人数表达式： 总人数为（人） 每名学生需要4元道具，总费用为：（元） 答：七年级 1 班和 2 班一共需要花费 416 元购买道具． 8．(24-25七上·天津静海区实验中学·)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物超过元，超出元的部分按收费．已知小红在同一商场累计购物元，其中． (1)当时，小红在甲商场需花费______元，在乙商场需花费______元． (2)分别用含的代数式表示小红在甲、乙商场的实际花费． (3)小红累计购物多少元时，在甲乙两商场实际花费相同？ 【答案】(1)， (2)甲商场所花费用为元；在乙商场所花费用为元 (3)500元 【分析】在甲商场累计购物超过元，超出元的部分按收费，则多出的元按收费，于是得到小红在甲商场所花费用为；在乙商场累计购物超过元，超出元的部分按收费，则多出的元按收费，于是得到小红在乙商场所花费用为； 与的思路一样，用代替即可； 当时，小红在甲乙商场购物的实际花费一样 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，小红在甲商场所花费用为元；在乙商场所花费用为元； 故答案为，． （2）解：， 小红在甲商场所花费用为元； 在乙商场所花费用为元． （3）解：当时，解得， 所以当时，小红在甲乙商场购物的实际花费一样． 地 城 考点08 一元一次方程的应用——行程问题 一、单选题 1．(25-26七上·重庆求精中学校·期中)如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用-相遇问题，由于两人不是在同一顶点出发，所以两人第一次相遇，需要通过的路程之差等于边长的3倍，依此列出方程即可求解． 【详解】解：设经过x分钟两人第一次相遇，依题意有： ， 解得， ， 即乙走了2圈又2.5米， 故两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边上． 故选：C． 2．(25-26七上·四川绵阳游仙区·期中)某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（　　） 千米． A．1600 B．1800 C．2050 D．2250 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．设机场到灾区的距离为s千米，根据速度变化导致的时间差建立方程求解． 【详解】解：设机场到灾区的距离为s千米， 根据题意，得， 解得， 故机场到灾区距离为1800千米， 故选：B． 3．(23-24七上·四川成都成都石室联合中学·模拟)一列火车长 160 米，每秒行 20 米，全车通过 440 米的大桥，需要（    ）秒． A．8 B．22 C．30 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设需要x秒，利用路程=速度×时间，结合路程为火车与大桥的长度之和，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设需要x秒， 根据题意得：， 解得：， ∴需要30秒． 故选：C． 4．(24-25七上·湖南娄底多校联考·开学考)某列车通过360米的第一个隧道用去24秒，接着通过第二个长216米的隧道用去16秒，这个列车的长是（   ） A．72米 B．24米 C．144米 D．96米 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个列车的长是x米，利用速度=路程÷时间，结合这个列车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这个列车的长是x米，根据题意得： ， 解得：； ∴这个列车的长是72米． 故选：A． 二、填空题 5．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了7小时（中途不停)，则甲、乙两码头的距离为 ． 【答案】120 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程求解． 设甲、乙两码头的距离为千米，根据顺流速度（静水速度加水流速度）和逆流速度（静水速度减水流速度）表示往返时间，利用总时间列出方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两码头的距离为千米； 则， 解得：， 故答案为：120. 6．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)某高速公路上行驶着货车和轿车，货车和轿车速度比为，已知货车的速度比最高限速少，轿车的速度比最高限速多，则此高速公路的最高限速是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设货车速度为 ，则轿车速度为 ，根据货车的速度比最高限速少，轿车的速度比最高限速多列出方程，通过解方程求解． 【详解】解：设货车速度为 ，则轿车速度为 ， 得方程： ， 解得：， 故最高限速为． 故答案为：100． 7．(25-26七·福建厦门思明区松柏中学·期中)一列慢车和一列快车分别从、两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出．相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，、两站相距 千米． 【答案】 558 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设快车速度为，慢车速度为，快车出发后到相遇的时间为t小时，根据相遇时快车和B站的距离与慢车和A站的距离的关系列方程，求出，再计算总距离 【详解】解：设快车速度为，慢车速度为，快车出发后到相遇的时间为t小时， 相遇时，快车行驶距离为，慢车行驶总距离为， 由题意，， 化简得，解得， A、B两站距离为慢车行驶总距离与快车行驶距离之和，即， 故答案为：558 8．周日，甲、乙两名同学从学校出发去少年宫参加演讲比赛，甲同学先以4千米/小时的速度步行出发20分钟后，乙同学骑自行车以8千米/小时的速度追赶甲同学．那么乙同学追上甲同学用的时间是 小时． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设乙同学用x小时追上甲同学，利用路程速度时间，结合乙同学追上甲同学时两人的路程相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设乙同学用x小时追上甲同学， 根据题意得：， 解得：． 答：乙同学用小时追上甲同学． 故答案为：． 9．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·月考)小明和小亮分别同时从同一直线上的A、B两地出发，相向而行．小明每分钟走80米，小亮的速度是小明的，两人出发5分钟后相距50米，则A、B两地之间的距离是 米． 【答案】750或650/650或750 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程．需要分类讨论：两人相遇前相距50米，两人相遇后相距50米，利用方程解答． 【详解】解：设A、B两地相距x 米． ①两人相遇前相距50米， 根据题意，得， 解得． 即：A、B两地相距750米． ②两人相遇后相距50米， 根据题意，得， 解得． 即A、B两地相距650米． 综上所述，设A、B两地相距750米或650米． 故答案是：750或650． 三、解答题 10．(24-25七上·湖南娄底多校联考·开学考)小王从A城到B城，速度是40千米/小时，小兰从B城到A城，速度是30千米/小时，两人同时出发，结果在距A、B两城中点10千米处相遇，求A、B两城间的距离． 【答案】A、B两城间的距离为140千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A、B两城间的距离为x千米，利用时间=路程÷速度，结合两人相遇时时间相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A、B两城间的距离为x千米，根据题意得： ， 解得：； 答：A、B两城间的距离为140千米． 11．(24-25七上·陕西西安阎良区·期末)小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【答案】A，B两地的路程为1800米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A，B两地的路程为x米，利用时间路程速度，结合小秦比小明少用3分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A，B两地的路程为x米， 根据题意得：， 解得：． 答：A，B两地的路程为1800米． 12．(25-26七上·河南郑州第八十二中学·)一辆汽车从甲城开往乙城6小时到达，返回时减慢了速度，每小时比原来少行5千米，结果用了8小时就回到了甲城，求甲城到乙城的路程有多少千米？ 【答案】120 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决行程问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 设原来的速度为，则返回时的速度为，根据来回路程相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的速度为，则返回时的速度为，根据题意得， 解得， ∴（千米） 答：甲城到乙城的路程有120千米． 地 城 考点09 一元一次方程的应用——综合应用 一、单选题 1．(24-25七上·陕西渭南潼关县·期末)甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的应用与一元一次方程的求解，熟练掌握根据比例设未知数并结合数量关系列方程是解题的关键．根据甲、乙、丙三数的比例关系设未知数，再依据甲、乙两数之和与乙、丙两数之和的数量关系列方程求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三数分别为、、． ， 则乙数为 故选：A． 2．文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 本题包含的等量关系为总人数不变，故可设有辆车，根据总人数列方程即可． 【详解】解：设有辆车． 每 3 人乘一车，剩余 2 辆车， 总人数为； 每 2 人乘一车，剩余 9 人无车， 总人数为； ． 故选：． 3．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可． 【详解】解：每3人乘一车，剩余2辆车， ∴总人数为 ； 每2人共乘一车，剩余9人无车， ∴人数为 ； ∴， 故选B． 4．(25-26七上·湖北武汉江汉区·期中)今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设该群有人，每人收个红包，总收红包数为，解方程，求正整数解即可． 【详解】解：设该群有人，每人收个红包，列出方程为： 即 解得或（舍去） 因此，该群一共有人， 故选：C． 5．(25-26七上·浙江金华东阳·期中)李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了含参一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据若分给个学生，则每个学生分颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，列出方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 的值为1，2，17，34， 当时，, 当时，； 当时，； 当时，； 选项中只有选项A中的符合条件， 故选：A． 6．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．根据树苗总棵数不变，由两种种树方案列出方程． 【详解】解：设种树的人数为人， ∵每人种10棵，剩下5棵树苗未种， ∴树苗总棵数为； ∵每人种11棵，缺3棵树苗， ∴树苗总棵数为； ∴， 故选：A． 7．(25-26七上·江苏徐州·期中)某体育器材店在双“11”开展篮球促销活动，促销办法如下：每个篮球标价25元，若购买超过10个，享受八折优惠．在活动期间某中学的七（1）、（2）班到该店购买篮球，已知七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元．设七（2）班买x个篮球，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，七（2）班购买个篮球，七（1）班购买个篮球，根据“七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元”得到，据此列方程即可． 【详解】解：∵七（1）班比七（2）班多买2个篮球，付款时七（1）班反而比七（2）班少付5元． ∴七（2）班购买篮球数小于10，七（1）班购买篮球数大于10， ∴七（2）班购买个篮球，付款为元；七（1）班付款为元； ∴根据题意，可列方程为， 故选：B． 二、填空题 8．(25-26七上·上海松江区·期中)某校六年级共有学生120人，其中男生占，后来又转来几名女生，这时男生占总人数的，转来的女生有 人． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方程是解题的关键． 先求出男生的人数，设转来的女生有人，再根据不变的是男生人数列一元一次方程求解即可． 【详解】解：初始总人数为120人，男生占，故男生人数为人． 设转来的女生有人，则，解得：． 所以转来的女生人数为人． 三、解答题 9．甲、乙两人按的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？ 【答案】甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙可获得利润分别是元、元，根据“第一年盈利14000元”列出一元一次方程，计算即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设甲、乙可获得利润分别是元、元， ， 解得． （元），（元） 答：甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元． 10．(25-26七上·重庆求精中学校·期中)下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)小明的说法错误，理由见解析 【分析】本题考查规律探索，列代数式，一元一次方程的应用，掌握月历中数的排列规律，利用规律表示数并建立方程是解决问题的关键． （1）根据月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，用表示；再用同一字母表示a、b、c、d，结合和为列方程求解； （2）设未知数表示4个数的和，列方程判断解是否符合月历的数的范围． 【详解】（1）解：月历中，上下相邻数差7，左右相邻数差1， 若，则，故， 设，则，，， 由， 解得， 故． 答案：，； （2）解：设b代表的数为m， 则 ， 解得， 此时，，，， 但是其位置不符合“T”字形框， 故小明的说法是错的． 11．(25-26七上·甘肃张掖肃南裕固族自治县祁丰学校·月考)某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，问应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【答案】应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够理解题意列出方程是解题关键． 设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿， 根据题意，得， 解得， 则． 答：应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 12．(25-26七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·月考)制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $